tìm các chữ số hàng đơn vị , hàng chục , hàng trăm của các số tự nhiên :
a.314^…
a.314^540
b.2^9^2010
Bài toán: Tìm các chữ số hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm của các số tự nhiên:
a. \(314^{540}\)
b. \(2^{9^{2010}}\)
Phần a: Tìm chữ số hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm của \(314^{540}\)
1. Tìm chữ số hàng đơn vị:
Để tìm chữ số hàng đơn vị của \(314^{540}\), chúng ta chỉ cần quan tâm đến chữ số hàng đơn vị của cơ số là 4. Ta xét sự biến thiên của chữ số hàng đơn vị của các lũy thừa của 4:
\(4^1 = 4\)
\(4^2 = 16 \rightarrow 6\)
\(4^3 = 64 \rightarrow 4\)
\(4^4 = 256 \rightarrow 6\)
Ta thấy chữ số hàng đơn vị của \(4^n\) lặp lại theo chu kỳ 2 là (4, 6).
Cụ thể:
- Nếu số mũ là số lẻ, chữ số hàng đơn vị là 4.
- Nếu số mũ là số chẵn, chữ số hàng đơn vị là 6.
Trong trường hợp này, số mũ là 540, là một số chẵn.
Vậy, chữ số hàng đơn vị của \(314^{540}\) là 6.
2. Tìm chữ số hàng chục:
Để tìm chữ số hàng chục của \(314^{540}\), chúng ta cần xét \(314^{540} \pmod{100}\).
Ta có \(314 \equiv 14 \pmod{100}\).
Vậy, ta cần tìm \(14^{540} \pmod{100}\).
Xét các lũy thừa của 14 theo modulo 100:
\(14^1 \equiv 14 \pmod{100}\)
\(14^2 = 196 \equiv 96 \equiv -4 \pmod{100}\)
\(14^3 \equiv 14 \times (-4) = -56 \equiv 44 \pmod{100}\)
\(14^4 \equiv (-4)^2 = 16 \pmod{100}\)
\(14^5 \equiv 14 \times 16 = 224 \equiv 24 \pmod{100}\)
\(14^6 \equiv 14 \times 24 = 336 \equiv 36 \pmod{100}\)
\(14^7 \equiv 14 \times 36 = 504 \equiv 4 \pmod{100}\)
\(14^8 \equiv 14 \times 4 = 56 \pmod{100}\)
\(14^9 \equiv 14 \times 56 = 784 \equiv 84 \equiv -16 \pmod{100}\)
\(14^{10} \equiv 14 \times (-16) = -224 \equiv -24 \equiv 76 \pmod{100}\)
Ta nhận thấy \(14^{10} \equiv 76 \pmod{100}\).
Bây giờ ta xét \(14^{20}\):
\(14^{20} = (14^{10})^2 \equiv 76^2 \pmod{100}\)
Ta có \(76^2 = 5776 \equiv 76 \pmod{100}\).
Do đó, \(14^{20} \equiv 76 \pmod{100}\).
Tiếp theo, ta có thể chứng minh bằng quy nạp rằng với mọi \(n \ge 2\), \(14^n \equiv 76 \pmod{100}\) nếu \(n\) chẵn, và \(14^n \equiv 14 \pmod{100}\) nếu \(n\) lẻ.
Tuy nhiên, một cách nhanh hơn là sử dụng tính chất: nếu một số có chữ số tận cùng là 76, thì các lũy thừa bậc hai trở lên của nó cũng có chữ số tận cùng là 76. (Tức là \(76^k \equiv 76 \pmod{100}\) với \(k \ge 1\)).
Ta có \(540\) là số chẵn. Ta cần tìm \(14^{540} \pmod{100}\).
Ta đã có \(14^2 \equiv 96 \pmod{100}\), \(14^4 \equiv 16 \pmod{100}\), \(14^{10} \equiv 76 \pmod{100}\).
Vì \(540\) là số chẵn, ta có thể viết \(540 = 2k\) với \(k=270\).
Ta có thể xét theo chu kỳ hoặc sử dụng định lý Euler. Tuy nhiên, cách dễ nhất ở đây là nhận thấy rằng từ \(14^2\) trở đi, các lũy thừa của 14 bắt đầu có quy luật tương đối ổn định.
