tìm các cặp số nguyên x,y sao cho x^2y+x+y chia hết cho xy^2+y+1

Question

Giáo viên Chuyên Môn · Accepted Answer

Chào các em học sinh lớp 9! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán khá thú vị về số học. Bài toán yêu cầu chúng ta tìm tất cả các cặp số nguyên $x, y$ sao cho biểu thức $x^2y+x+y$ chia hết cho biểu thức $xy^2+y+1$.

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các phương pháp biến đổi đại số và nhận xét về tính chia hết.

Bước 1: Phân tích biểu thức và đặt điều kiện

Chúng ta có biểu thức A = $x^2y+x+y$ và biểu thức B = $xy^2+y+1$. Yêu cầu bài toán là $A \vdots B$, tức là $x^2y+x+y$ chia hết cho $xy^2+y+1$.

Trước hết, chúng ta cần lưu ý đến mẫu số. Mẫu số $xy^2+y+1$ không được bằng 0. Tuy nhiên, vì $x$ và $y$ là các số nguyên, chúng ta cần xem xét các trường hợp có thể xảy ra.

Bước 2: Biến đổi biểu thức để dễ dàng so sánh

Chúng ta hãy thử nhân biểu thức A với y để xem có mối liên hệ gì với B không.
$yA = y(x^2y+x+y) = x^2y^2 + xy + y^2$

Bây giờ, chúng ta hãy thử nhân biểu thức B với x.
$xB = x(xy^2+y+1) = x^2y^2 + xy + x$

Quan sát hai biểu thức $yA$ và $xB$, chúng ta thấy chúng có một phần chung là $x^2y^2 + xy$.

Ta có thể viết lại:
$yA = (x^2y^2 + xy) + y^2$
$xB = (x^2y^2 + xy) + x$

Vì $A \vdots B$, nên $yA \vdots B$ (nếu $y \neq 0$).
Nếu $B \neq 0$, thì $xB \vdots B$.

Do đó, nếu $yA \vdots B$ và $xB \vdots B$, thì hiệu của chúng cũng chia hết cho B.
$yA - xB \vdots B$
$(x^2y^2 + xy + y^2) - (x^2y^2 + xy + x) \vdots B$
$y^2 - x \vdots B$
Tức là, $y^2 - x$ chia hết cho $xy^2+y+1$.

Bước 3: Xét các trường hợp dựa trên quan hệ chia hết

Chúng ta có hai điều kiện chia hết:

$x^2y+x+y \vdots xy^2+y+1$
    $y^2-x \vdots xy^2+y+1$

Trường hợp 1: $y^2 - x = 0$
Nếu $y^2 - x = 0$, thì $x = y^2$. Thay $x = y^2$ vào biểu thức B:
$B = (y^2)y^2 + y + 1 = y^4 + y + 1$
Thay $x = y^2$ vào biểu thức A:
$A = (y^2)^2y + y^2 + y = y^5 + y^2 + y$
Điều kiện $A \vdots B$ trở thành $y^5 + y^2 + y \vdots y^4 + y + 1$.
Ta có thể viết lại $A$ như sau:
$A = y(y^4 + y + 1) - y^2 - y + y^2 + y = y(y^4 + y + 1)$
Rõ ràng $y(y^4 + y + 1)$ chia hết cho $y^4 + y + 1$.
Vậy, mọi cặp số nguyên $x, y$ thỏa mãn $x = y^2$ đều là nghiệm của bài toán.
Các cặp số này có dạng $(y^2, y)$ với $y \in \mathbb{Z}$.
Ví dụ: (0, 0), (1, 1), (1, -1), (4, 2), (4, -2), (9, 3), (9, -3), ...

Trường hợp 2: $y^2 - x \neq 0$
Vì $y^2-x \vdots xy^2+y+1$, nên $|y^2 - x| \ge |xy^2+y+1|$ hoặc $xy^2+y+1 = 0$.

Ta xét biểu thức $B = xy^2+y+1$.
Nếu $y=0$, thì $B = x(0)^2 + 0 + 1 = 1$. Bất kỳ số nguyên nào cũng chia hết cho 1.
Thay $y=0$ vào biểu thức A: $A = x^2(0) + x + 0 = x$.
Vậy, với $y=0$, $A=x$ và $B=1$. $x \vdots 1$ luôn đúng với mọi $x \in \mathbb{Z}$.
Do đó, các cặp số $(x, 0)$ với $x \in \mathbb{Z}$ là nghiệm của bài toán.

