Tìm các chữ số a,b thỏa mãn (1a3b)^2 chia hết cho cả 5 vào 9
Chào các em học sinh lớp 6 yêu quý!
Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán thú vị về dấu hiệu chia hết nhé. Đây là một bài toán rất hay giúp chúng ta ôn lại kiến thức về chia hết cho 5 và cho 9.
Đề bài: Tìm các chữ số a,b thỏa mãn \((1a3b)^2\) chia hết cho cả 5 và 9.
Chúng ta hãy cùng phân tích đề bài thật kỹ nhé!
Bước 1: Phân tích các điều kiện chia hết
Đề bài cho biết \((1a3b)^2\) chia hết cho 5 và 9. Chúng ta cần tìm chữ số \(a\) và \(b\) sao cho \(1a3b\) là một số có 4 chữ số (trong đó \(a\) và \(b\) là các chữ số từ 0 đến 9).
Điều kiện 1: \((1a3b)^2\) chia hết cho 5
Nếu bình phương của một số (\(N^2\)) chia hết cho 5, thì bản thân số đó (\(N\)) cũng phải chia hết cho 5. (Điều này đúng vì 5 là số nguyên tố).
Như vậy, \((1a3b)^2\) chia hết cho 5 suy ra số \(1a3b\) phải chia hết cho 5.
Các em còn nhớ dấu hiệu chia hết cho 5 là gì không nhỉ? À đúng rồi, một số chia hết cho 5 khi chữ số tận cùng của nó là 0 hoặc 5.
Vậy, chữ số \(b\) (là chữ số tận cùng của số \(1a3b\)) phải là 0 hoặc 5.
Điều kiện 2: \((1a3b)^2\) chia hết cho 9
Nếu bình phương của một số (\(N^2\)) chia hết cho 9, thì số đó (\(N\)) phải chia hết cho 3. (Vì \(9 = 3 \times 3\). Nếu \(N\) chia hết cho 3, tức là \(N\) có dạng \(3k\) với \(k\) là số tự nhiên, thì \(N^2 = (3k)^2 = 9k^2\), chắc chắn chia hết cho 9).
Vậy, \((1a3b)^2\) chia hết cho 9 suy ra số \(1a3b\) phải chia hết cho 3.
Dấu hiệu chia hết cho 3 là gì? Đúng vậy, một số chia hết cho 3 khi tổng các chữ số của nó chia hết cho 3.
Vậy, tổng các chữ số của \(1a3b\) là \(1 + a + 3 + b\) phải chia hết cho 3.
Hay nói cách khác, \(4 + a + b\) phải chia hết cho 3.
Tóm lại, bài toán được đưa về việc tìm chữ số a, b sao cho:
- Chữ số \(b\) là 0 hoặc 5.
- Tổng \(4 + a + b\) chia hết cho 3.
- Chữ số \(a\) và \(b\) là các số tự nhiên từ 0 đến 9.
Bước 2: Giải bài toán dựa trên các điều kiện đã phân tích
Chúng ta sẽ xét từng trường hợp có thể xảy ra của \(b\).