Thực tế, một tính chất quan trọng là: \(14^n \pmod{100}\) có chu kỳ là 20 bắt đầu từ \(n=2\), với \(14^2 \equiv 96\), \(14^3 \equiv 44\), \(14^4 \equiv 16\), \(14^5 \equiv 24\), \(14^6 \equiv 36\), \(14^7 \equiv 4\), \(14^8 \equiv 56\), \(14^9 \equiv 84\), \(14^{10} \equiv 76\), \(14^{11} \equiv 14 \times 76 = 1064 \equiv 64\), \(14^{12} \equiv 14 \times 64 = 896 \equiv 96\).
Chu kỳ của \(14^n \pmod{100}\) là 20, bắt đầu từ \(n=2\).
Ta cần tính \(14^{540} \pmod{100}\).
Vì \(540 \ge 2\), ta xét số dư của \(540-2\) khi chia cho 20.
\(540 – 2 = 538\)
\(538 \div 20 = 26\) dư 18.
Do đó, \(14^{540} \equiv 14^{2 + 18} \equiv 14^{20} \pmod{100}\).
Ta đã tính \(14^{10} \equiv 76 \pmod{100}\).
\(14^{20} = (14^{10})^2 \equiv 76^2 \equiv 76 \pmod{100}\).
Vậy, \(314^{540} \equiv 14^{540} \equiv 76 \pmod{100}\).
Do đó, chữ số hàng chục của \(314^{540}\) là 7.
3. Tìm chữ số hàng trăm:
Để tìm chữ số hàng trăm của \(314^{540}\), chúng ta cần xét \(314^{540} \pmod{1000}\).
Ta có \(314 \equiv 314 \pmod{1000}\).
Chúng ta sẽ sử dụng công thức \(a^n \pmod{1000}\).
Một cách tiếp cận là sử dụng định lý Carmichael hoặc phân tích ra thừa số nguyên tố của 1000 là \(2^3 \times 5^3 = 8 \times 125\).
Ta sẽ tính \(314^{540} \pmod{8}\) và \(314^{540} \pmod{125}\).
Tính \(314^{540} \pmod{8}\):
\(314 = 39 \times 8 + 2\), vậy \(314 \equiv 2 \pmod{8}\).
Ta cần tìm \(2^{540} \pmod{8}\).
Ta thấy \(2^3 = 8 \equiv 0 \pmod{8}\).
Vì \(540 \ge 3\), nên \(2^{540} = 2^3 \times 2^{537} \equiv 0 \times 2^{537} \equiv 0 \pmod{8}\).
Vậy, \(314^{540} \equiv 0 \pmod{8}\).
Tính \(314^{540} \pmod{125}\):
\(314 = 2 \times 125 + 64\), vậy \(314 \equiv 64 \pmod{125}\).
Ta cần tìm \(64^{540} \pmod{125}\).
Ta có thể viết \(64 = 2^6\).
Vậy, ta cần tìm \((2^6)^{540} = 2^{6 \times 540} = 2^{3240} \pmod{125}\).
Theo định lý Euler, nếu \(a\) và \(m\) là hai số nguyên tố cùng nhau, thì \(a^{\phi(m)} \equiv 1 \pmod{m}\).
Ở đây, \(m = 125 = 5^3\).
\(\phi(125) = \phi(5^3) = 5^3 – 5^2 = 125 – 25 = 100\).
Do đó, \(2^{100} \equiv 1 \pmod{125}\).
Ta cần tính \(2^{3240} \pmod{125}\). Ta tìm số dư của 3240 khi chia cho 100:
\(3240 = 32 \times 100 + 40\).
Vậy, \(2^{3240} = 2^{32 \times 100 + 40} = (2^{100})^{32} \times 2^{40} \equiv 1^{32} \times 2^{40} \equiv 2^{40} \pmod{125}\).
Bây giờ ta tính \(2^{40} \pmod{125}\):
\(2^7 = 128 \equiv 3 \pmod{125}\)
\(2^{10} = 1024 = 8 \times 125 + 24 \equiv 24 \pmod{125}\)
\(2^{20} = (2^{10})^2 \equiv 24^2 = 576 = 4 \times 125 + 76 \equiv 76 \pmod{125}\)
\(2^{40} = (2^{20})^2 \equiv 76^2 \pmod{125}\)
\(76^2 = 5776\).
\(5776 = 46 \times 125 + 26\).