Nếu $y \neq 0$, ta xem xét giá trị tuyệt đối.

Ta có $|y^2 - x| \ge |xy^2+y+1|$ (trừ trường hợp $xy^2+y+1 = 0$).

Nhân $x^2y+x+y$ với $y^2$: $y^2(x^2y+x+y) = x^2y^3 + xy^2 + y^3$
Nhân $xy^2+y+1$ với $xy$: $xy(xy^2+y+1) = x^2y^3 + xy^2 + xy$
Ta có $y^2(x^2y+x+y) - xy(xy^2+y+1) = (x^2y^3 + xy^2 + y^3) - (x^2y^3 + xy^2 + xy) = y^3 - xy$
Vì $x^2y+x+y \vdots xy^2+y+1$, nên $y^2(x^2y+x+y) \vdots xy^2+y+1$.
Vì $xy^2+y+1 \vdots xy^2+y+1$, nên $xy(xy^2+y+1) \vdots xy^2+y+1$.
Do đó, $y^3 - xy \vdots xy^2+y+1$.
Ta có $y^3 - xy = y(y^2 - x)$.
Vậy $y(y^2 - x) \vdots xy^2+y+1$.

Bây giờ chúng ta có hai điều kiện:

$y^2-x \vdots xy^2+y+1$
    $y(y^2-x) \vdots xy^2+y+1$

Điều kiện thứ hai không cung cấp thêm thông tin mới nếu $y^2-x$ đã chia hết cho $xy^2+y+1$, trừ khi $y$ có ước chung với $xy^2+y+1$.

Quay lại với $y^2 - x \vdots xy^2+y+1$.
Nếu $xy^2+y+1 \neq 0$, thì $|y^2-x| \ge |xy^2+y+1|$ hoặc $y^2-x = 0$.

Phân tích $xy^2+y+1$:
Nếu $y=1$, thì $B = x(1)^2 + 1 + 1 = x+2$.
Điều kiện $A \vdots B$ trở thành $x^2(1)+x+1 \vdots x+2$, tức là $x^2+x+1 \vdots x+2$.
Ta có $x^2+x+1 = x(x+2) - 2x + x + 1 = x(x+2) - x + 1$.
Để $x^2+x+1$ chia hết cho $x+2$, thì $-x+1$ phải chia hết cho $x+2$.
$-x+1 = -(x+2) + 2 + 1 = -(x+2) + 3$.
Vậy, 3 phải chia hết cho $x+2$.
Các ước của 3 là $-3, -1, 1, 3$.
Do đó, $x+2$ có thể bằng $-3, -1, 1, 3$.
Nếu $x+2 = -3 \Rightarrow x = -5$. Cặp số $(-5, 1)$.
Nếu $x+2 = -1 \Rightarrow x = -3$. Cặp số $(-3, 1)$.
Nếu $x+2 = 1 \Rightarrow x = -1$. Cặp số $(-1, 1)$.
Nếu $x+2 = 3 \Rightarrow x = 1$. Cặp số $(1, 1)$.

Nếu $y=-1$, thì $B = x(-1)^2 + (-1) + 1 = x$.
Điều kiện $A \vdots B$ trở thành $x^2(-1)+x+(-1) \vdots x$, tức là $-x^2+x-1 \vdots x$.
$-x^2+x-1 = x(-x+1) - 1$.
Để $-x^2+x-1$ chia hết cho $x$, thì $-1$ phải chia hết cho $x$.
Các ước của -1 là $-1, 1$.
Do đó, $x$ có thể bằng $-1$ hoặc $1$.
Nếu $x=-1$, cặp số $(-1, -1)$.
Nếu $x=1$, cặp số $(1, -1)$.

Xét trường hợp $|y^2-x| 
Nếu \(y^2-x \neq 0$ và $y^2-x \vdots xy^2+y+1$, thì điều này chỉ có thể xảy ra khi $xy^2+y+1$ là ước của $y^2-x$.
Nếu $|y^2-x| < |xy^2+y+1|$ và $y^2-x \neq 0$, thì điều kiện chia hết không thể xảy ra.
Trừ trường hợp $xy^2+y+1$ là một số khác 0 có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn $|y^2-x|$.

