Xin chào các em học sinh yêu quý của thầy! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau khám phá một bài toán rất thú vị về số hữu tỉ. Đây là dạng bài giúp các em củng cố kiến thức về so sánh các số hữu tỉ và làm việc với các bất đẳng thức.

Bài toán của chúng ta như sau:

Tìm các số hữu tỉ có dạng \(3/a\) (\(a \in \mathbb{Z}, a \neq 0\)) lớn hơn \(-2/7\) nhỏ hơn \(-2/9\).

Chúng ta hãy cùng nhau phân tích và giải quyết bài toán này từng bước một nhé!

Bước 1: Thiết lập bất đẳng thức từ yêu cầu đề bài

Đề bài yêu cầu chúng ta tìm số hữu tỉ có dạng \(3/a\) mà lớn hơn \(-2/7\) và nhỏ hơn \(-2/9\). Chúng ta có thể viết điều này thành một bất đẳng thức kép như sau:

\(-2/7 < 3/a < -2/9\)

Bước 2: Phân tích dấu của số \(a\)

Chúng ta thấy rằng số hữu tỉ \(3/a\) nằm giữa hai số âm là \(-2/7\) và \(-2/9\). Điều này có nghĩa là \(3/a\) phải là một số âm.

Để một phân số có tử số là số dương (\(3\)) mà lại là một số âm, thì mẫu số \(a\) bắt buộc phải là một số âm.

Vì vậy, chúng ta biết rằng \(a\) phải là một số nguyên âm. (Tức là \(a < 0\)).

Để tiện cho việc tính toán, chúng ta có thể đặt \(a = -k\), với \(k\) là một số nguyên dương (\(k \in \mathbb{Z}^+\), \(k > 0\)).

Thay \(a = -k\) vào bất đẳng thức, ta được:

\(-2/7 < 3/(-k) < -2/9\)

Hay:

\(-2/7 < -3/k < -2/9\)

Bước 3: Biến đổi bất đẳng thức để loại bỏ dấu âm

Để dễ dàng làm việc với các số dương, chúng ta sẽ nhân tất cả các vế của bất đẳng thức với \(-1\). Khi nhân (hoặc chia) một bất đẳng thức với một số âm, chiều của bất đẳng thức phải đổi ngược lại!

Nhân \(-1\) vào bất đẳng thức \(-2/7 < -3/k < -2/9\), ta được:

\((-2/7) \times (-1) > (-3/k) \times (-1) > (-2/9) \times (-1)\)

\(2/7 > 3/k > 2/9\)

Để dễ nhìn hơn, chúng ta có thể viết lại bất đẳng thức này theo thứ tự từ nhỏ đến lớn:

\(2/9 < 3/k < 2/7\)

Bước 4: Tìm giá trị của \(k\)

Bây giờ, chúng ta cần tìm giá trị của số nguyên dương \(k\). Chúng ta có thể làm điều này bằng cách lấy nghịch đảo của các số trong bất đẳng thức.

Nhớ rằng, nếu \(0 < X < Y < Z\), thì \(1/X > 1/Y > 1/Z\).

Áp dụng vào bất đẳng thức \(2/9 < 3/k < 2/7\), khi lấy nghịch đảo (đảo ngược cả tử và mẫu), chúng ta cũng phải đổi chiều của bất đẳng thức:

\(9/2 > k/3 > 7/2\)

Để dễ nhìn, lại sắp xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn:

\(7/2 < k/3 < 9/2\)

Bây giờ, chúng ta muốn tìm \(k\), nên chúng ta sẽ nhân tất cả các vế của bất đẳng thức với \(3\) (là một số dương, nên không đổi chiều bất đẳng thức):

\((7/2) \times 3 < (k/3) \times 3 < (9/2) \times 3\)

\(21/2 < k < 27/2\)

Chuyển các phân số thành số thập phân để dễ so sánh:

\(10.5 < k < 13.5\)

Bước 5: Xác định các giá trị nguyên của \(k\) và \(a\)

Vì \(k\) là một số nguyên dương, và \(k\) nằm giữa \(10.5\) và \(13.5\), nên các giá trị nguyên duy nhất mà \(k\) có thể nhận là:

\(k = 11, 12, 13\)

Bây giờ, chúng ta nhớ lại rằng chúng ta đã đặt \(a = -k\). Từ các giá trị của \(k\), chúng ta có thể tìm ra các giá trị tương ứng của \(a\):

• Nếu \(k = 11\), thì \(a = -11\).
• Nếu \(k = 12\), thì \(a = -12\).
• Nếu \(k = 13\), thì \(a = -13\).

Bước 6: Kết luận các số hữu tỉ cần tìm

Với các giá trị của \(a\) vừa tìm được, chúng ta sẽ có các số hữu tỉ có dạng \(3/a\) thỏa mãn yêu cầu đề bài:

• Với \(a = -11\), số hữu tỉ là \(3/(-11) = -3/11\).
• Với \(a = -12\), số hữu tỉ là \(3/(-12) = -3/12 = -1/4\).
• Với \(a = -13\), số hữu tỉ là \(3/(-13) = -3/13\).

Chúng ta có thể kiểm tra lại bằng cách so sánh các số này với \(-2/7\) và \(-2/9\). (Để so sánh, các em có thể quy đồng mẫu số hoặc chuyển sang dạng thập phân).

Ví dụ, \(-2/7 \approx -0.2857\) và \(-2/9 \approx -0.2222\).

Các số chúng ta tìm được là:

• \(-3/11 \approx -0.2727\)
• \(-1/4 = -0.25\)
• \(-3/13 \approx -0.2308\)

Tất cả các số này đều nằm giữa \(-0.2857\) và \(-0.2222\). Vậy các kết quả là chính xác!

Vậy, các số hữu tỉ có dạng \(3/a\) thỏa mãn yêu cầu đề bài là: \(-3/11\), \(-1/4\) (hay \(-3/12\)), và \(-3/13\).

Thầy hy vọng bài giải chi tiết này đã giúp các em hiểu rõ cách làm bài tập dạng này. Hãy luyện tập thường xuyên để nắm vững kiến thức nhé!