Vậy, \(2^{40} \equiv 26 \pmod{125}\).
Do đó, \(314^{540} \equiv 26 \pmod{125}\).
Kết hợp kết quả:
Chúng ta có hệ phương trình đồng dư:
\[
\begin{cases}
x \equiv 0 \pmod{8} \\
x \equiv 26 \pmod{125}
\end{cases}
\]
Từ phương trình thứ nhất, \(x = 8k\) cho một số nguyên \(k\).
Thay vào phương trình thứ hai: \(8k \equiv 26 \pmod{125}\).
Chúng ta cần tìm nghịch đảo của 8 modulo 125. Ta có thể dùng thuật toán Euclid mở rộng hoặc thử các bội số.
\(125 = 15 \times 8 + 5\)
\(8 = 1 \times 5 + 3\)
\(5 = 1 \times 3 + 2\)
\(3 = 1 \times 2 + 1\)
Ngược lại:
\(1 = 3 – 1 \times 2\)
\(1 = 3 – 1 \times (5 – 1 \times 3) = 2 \times 3 – 1 \times 5\)
\(1 = 2 \times (8 – 1 \times 5) – 1 \times 5 = 2 \times 8 – 3 \times 5\)
\(1 = 2 \times 8 – 3 \times (125 – 15 \times 8) = 2 \times 8 – 3 \times 125 + 45 \times 8 = 47 \times 8 – 3 \times 125\)
Vậy, \(47 \times 8 \equiv 1 \pmod{125}\). Nghịch đảo của 8 modulo 125 là 47.
Nhân cả hai vế của \(8k \equiv 26 \pmod{125}\) với 47:
\(47 \times 8k \equiv 47 \times 26 \pmod{125}\)
\(1k \equiv 1222 \pmod{125}\)
\(1222 = 9 \times 125 + 97\).
Vậy, \(k \equiv 97 \pmod{125}\).
Ta có \(k = 125m + 97\) cho một số nguyên \(m\).
Thay vào \(x = 8k\):
\(x = 8(125m + 97) = 1000m + 8 \times 97 = 1000m + 776\).
Vậy, \(x \equiv 776 \pmod{1000}\).
Do đó, chữ số hàng trăm của \(314^{540}\) là 7.
Tóm lại cho phần a:
Chữ số hàng đơn vị: 6
Chữ số hàng chục: 7
Chữ số hàng trăm: 7
Phần b: Tìm chữ số hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm của \(2^{9^{2010}}\)
1. Tìm chữ số hàng đơn vị:
Để tìm chữ số hàng đơn vị của \(2^{9^{2010}}\), chúng ta cần xét số mũ \(9^{2010}\) theo modulo 4 (vì chu kỳ chữ số tận cùng của lũy thừa của 2 là 4: 2, 4, 8, 6).
Ta cần tính \(9^{2010} \pmod{4}\).
\(9 \equiv 1 \pmod{4}\).
Do đó, \(9^{2010} \equiv 1^{2010} \equiv 1 \pmod{4}\).
Khi số mũ \(n\) của \(2^n\) có dạng \(4k+1\), chữ số hàng đơn vị của \(2^n\) là 2.
Ví dụ: \(2^1 = 2\), \(2^5 = 32\), \(2^9 = 512\)…
Vậy, chữ số hàng đơn vị của \(2^{9^{2010}}\) là 2.
2. Tìm chữ số hàng chục:
Để tìm chữ số hàng chục của \(2^{9^{2010}}\), chúng ta cần xét \(2^{9^{2010}} \pmod{100}\).
Ta cần tìm số mũ \(9^{2010} \pmod{\phi(100)}\) hoặc \(9^{2010} \pmod{\lambda(100)}\).
Ta có \(100 = 2^2 \times 5^2 = 4 \times 25\).
Sử dụng định lý Carmichael: \(\lambda(100) = \text{lcm}(\lambda(4), \lambda(25))\).
\(\lambda(4) = 2\).
\(\lambda(25) = \phi(25) = 25(1 – 1/5) = 20\).
\(\lambda(100) = \text{lcm}(2, 20) = 20\).
Vậy, ta cần tính \(9^{2010} \pmod{20}\).
Ta có \(9 \equiv 9 \pmod{20}\).