Xét lại $y^2 - x \vdots xy^2+y+1$. 
Nếu $y^2-x=0$, ta đã có $x=y^2$.

Nếu $y^2-x \neq 0$.
Nếu $xy^2+y+1 \neq 0$, thì $|y^2-x| \ge |xy^2+y+1|$.

Xét các giá trị của y:
Nếu $|y| \ge 2$:
Khi $|y| \ge 2$, ta có $y^2 \ge 4$.
Xét $|xy^2+y+1|$.
Nếu $x$ là một số nguyên dương lớn, thì $|xy^2+y+1|$ có thể lớn hơn $|y^2-x|$.

Hãy thử với $x=1$. Ta có $1^2y+1+y \vdots 1y^2+y+1$, tức là $2y+1 \vdots y^2+y+1$.
Nếu $y^2+y+1=0$, phương trình này vô nghiệm nguyên.
Nếu $2y+1=0$, thì $y = -1/2$, không phải số nguyên.
Nếu $2y+1 \neq 0$, thì $|y^2+y+1| \le |2y+1|$.
$y^2+y+1 \le |2y+1|$.

Xét $y > 0$: $y^2+y+1 \le 2y+1 \Rightarrow y^2 - y \le 0 \Rightarrow y(y-1) \le 0$.
Điều này xảy ra khi $0 \le y \le 1$. Vì $y$ nguyên và $y>0$, nên $y=1$.
Khi $y=1$, $2(1)+1 = 3$ và $1^2+1+1 = 3$. $3 \vdots 3$. Cặp $(1, 1)$ đã có.

Xét $y  0$.
$(-k)^2+(-k)+1 \le |2(-k)+1| \Rightarrow k^2-k+1 \le |-2k+1|$.
Nếu $-2k+1 \ge 0$, tức là $k \le 1/2$, không có $k>0$ nguyên.
Nếu $-2k+1  1/2$. Thì $|-2k+1| = 2k-1$.
$k^2-k+1 \le 2k-1 \Rightarrow k^2-3k+2 \le 0 \Rightarrow (k-1)(k-2) \le 0$.
Điều này xảy ra khi $1 \le k \le 2$.
Nếu $k=1$, thì $y=-1$.
Khi $y=-1$, $2(-1)+1 = -1$ và $(-1)^2+(-1)+1 = 1$. $-1 \vdots 1$. Cặp $(1, -1)$ đã có.
Nếu $k=2$, thì $y=-2$.
Khi $y=-2$, $2(-2)+1 = -3$ và $(-2)^2+(-2)+1 = 4-2+1 = 3$. $-3 \vdots 3$. Cặp $(1, -2)$.
Kiểm tra cặp $(1, -2)$: $A = 1^2(-2)+1+(-2) = -2+1-2 = -3$. $B = 1(-2)^2+(-2)+1 = 4-2+1 = 3$. $-3 \vdots 3$. Cặp này là nghiệm.

Trở lại với $y^2-x \vdots xy^2+y+1$.
Nếu $y^2-x = 0$, ta có $x=y^2$.

Nếu $y^2-x \neq 0$.
Ta có thể nhân biểu thức $A$ với $y$: $yA = x^2y^2+xy+y^2$.
Ta có thể nhân biểu thức $B$ với $x$: $xB = x^2y^2+xy+x$.
$yA - xB = y^2-x$.
Vì $A \vdots B$ và $xB \vdots B$, nên $yA \vdots B$.
Do đó $yA - xB \vdots B$, suy ra $y^2-x \vdots B$, tức là $y^2-x \vdots xy^2+y+1$.

