Xin chào các em học sinh lớp 6! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán tìm số hữu tỉ khá thú vị. Các em hãy chú ý lắng nghe và ghi chép cẩn thận nhé.

Đề bài: Tìm các số hữu tỉ x, y > 0 sao cho \(x + \frac{2}{y}\) và \(y + \frac{2}{x}\) đều là các số nguyên.

Phân tích bài toán:

Chúng ta được cho hai biểu thức: \(A = x + \frac{2}{y}\) và \(B = y + \frac{2}{x}\). Đề bài yêu cầu tìm các số hữu tỉ dương x, y sao cho A và B đều là các số nguyên.

Vì x và y là các số hữu tỉ dương, nên \(\frac{2}{y}\) và \(\frac{2}{x}\) cũng là các số hữu tỉ dương.

Giải bài toán:

Gọi \(k_1 = x + \frac{2}{y}\) và \(k_2 = y + \frac{2}{x}\), với \(k_1, k_2\) là các số nguyên.

Vì x, y > 0 nên \(k_1 > 0\) và \(k_2 > 0\). Do đó, \(k_1\) và \(k_2\) là các số nguyên dương.

Bước 1: Cộng hai biểu thức.

Ta cộng hai biểu thức A và B lại:

\(A + B = \left(x + \frac{2}{y}\right) + \left(y + \frac{2}{x}\right)\)
\(k_1 + k_2 = x + y + \frac{2}{y} + \frac{2}{x}\)
\(k_1 + k_2 = x + y + 2\left(\frac{1}{y} + \frac{1}{x}\right)\)
\(k_1 + k_2 = x + y + 2\left(\frac{x+y}{xy}\right)\)

Bước 2: Biến đổi biểu thức tích.

Xét biểu thức tích của A và B:

\(A \cdot B = \left(x + \frac{2}{y}\right) \cdot \left(y + \frac{2}{x}\right)\)
\(A \cdot B = xy + x\left(\frac{2}{x}\right) + \frac{2}{y}(y) + \frac{2}{y}\left(\frac{2}{x}\right)\)
\(A \cdot B = xy + 2 + 2 + \frac{4}{xy}\)
\(A \cdot B = xy + 4 + \frac{4}{xy}\)

Bước 3: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy (hoặc suy luận tương đương).

Chúng ta biết rằng với hai số dương \(a, b\), ta có \(a + b \ge 2\sqrt{ab}\). Áp dụng điều này cho biểu thức \(xy + \frac{4}{xy}\) với \(a = xy\) và \(b = \frac{4}{xy}\) (lưu ý \(\frac{4}{xy}\) cũng dương vì x, y > 0).

Ta có: \(xy + \frac{4}{xy} \ge 2\sqrt{xy \cdot \frac{4}{xy}}\)
\(xy + \frac{4}{xy} \ge 2\sqrt{4}\)
\(xy + \frac{4}{xy} \ge 2 \cdot 2\)
\(xy + \frac{4}{xy} \ge 4\)

Suy ra: \(A \cdot B = xy + 4 + \frac{4}{xy} \ge 4 + 4 = 8\).

Dấu bằng xảy ra khi \(xy = \frac{4}{xy}\), tức là \((xy)^2 = 4\). Vì xy > 0 nên \(xy = 2\).

Bước 4: Xét trường hợp dấu bằng.

Nếu \(xy = 2\), thì \(A \cdot B = 2 + 4 + \frac{4}{2} = 2 + 4 + 2 = 8\).

Bây giờ, chúng ta xem xét lại biểu thức \(k_1 + k_2 = x + y + 2\left(\frac{x+y}{xy}\right)\).

Thay \(xy = 2\) vào:

\(k_1 + k_2 = x + y + 2\left(\frac{x+y}{2}\right)\)
\(k_1 + k_2 = x + y + x + y\)
\(k_1 + k_2 = 2(x+y)\)

Chúng ta có \(k_1 = x + \frac{2}{y}\) và \(k_2 = y + \frac{2}{x}\).

Nếu \(xy=2\), thì \(\frac{2}{y} = x\) và \(\frac{2}{x} = y\).

Thay vào biểu thức của \(k_1\) và \(k_2\):

\(k_1 = x + x = 2x\)
\(k_2 = y + y = 2y\)

Vì \(k_1\) và \(k_2\) là các số nguyên, nên \(2x\) và \(2y\) phải là các số nguyên.

Điều này có nghĩa là x và y có thể là các số nguyên hoặc các số bán nguyên (ví dụ: 1/2, 3/2, …).