\(9^1 \equiv 9 \pmod{20}\)
\(9^2 = 81 \equiv 1 \pmod{20}\)
Do đó, \(9^{2010} = (9^2)^{1005} \equiv 1^{1005} \equiv 1 \pmod{20}\).
Vì \(9^{2010} \equiv 1 \pmod{20}\), chúng ta có thể viết \(9^{2010} = 20k + 1\) cho một số nguyên \(k\).
Ta cần tính \(2^{9^{2010}} \pmod{100}\).
Vì cơ số 2 và 100 không nguyên tố cùng nhau, ta không thể trực tiếp dùng \(2^{\lambda(100)} \equiv 1 \pmod{100}\).
Ta xét modulo 4 và modulo 25 riêng.
Tính \(2^{9^{2010}} \pmod{4}\):
Vì \(9^{2010}\) là một số chẵn lớn hơn 2, \(2^{9^{2010}}\) sẽ chia hết cho 4.
Cụ thể, \(9^{2010} \ge 2\), nên \(2^{9^{2010}}\) là bội của \(2^2=4\).
Vậy, \(2^{9^{2010}} \equiv 0 \pmod{4}\).
Tính \(2^{9^{2010}} \pmod{25}\):
Ở đây, ta có thể dùng định lý Euler vì 2 và 25 nguyên tố cùng nhau.
\(\phi(25) = 20\).
Ta cần tính \(9^{2010} \pmod{20}\).
Như đã tính ở trên, \(9^{2010} \equiv 1 \pmod{20}\).
Vậy, \(2^{9^{2010}} \equiv 2^1 \pmod{25}\) (vì \(9^{2010} = 20k + 1\)).
Do đó, \(2^{9^{2010}} \equiv 2 \pmod{25}\).
Kết hợp kết quả:
Chúng ta có hệ phương trình đồng dư:
\[
\begin{cases}
x \equiv 0 \pmod{4} \\
x \equiv 2 \pmod{25}
\end{cases}
\]
Từ phương trình thứ hai, \(x = 25m + 2\) cho một số nguyên \(m\).
Thay vào phương trình thứ nhất: \(25m + 2 \equiv 0 \pmod{4}\).
\(25m \equiv -2 \pmod{4}\).
\(m \equiv 2 \pmod{4}\) (vì \(25 \equiv 1 \pmod{4}\) và \(-2 \equiv 2 \pmod{4}\)).
Vậy, \(m = 4n + 2\) cho một số nguyên \(n\).
Thay vào \(x = 25m + 2\):
\(x = 25(4n + 2) + 2 = 100n + 50 + 2 = 100n + 52\).
Vậy, \(x \equiv 52 \pmod{100}\).
Do đó, chữ số hàng chục của \(2^{9^{2010}}\) là 5.
3. Tìm chữ số hàng trăm:
Để tìm chữ số hàng trăm của \(2^{9^{2010}}\), chúng ta cần xét \(2^{9^{2010}} \pmod{1000}\).
Ta có \(1000 = 8 \times 125\).
Tính \(2^{9^{2010}} \pmod{8}\):
Vì \(9^{2010}\) là một số chẵn lớn hơn 3, \(2^{9^{2010}}\) sẽ chia hết cho 8.
Cụ thể, \(9^{2010} \ge 3\), nên \(2^{9^{2010}}\) là bội của \(2^3=8\).
Vậy, \(2^{9^{2010}} \equiv 0 \pmod{8}\).
Tính \(2^{9^{2010}} \pmod{125}\):
Ta dùng định lý Euler. \(\phi(125) = 100\).
Ta cần tính số mũ \(9^{2010}\) theo modulo 100.
Ta có \(9 \equiv 9 \pmod{100}\).
\(9^1 \equiv 9 \pmod{100}\)
\(9^2 = 81 \pmod{100}\)
\(9^3 = 729 \equiv 29 \pmod{100}\)
\(9^4 \equiv 81 \times 29 = 2349 \equiv 49 \pmod{100}\)
\(9^5 \equiv 49 \times 9 = 441 \equiv 41 \pmod{100}\)
\(9^{10} \equiv 41^2 = 1681 \equiv 81 \pmod{100}\) (khác với \(9^2\))
\(9^{20} \equiv 81^2 = 6561 \equiv 61 \pmod{100}\)
\(9^{50} = (9^{10})^5 \equiv 81^5 \pmod{100}\).
Ta tìm quy luật của \(9^n \pmod{100}\).