Trường hợp $xy^2+y+1 = 0$.
Nếu $y^2+y+1 = 0$, phương trình này vô nghiệm nguyên.
Nếu $y=0$, $1 = 0$, vô lý.
Nếu $y \neq 0$, ta có $x = -\frac{y+1}{y^2}$.
Để $x$ là số nguyên, thì $y^2$ phải chia hết $y+1$.
Nếu $y=1$, $1^2$ chia hết $1+1=2$. Đúng. $x = -\frac{1+1}{1^2} = -2$.
Kiểm tra cặp $(-2, 1)$: $A = (-2)^2(1) + (-2) + 1 = 4-2+1 = 3$. $B = (-2)(1)^2 + 1 + 1 = -2+1+1 = 0$.
Vì $B=0$, nên $A \vdots B$ chỉ khi $A=0$. Nhưng $A=3 \neq 0$.
Nên cặp $(-2, 1)$ không phải là nghiệm.

Nếu $y=-1$, $ (-1)^2 = 1$ chia hết $-1+1=0$. Đúng. $x = -\frac{-1+1}{(-1)^2} = 0$.
Kiểm tra cặp $(0, -1)$: $A = 0^2(-1) + 0 + (-1) = -1$. $B = 0(-1)^2 + (-1) + 1 = -1+1 = 0$.
Vì $B=0$, nên $A \vdots B$ chỉ khi $A=0$. Nhưng $A=-1 \neq 0$.
Nên cặp $(0, -1)$ không phải là nghiệm.

Nếu $|y| \ge 2$, thì $y^2 > |y+1|$ (trừ trường hợp $y=-1$ đã xét).
Do đó, $y^2$ không thể chia hết $y+1$.
Vậy, trường hợp $xy^2+y+1 = 0$ không cho ta nghiệm nguyên nào.

Trở lại với $|y^2-x| \ge |xy^2+y+1|$.

Ta đã xét các trường hợp $y=0, y=1, y=-1$.

Trường hợp $|y| \ge 2$.
Ta có $y^2-x \vdots xy^2+y+1$.
Nếu $y^2-x \neq 0$, thì $|y^2-x| \ge |xy^2+y+1|$.

Nhân biểu thức $A$ với $y^2$: $y^2A = x^2y^3+xy^2+y^3$.
Nhân biểu thức $B$ với $xy$: $xyB = x^2y^3+xy^2+xy$.
$y^2A - xyB = y^3-xy = y(y^2-x)$.
Vì $A \vdots B$, nên $y^2A \vdots B$.
Vì $xyB \vdots B$, nên $y^2A - xyB \vdots B$.
Do đó, $y(y^2-x) \vdots xy^2+y+1$.

Ta có hai điều kiện:

$y^2-x = k(xy^2+y+1)$ với $k \in \mathbb{Z}$.
    $y(y^2-x) = m(xy^2+y+1)$ với $m \in \mathbb{Z}$.

Từ điều kiện 1, $k$ là một số nguyên.
Nếu $k=0$, thì $y^2-x=0$, ta đã có $x=y^2$.

Nếu $k \neq 0$, thì $|y^2-x| \ge |xy^2+y+1|$.

Xét $x^2y+x+y = n(xy^2+y+1)$ với $n \in \mathbb{Z}$.

Nhân $A$ với $y$: $yA = x^2y^2+xy+y^2$.
Nhân $B$ với $x$: $xB = x^2y^2+xy+x$.
$yA - xB = y^2-x$.
Vì $A \vdots B$, $yA \vdots B$.
Vì $B \vdots B$, $xB \vdots B$.
Suy ra $yA - xB \vdots B$, tức là $y^2-x \vdots xy^2+y+1$.

Chúng ta có các trường hợp sau:

$y^2-x = 0 \implies x = y^2$. Đây là một họ nghiệm lớn.
    $xy^2+y+1 \neq 0$ và $y^2-x \neq 0$.
    Khi đó, $|y^2-x| \ge |xy^2+y+1|$.

Nếu $y=1$, ta có $1-x \vdots x+2$.
$1-x = -(x+2) + 3$.
Vậy $x+2$ phải chia hết cho 3.
$x+2 \in \{..., -3, -1, 1, 3, ...\}$.
$x \in \{..., -5, -3, -1, 1, ...\}$.
Các cặp số: $(-5, 1), (-3, 1), (-1, 1), (1, 1)$.
Cặp $(1, 1)$ thuộc trường hợp $x=y^2$.
Các cặp còn lại: $(-5, 1), (-3, 1), (-1, 1)$.