Kết hợp với điều kiện \(xy = 2\), ta cần tìm các cặp số hữu tỉ dương x, y sao cho \(xy = 2\) và \(2x, 2y\) là số nguyên.

Ta có thể viết \(x = \frac{m}{n}\) với m, n là các số nguyên dương, nguyên tố cùng nhau.

Thì \(y = \frac{2}{x} = \frac{2}{\frac{m}{n}} = \frac{2n}{m}\).

Điều kiện \(2x\) là số nguyên:

\(2x = 2 \cdot \frac{m}{n} = \frac{2m}{n}\). Để phân số này là số nguyên, thì n phải là ước của 2m. Vì m và n nguyên tố cùng nhau, nên n phải là ước của 2.

Các ước dương của 2 là 1 và 2. Vậy \(n=1\) hoặc \(n=2\).

Điều kiện \(2y\) là số nguyên:

\(2y = 2 \cdot \frac{2n}{m} = \frac{4n}{m}\). Để phân số này là số nguyên, thì m phải là ước của 4n. Vì m và n nguyên tố cùng nhau, nên m phải là ước của 4.

Các ước dương của 4 là 1, 2, 4. Vậy \(m=1\), \(m=2\) hoặc \(m=4\).

Bây giờ, chúng ta xét các trường hợp của n:

Trường hợp 1: \(n=1\)

Ta có \(x = \frac{m}{1} = m\). x là số nguyên dương.

Vì m phải là ước của 4, nên m có thể là 1, 2, 4.

Nếu m = 1, thì x = 1. Khi đó \(y = \frac{2}{x} = \frac{2}{1} = 2\).

Kiểm tra: \(x+\frac{2}{y} = 1 + \frac{2}{2} = 1+1 = 2\) (nguyên). \(y+\frac{2}{x} = 2 + \frac{2}{1} = 2+2 = 4\) (nguyên). Vậy (x, y) = (1, 2) là một nghiệm.

Nếu m = 2, thì x = 2. Khi đó \(y = \frac{2}{x} = \frac{2}{2} = 1\).

Kiểm tra: \(x+\frac{2}{y} = 2 + \frac{2}{1} = 2+2 = 4\) (nguyên). \(y+\frac{2}{x} = 1 + \frac{2}{2} = 1+1 = 2\) (nguyên). Vậy (x, y) = (2, 1) là một nghiệm.

Nếu m = 4, thì x = 4. Khi đó \(y = \frac{2}{x} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\).

Kiểm tra: \(x+\frac{2}{y} = 4 + \frac{2}{\frac{1}{2}} = 4 + 4 = 8\) (nguyên). \(y+\frac{2}{x} = \frac{1}{2} + \frac{2}{4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1\) (nguyên). Vậy (x, y) = (4, 1/2) là một nghiệm.

Trường hợp 2: \(n=2\)

Ta có \(x = \frac{m}{2}\).

Vì m và n nguyên tố cùng nhau, nên m và 2 nguyên tố cùng nhau, suy ra m là số lẻ.

Vì m phải là ước của 4, nên m có thể là 1. (Nếu m=2, thì m và n không nguyên tố cùng nhau. Nếu m=4, thì m và n không nguyên tố cùng nhau).

Nếu m = 1, thì x = \(\frac{1}{2}\). Khi đó \(y = \frac{2}{x} = \frac{2}{\frac{1}{2}} = 4\).

Kiểm tra: \(x+\frac{2}{y} = \frac{1}{2} + \frac{2}{4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1\) (nguyên). \(y+\frac{2}{x} = 4 + \frac{2}{\frac{1}{2}} = 4 + 4 = 8\) (nguyên). Vậy (x, y) = (1/2, 4) là một nghiệm.

Bước 5: Xét trường hợp tổng quát hơn.

Chúng ta đã chứng minh được \(xy + \frac{4}{xy} \ge 4\).

Nếu \(xy \ne 2\), thì \(xy + \frac{4}{xy} > 4\).

Đặt \(x + \frac{2}{y} = k_1\) và \(y + \frac{2}{x} = k_2\), \(k_1, k_2 \in \mathbb{Z}^+\).

Ta có \(k_1 k_2 = xy + 4 + \frac{4}{xy}\).

Xét \(x+y\). Đặt \(S = x+y\) và \(P = xy\).

\(k_1 = x + \frac{2}{y} = \frac{xy+2}{y} = \frac{P+2}{y}\).

\(k_2 = y + \frac{2}{x} = \frac{xy+2}{x} = \frac{P+2}{x}\).