Trường hợp 1: Nếu \(b = 0\)
Thay \(b = 0\) vào điều kiện tổng các chữ số \(4 + a + b\) chia hết cho 3, ta có:
\(4 + a + 0\) chia hết cho 3
Hay \(4 + a\) chia hết cho 3
Vì \(a\) là chữ số nên \(a\) có thể nhận các giá trị từ 0 đến 9. Chúng ta sẽ thử từng giá trị của \(a\):
- Nếu \(a = 0\), thì \(4 + 0 = 4\). Mà 4 không chia hết cho 3. (Loại)
- Nếu \(a = 1\), thì \(4 + 1 = 5\). Mà 5 không chia hết cho 3. (Loại)
- Nếu \(a = 2\), thì \(4 + 2 = 6\). Mà 6 chia hết cho 3. (Chọn)
=> Ta có cặp \((a,b) = (2,0)\) - Nếu \(a = 3\), thì \(4 + 3 = 7\). Mà 7 không chia hết cho 3. (Loại)
- Nếu \(a = 4\), thì \(4 + 4 = 8\). Mà 8 không chia hết cho 3. (Loại)
- Nếu \(a = 5\), thì \(4 + 5 = 9\). Mà 9 chia hết cho 3. (Chọn)
=> Ta có cặp \((a,b) = (5,0)\) - Nếu \(a = 6\), thì \(4 + 6 = 10\). Mà 10 không chia hết cho 3. (Loại)
- Nếu \(a = 7\), thì \(4 + 7 = 11\). Mà 11 không chia hết cho 3. (Loại)
- Nếu \(a = 8\), thì \(4 + 8 = 12\). Mà 12 chia hết cho 3. (Chọn)
=> Ta có cặp \((a,b) = (8,0)\) - Nếu \(a = 9\), thì \(4 + 9 = 13\). Mà 13 không chia hết cho 3. (Loại)
Vậy, trong trường hợp \(b = 0\), chúng ta tìm được các cặp \((a,b)\) là \((2,0)\), \((5,0)\), \((8,0)\).
Trường hợp 2: Nếu \(b = 5\)
Thay \(b = 5\) vào điều kiện tổng các chữ số \(4 + a + b\) chia hết cho 3, ta có:
\(4 + a + 5\) chia hết cho 3
Hay \(9 + a\) chia hết cho 3
Vì \(a\) là chữ số nên \(a\) có thể nhận các giá trị từ 0 đến 9. Chúng ta sẽ thử từng giá trị của \(a\):
- Nếu \(a = 0\), thì \(9 + 0 = 9\). Mà 9 chia hết cho 3. (Chọn)
=> Ta có cặp \((a,b) = (0,5)\) - Nếu \(a = 1\), thì \(9 + 1 = 10\). Mà 10 không chia hết cho 3. (Loại)
- Nếu \(a = 2\), thì \(9 + 2 = 11\). Mà 11 không chia hết cho 3. (Loại)
- Nếu \(a = 3\), thì \(9 + 3 = 12\). Mà 12 chia hết cho 3. (Chọn)
=> Ta có cặp \((a,b) = (3,5)\) - Nếu \(a = 4\), thì \(9 + 4 = 13\). Mà 13 không chia hết cho 3. (Loại)
- Nếu \(a = 5\), thì \(9 + 5 = 14\). Mà 14 không chia hết cho 3. (Loại)
- Nếu \(a = 6\), thì \(9 + 6 = 15\). Mà 15 chia hết cho 3. (Chọn)
=> Ta có cặp \((a,b) = (6,5)\) - Nếu \(a = 7\), thì \(9 + 7 = 16\). Mà 16 không chia hết cho 3. (Loại)
- Nếu \(a = 8\), thì \(9 + 8 = 17\). Mà 17 không chia hết cho 3. (Loại)
- Nếu \(a = 9\), thì \(9 + 9 = 18\). Mà 18 chia hết cho 3. (Chọn)
=> Ta có cặp \((a,b) = (9,5)\)
Vậy, trong trường hợp \(b = 5\), chúng ta tìm được các cặp \((a,b)\) là \((0,5)\), \((3,5)\), \((6,5)\), \((9,5)\).
Bước 3: Kết luận
Các cặp chữ số \((a,b)\) thỏa mãn yêu cầu đề bài là tất cả các cặp chúng ta đã tìm được từ hai trường hợp trên:
\((2,0)\), \((5,0)\), \((8,0)\), \((0,5)\), \((3,5)\), \((6,5)\), \((9,5)\).
Các em thấy không, một bài toán tưởng chừng phức tạp nhưng khi chúng ta phân tích kỹ từng điều kiện và áp dụng đúng các dấu hiệu chia hết thì sẽ giải quyết được một cách dễ dàng. Hãy luôn nhớ các dấu hiệu chia hết nhé!
Chúc các em học tốt và luôn yêu thích môn Toán!