Nếu $y=-1$, ta có $1-x \vdots x$.
$1-x = -x+1$.
Vậy $x$ phải chia hết cho 1. Điều này luôn đúng với mọi $x \in \mathbb{Z}$.
Tuy nhiên, ta đã có $x^2y+x+y \vdots xy^2+y+1$.
Với $y=-1$, $x^2(-1)+x+(-1) \vdots x(-1)^2+(-1)+1 \implies -x^2+x-1 \vdots x$.
$-x^2+x-1 = x(-x+1) - 1$.
Vậy $x$ phải chia hết -1, tức $x \in \{1, -1\}$.
Các cặp số: $(1, -1), (-1, -1)$.

Nếu $y=2$, ta có $4-x \vdots 2x+2+1 = 2x+3$.
$4-x \vdots 2x+3$.
Nhân $4-x$ với 2: $8-2x \vdots 2x+3$.
$8-2x = -(2x+3) + 11$.
Vậy $2x+3$ phải chia hết cho 11.
$2x+3 = 11k$, với $k \in \mathbb{Z}$.
$2x = 11k-3$.
Để $x$ là số nguyên, $11k-3$ phải là số chẵn, tức $11k$ phải là số lẻ. Điều này xảy ra khi $k$ là số lẻ.
Đặt $k = 2m+1$, với $m \in \mathbb{Z}$.
$2x = 11(2m+1) - 3 = 22m + 11 - 3 = 22m + 8$.
$x = 11m + 4$.
Các cặp số có dạng $(11m+4, 2)$ với $m \in \mathbb{Z}$.
Ví dụ: Nếu $m=0$, $x=4$. Cặp $(4, 2)$. Kiểm tra: $4^2(2)+4+2 = 32+4+2 = 38$. $4(2^2)+2+1 = 16+2+1 = 19$. $38 \vdots 19$. Cặp $(4, 2)$ là nghiệm.
Cặp $(4, 2)$ thuộc trường hợp $x=y^2$.

Nếu $y=-2$, ta có $4-x \vdots -2x-2+1 = -2x-1$.
$4-x \vdots -(2x+1)$.
$4-x \vdots 2x+1$.
Nhân $4-x$ với 2: $8-2x \vdots 2x+1$.
$8-2x = -(2x+1) + 9$.
Vậy $2x+1$ phải chia hết cho 9.
$2x+1 = 9k$, với $k \in \mathbb{Z}$.
$2x = 9k-1$.
Để $x$ là số nguyên, $9k-1$ phải là số chẵn, tức $9k$ phải là số lẻ. Điều này xảy ra khi $k$ là số lẻ.
Đặt $k = 2m+1$, với $m \in \mathbb{Z}$.
$2x = 9(2m+1) - 1 = 18m + 9 - 1 = 18m + 8$.
$x = 9m + 4$.
Các cặp số có dạng $(9m+4, -2)$ với $m \in \mathbb{Z}$.
Ví dụ: Nếu $m=0$, $x=4$. Cặp $(4, -2)$. Kiểm tra: $4^2(-2)+4+(-2) = 16(-2)+4-2 = -32+2 = -30$. $4(-2)^2+(-2)+1 = 4(4)-2+1 = 16-1 = 15$. $-30 \vdots 15$. Cặp $(4, -2)$ là nghiệm.
Cặp $(4, -2)$ thuộc trường hợp $x=y^2$.

Tổng hợp lại:
1. Trường hợp $x = y^2$.
Các cặp số nguyên có dạng $(y^2, y)$ với $y \in \mathbb{Z}$.

2. Các trường hợp khác đã tìm được:
Từ $y=1$: $(-5, 1), (-3, 1), (-1, 1)$.
Từ $y=-1$: $(1, -1), (-1, -1)$.
Từ $y=2$: Cặp $(4, 2)$ thuộc trường hợp $x=y^2$.
Từ $y=-2$: Cặp $(4, -2)$ thuộc trường hợp $x=y^2$.

Kiểm tra lại các trường hợp $y^2-x = k(xy^2+y+1)$ với $k \neq 0$.

Ta có $y^2-x$ chia hết cho $xy^2+y+1$.
Nếu $y^2-x \neq 0$, thì $|y^2-x| \ge |xy^2+y+1|$.

Nếu $x$ và $y$ cùng dấu, hoặc $x$ dương, $y$ âm và $|x| \ge |y|$, thì $xy^2+y+1$ có thể lớn hơn $y^2-x$.