Thực tế, ta có thể tìm \(9^{2010} \pmod{100}\) bằng cách xét modulo 4 và 25.
\(9^{2010} \equiv (1)^{2010} \equiv 1 \pmod{4}\).
\(\phi(25) = 20\). \(2010 = 100 \times 20 + 10\).
\(9^{2010} \pmod{25}\): \(9^{20} \equiv 1 \pmod{25}\) (theo định lý Euler).
\(2010 = 100 \times 20 + 10\).
\(9^{2010} = (9^{20})^{100} \times 9^{10} \equiv 1^{100} \times 9^{10} \equiv 9^{10} \pmod{25}\).
\(9^2 = 81 \equiv 6 \pmod{25}\).
\(9^4 \equiv 6^2 = 36 \equiv 11 \pmod{25}\).
\(9^5 \equiv 11 \times 9 = 99 \equiv -1 \pmod{25}\).
\(9^{10} \equiv (-1)^2 = 1 \pmod{25}\).
Vậy, \(9^{2010} \equiv 1 \pmod{4}\) và \(9^{2010} \equiv 1 \pmod{25}\).
Từ đó, \(9^{2010} \equiv 1 \pmod{\text{lcm}(4, 25)}\), suy ra \(9^{2010} \equiv 1 \pmod{100}\).
Do đó, \(9^{2010}\) có dạng \(100j + 1\) cho một số nguyên \(j\).
Ta cần tính \(2^{9^{2010}} \pmod{125}\).
Ta có \(2^{100} \equiv 1 \pmod{125}\).
\(2^{9^{2010}} = 2^{100j + 1} = (2^{100})^j \times 2^1 \equiv 1^j \times 2 \equiv 2 \pmod{125}\).
Vậy, \(2^{9^{2010}} \equiv 2 \pmod{125}\).
Kết hợp kết quả:
Chúng ta có hệ phương trình đồng dư:
\[
\begin{cases}
x \equiv 0 \pmod{8} \\
x \equiv 2 \pmod{125}
\end{cases}
\]
Từ phương trình thứ hai, \(x = 125m + 2\).
Thay vào phương trình thứ nhất: \(125m + 2 \equiv 0 \pmod{8}\).
\(125m \equiv -2 \pmod{8}\).
\(5m \equiv 6 \pmod{8}\) (vì \(125 = 15 \times 8 + 5 \equiv 5 \pmod{8}\) và \(-2 \equiv 6 \pmod{8}\)).
Ta cần tìm nghịch đảo của 5 modulo 8. Ta thấy \(5 \times 5 = 25 \equiv 1 \pmod{8}\). Nghịch đảo là 5.
Nhân cả hai vế với 5:
\(5 \times 5m \equiv 5 \times 6 \pmod{8}\)
\(m \equiv 30 \pmod{8}\)
\(m \equiv 6 \pmod{8}\).
Vậy, \(m = 8n + 6\) cho một số nguyên \(n\).
Thay vào \(x = 125m + 2\):
\(x = 125(8n + 6) + 2 = 1000n + 125 \times 6 + 2 = 1000n + 750 + 2 = 1000n + 752\).
Vậy, \(x \equiv 752 \pmod{1000}\).
Do đó, chữ số hàng trăm của \(2^{9^{2010}}\) là 7.
Tóm lại cho phần b:
Chữ số hàng đơn vị: 2
Chữ số hàng chục: 5
Chữ số hàng trăm: 7
Các em thấy đó, việc tìm chữ số tận cùng của các lũy thừa lớn đòi hỏi chúng ta phải vận dụng linh hoạt các kiến thức về đồng dư, định lý Euler, và đôi khi là cả thuật toán Euclid mở rộng. Hãy luyện tập thêm với các bài tập tương tự nhé!
a) \(314^{540}\)
\(314\equiv314\pmod{1000}\)
\(314^2=98596\equiv596\pmod{1000}\)
\(314^4\equiv596^2=355216\equiv216\pmod{1000}\)
\(314^5\equiv216\cdot314=67824\equiv824\pmod{1000}\)
\(314^{10}\equiv824^2=678976\equiv976\pmod{1000}\)
\(314^{20}\equiv976^2=952576\equiv576\pmod{1000}\)
\(314^{40}\equiv576^2=331776\equiv776\pmod{1000}\)
\(314^{80}\equiv776^2=602176\equiv176\pmod{1000}\)
\(314^{160}\equiv176^2=30976\equiv976\pmod{1000}\)
\(314^{320}\equiv976^2\equiv576\pmod{1000}\)
\(314^{540}=314^{320+160+40+20}\)
\(\equiv576\cdot976\cdot776\cdot576\)
\(\equiv176\cdot776\cdot576\)
\(\equiv576\cdot576\)
\(\equiv776\pmod{1000}\)
Hàng trăm: \(7\), hàng chục: \(7\), hàng đơn vị: \(6\).