* Để \(A^2 = (\overline{1a3b})^2\) \(\vdots\) \(5\) và \(9\) thì \(\overline{1a3b}\) \(\vdots\) \(5\) và \(3\) (vì \(5\) và \(3\) là các số nguyên tố, và \(9 = 3^2\))
* Để số \(\overline{1a3b} \ \vdots \ 5\), chữ số tận cùng \(b\) phải là \(0\) hoặc \(5\).
* Trường hợp 1: Với \(b = 0\), số cần tìm có dạng \(\overline{1a30}\).
+) Để \(\overline{1a30} \ \vdots \ 3\), tổng các chữ số phải chia hết cho \(3\):
\(\Rightarrow (1 + a + 3 + 0) \ \vdots \ 3 \Rightarrow (4 + a) \ \vdots \ 3\)
+) Vì \(a\) là chữ số (\(0 \le a \le 9\)) nên ta chọn được: \(a \in \{2; 5; 8\}\).
+) Ta được các số thỏa mãn: \(1230, 1530, 1830\).
* Trường hợp 2: Với \(b = 5\), số cần tìm có dạng \(\overline{1a35}\).
+) Để \(\overline{1a35} \ \vdots \ 3\), tổng các chữ số phải chia hết cho \(3\):
\(\Rightarrow (1 + a + 3 + 5) \ \vdots \ 3 \Rightarrow (9 + a) \ \vdots \ 3\)
+) Vì \(a\) là chữ số (\(0 \le a \le 9\)) nên ta chọn được: \(a \in \{0; 3; 6; 9\}\).
+) Ta được các số thỏa mãn: \(1035, 1335, 1635, 1935\).
* Vậy các cặp chữ số \((a; b)\) \(\in\) {\((2; 0), (5; 0), (8; 0), (0; 5), (3; 5), (6; 5), (9; 5)\)} thì thoả mãn yêu cầu đề bài
\(\color{#006600}{k}\color{#008800}{i}\color{#00AA00}{l}\color{#00CC00}{l}\color{#00EE00}{u}\color{#00FF00}{a}\color{#33FF33}{r}\color{#55FF55}{2}\color{#22FF22}{0}\color{#00FF00}{5}\)
Vì \(a\) là chữ số \(=> 0 \le a \le 9\)
Để \(A^2 = (\bar{1a3b})^2 \vdots 5\) và \(\vdots 9\) thì \(\bar{1a3b} \vdots 5\) và \(\vdots 3\)
Để \(\bar{1a3b} \vdots 5 =>\) chữ số tận cùng \(b\) là \(0\) hoặc \(5\)
\(+\) TH\(1\): Với \(b = 0\), số cần tìm có dạng \(\bar{1a30}\)
Để \(\bar{1a30} \vdots 3\)
\(=> (1 + a + 3 + 0) \vdots 3\)
\(=> (4 + a) \vdots 3\)
mà \(0 \le a \le 9\)
\(=> a \in {2; 5; 8}\)
\(=>\) số tm là: \(1230, 1530, 1830\)
\(+\) TH\(2\): Với \(b = 5\), số cần tìm có dạng \(\bar{1a35}\)
Để \(\bar{1a35} \vdots 3\)
\(=> (1 + a + 3 + 5) \vdots 3\)
\(=> (9 + a) \vdots 3\)
mà \(0 \le a \le 9\)
\(=> a \in {0; 3; 6; 9}\)
\(=>\) số tm là: \(1035, 1335, 1635, 1935\)
Vậy các cặp chữ số \((a; b) \in {(2; 0), (5; 0), (8; 0), (0; 5), (3; 5), (6; 5), (9; 5)}\) thì tm yêu cầu đề bài
\(\color{#FF0000}{♡^♡}\color{#FF7F00}{𝖘}\color{#FFD700}{𝖒}\color{#00FF00}{𝖕}\color{#00BFFF}{9}\color{#0000FF}{9}\color{#9400D3}{9}\color{#FF0000}{♡^♡}\)
Trợ Lý Xưởng In Thiên Nam
Add comment