Ta thấy rằng các cặp số $(-5, 1), (-3, 1), (-1, 1), (1, -1), (-1, -1)$ không thuộc dạng $x=y^2$.

Vậy, tập hợp tất cả các cặp số nguyên $x, y$ là:

$(y^2, y)$ với mọi $y \in \mathbb{Z}$.
    $(-5, 1)$
    $(-3, 1)$
    $(-1, 1)$
    $(1, -1)$
    $(-1, -1)$

Tổng kết các nghiệm:
Các cặp số nguyên $(x, y)$ thỏa mãn điều kiện là:
1. Các cặp có dạng $(y^2, y)$, với $y \in \mathbb{Z}$. (Ví dụ: $(0,0), (1,1), (1,-1), (4,2), (4,-2), (9,3), (9,-3), ...$)
2. Các cặp $(-5, 1), (-3, 1), (-1, 1), (1, -1), (-1, -1)$.

Lưu ý: Cặp $(1, -1)$ và $(-1, -1)$ có thể được bao gồm trong họ nghiệm $(y^2, y)$ khi $y = -1$ và $y = -1$ (nhưng $x=y^2$ cho $x=1$, $x=-1$ không phải $y^2$).

Kiểm tra lại $(1, -1)$: $x=1, y=-1$. $x=y^2$ là $1=(-1)^2$, đúng.
Kiểm tra lại $(-1, -1)$: $x=-1, y=-1$. $x=y^2$ là $-1=(-1)^2$, sai.

Vậy các nghiệm là:
1. Các cặp có dạng $(y^2, y)$ với $y \in \mathbb{Z}$.
2. Các cặp $(-5, 1), (-3, 1), (-1, 1), (-1, -1)$.

Hy vọng bài giải chi tiết này giúp các em hiểu rõ cách tiếp cận và giải quyết dạng toán này. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi nhé!

Duy Cương · Answer

Đặt ${(A=x^2 y+x+y),(B=xy^2+y+1):}$ Ta có: $yA-xB=y(x^2 y+x+y)-x(xy^2+y+1)=y^2-x$ Vì $AvdotsB=>yA-xBvdotsB$ $=> y^2-xvdotsxy^2+y+1$ $"TH 1: " y^2-x=0 <=> x=y^2$ Vì $y in ZZ^+ => x=y^2 in ZZ^+$ Thử lại: $A=y^5+y^2+y=y^2(y^3+y+1)$ $=y^2B vdotsB$ (luôn đúng $AAy in ZZ^+$) $=> (x; y)=(y^2; y)$ với $y in ZZ^+$ $"TH 2: " y^2-x != 0$ Vì $x,y >= 1 => B=xy^2+y+1 > 0$ Để $A vdots B$ thì ĐK cần là $y^2-x vdots B => |y^2-x| >= B$ Mặt khác vì $x, y^2 > 0=>|y^2-x| <= y^2+x$ $=> x y^2+y+1 <= y^2+x$ $=> (x-1)(y^2-1)+y <= 0$ $(1)$ Ta đánh giá $"VT"\ (1)$ với $x, y in ZZ^+$ $+$ Nếu $x >= 2$ VÌ $y >= 1 => (x-1)(y^2-1) >= 0=> (x-1)(y^2-1)+y > 0$ (mâu thuẫn $(1)$) - Nếu $x=1$: Thay vào $(1)$ ta được $y <= 0$ (mâu thuẫn với $y in ZZ^+$) $=> "TH 2"$ vô nghiệm Vậy $(x; y)=(y^2; y), AAy in ZZ^+$

tìm các cặp số nguyên x,y sao cho x^2y+x+y chia hết cho xy^2+y+1

tìm các cặp số nguyên x,y sao cho x^2y+x+y chia hết cho xy^2+y+1

tìm các cặp số nguyên x,y sao cho x^2y+x+y chia hết cho xy^2+y+1

Về tác giả

về tác giả

Thiên Nam

Add comment Hủy

Giao Hàng Nhanh Chóng

Trả Lại Dễ Dàng Và Nhanh Chóng

Hỗ Trợ Khách Hàng 24/7

Thanh Toán An Toàn 100%

Vị trí