b) \(2^{9^{2010}}\)
\(9\equiv1\pmod2\)
\(9^2\equiv1\pmod{100}\)
\(\Rightarrow9^{2010}\equiv1\pmod{100}\)
\(\varphi(1000)=400\)
\(2^{401}\equiv2\pmod{1000}\)
\(\Rightarrow2^{1+100k}\equiv2^{101}\pmod{1000}\)
\(2^{10}=1024\equiv24\pmod{1000}\)
\(2^{20}\equiv24^2=576\pmod{1000}\)
\(2^{40}\equiv576^2=776\pmod{1000}\)
\(2^{80}\equiv776^2=176\pmod{1000}\)
\(2^{100}\equiv176\cdot576=101376\equiv376\pmod{1000}\)
\(2^{101}\equiv376\cdot2=752\pmod{1000}\)
\(\Rightarrow2^{9^{2010}}\equiv752\pmod{1000}\)
Hàng trăm: \(7\), hàng chục: \(5\), hàng đơn vị: \(2\).
Đáp án\(+\)Giải thích các bước giải:
\(a, 1000=2^3 .5^3 = 8.125\)
Xét: \(314^3 \equiv 0 (mod 8)\)
\(=> 314^{540} \equiv 0 (mod 8)\)
Vì \(314 \equiv 64 (mod 125)\)
\(=> 314^{540} \equiv 64^{540} \equiv 2^{3240}\)
Mà \(2^{100} \equiv 1 (mod 125)\)
\(=> 2^{3240} \equiv 2^{100.32+40} \equiv 1^{32} .2^{40} = 2^{40} (mod 125)\)
Mà \(2^{10} \equiv 1024 \equiv 24 (mod 25)\)
\(=> 2^{40} \equiv (2^{10})^4 \equiv 24^4 \equiv 26 (mod 125)\)
\(=> 314^{540}=125k +26 (k \in N^{**})\)
\(=> 125k+26 \equiv 0 (mod 8)\)
\(=> 125k \equiv -26 \equiv 6 (mod 8)\)
\(=> k_{min} = 6\)
\(=> 125.6+26 \equiv 776 \equiv 0 (mod 8) \equiv 26 (mod 125)\)
\(=> 314^{540} \equiv 776 (mod 1000)\)
\(=>\) hàng đơn vị \(=6;\) hàng chục \(=7;\) hàng trăm \(=7\)
—————————————————
\(b,\)\(2^{9^{2010}} > 8\) chỉ có bội số 2
\(=> 2^{9^{2010} \vdots 8\)
Vì \(9^{5} \equiv 49 (mod 125)\)
\(=> 9^{2010} \equiv 9^{5.420} \equiv 49^{420} \equiv 7^{840} (mod 100)\)
Mà \(7^4 \equiv 1 (mod 100)\)
\(=> 7^{840} = (7^4)^{210} \equiv 1^{210} \equiv 1 (mod 100)\)
\(=> 9^{2010} \equiv 1 (mod 100)\)
\(=> 2^{9^{2010}} \equiv 2^{100k+1} (mod 125)\)
Mà \(2^{100} \equiv 1 (mod 125)\)
\(=> 2^{100k+1} \equiv 1.2 = 2 \equiv (125)\)
Khi đó: \(2^{9^{2010}} = 125h +2 (h \in N^{**})\)
\(=> 125h +2 \equiv 0 (mod 8)\)
\(=> h_{min} = 6\)
\(=> 125.6+2 \equiv 752 \equiv 0 (mod 8) \equiv 2 (mod 125)\)
\(=> 2^{9^{2010}} \equiv 752 (mod 1000)\)
\(=>\) hàng đơn vị \(=2;\) hàng chục \(=5;\) hàng trăm \(=7\)
Trợ Lý Xưởng In Thiên Nam
Add comment