Do \(k_1\) và \(k_2\) là số nguyên, nên y phải chia hết cho \(P+2\) khi \(k_1\) là số nguyên, và x phải chia hết cho \(P+2\) khi \(k_2\) là số nguyên. Tuy nhiên, cách diễn đạt này không chính xác hoàn toàn.

Ta có \(k_1 y = P+2\) và \(k_2 x = P+2\).

Từ đó, \(\frac{P+2}{k_1} = y\) và \(\frac{P+2}{k_2} = x\).

Thay vào \(P = xy\):

\(P = \left(\frac{P+2}{k_2}\right) \left(\frac{P+2}{k_1}\right)\)
\(P = \frac{(P+2)^2}{k_1 k_2}\)
\(P k_1 k_2 = (P+2)^2 = P^2 + 4P + 4\)
\(P^2 + (4 – k_1 k_2)P + 4 = 0\)

Đây là một phương trình bậc hai theo P. Vì P = xy là một số hữu tỉ dương, phương trình này phải có nghiệm hữu tỉ dương.

Để phương trình có nghiệm hữu tỉ, biệt thức \(\Delta = (4 – k_1 k_2)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 4\) phải là một số chính phương của một số hữu tỉ (hoặc số nguyên, vì các hệ số là nguyên).

\(\Delta = (4 – k_1 k_2)^2 – 16 = m^2\), với \(m \in \mathbb{Q}\).

\((4 – k_1 k_2)^2 – m^2 = 16\)

\((4 – k_1 k_2 – m)(4 – k_1 k_2 + m) = 16\)

Ta biết \(k_1 k_2 = xy + 4 + \frac{4}{xy}\). Vì \(xy > 0\), nên \(xy + \frac{4}{xy} \ge 4\). Do đó, \(k_1 k_2 \ge 4\).

Nếu \(k_1 k_2 = 4\), thì \(\Delta = (4-4)^2 – 16 = -16\), không phải số chính phương. Điều này có nghĩa là \(k_1 k_2\) không thể bằng 4. Điều này mâu thuẫn với suy luận \(xy + \frac{4}{xy} \ge 4\) và dấu bằng xảy ra khi \(xy=2\). Lý do là khi \(xy=2\), \(k_1 k_2 = 2 + 4 + \frac{4}{2} = 8\), không phải 4.

Vậy \(k_1 k_2\) phải lớn hơn 4.

Xét lại \(k_1 k_2 = xy + 4 + \frac{4}{xy}\).

Ta có \(k_1 = x + \frac{2}{y}\) và \(k_2 = y + \frac{2}{x}\).

Vì \(k_1, k_2\) là số nguyên dương, nên \(k_1 \ge 1, k_2 \ge 1\).

Nếu x = 1, y = 2, thì \(k_1 = 1 + 2/2 = 2\), \(k_2 = 2 + 2/1 = 4\). \(k_1 k_2 = 8\).

Nếu x = 2, y = 1, thì \(k_1 = 2 + 2/1 = 4\), \(k_2 = 1 + 2/2 = 2\). \(k_1 k_2 = 8\).

Nếu x = 4, y = 1/2, thì \(k_1 = 4 + 2/(1/2) = 4 + 4 = 8\), \(k_2 = 1/2 + 2/4 = 1/2 + 1/2 = 1\). \(k_1 k_2 = 8\).

Nếu x = 1/2, y = 4, thì \(k_1 = 1/2 + 2/4 = 1/2 + 1/2 = 1\), \(k_2 = 4 + 2/(1/2) = 4 + 4 = 8\). \(k_1 k_2 = 8\).

Trong tất cả các trường hợp tìm được, ta đều có \(k_1 k_2 = 8\).

Khi \(k_1 k_2 = 8\), phương trình bậc hai theo P trở thành:

\(P^2 + (4 – 8)P + 4 = 0\)
\(P^2 – 4P + 4 = 0\)
\((P – 2)^2 = 0\)
\(P = 2\)

Điều này khẳng định lại rằng \(xy = 2\) là điều kiện cần.

Bây giờ chúng ta cần đảm bảo \(k_1 = x + \frac{2}{y}\) và \(k_2 = y + \frac{2}{x}\) là số nguyên khi \(xy=2\).

Nếu \(xy=2\), thì \(\frac{2}{y} = x\) và \(\frac{2}{x} = y\).

Khi đó, \(k_1 = x + x = 2x\) và \(k_2 = y + y = 2y\).

Để \(k_1\) và \(k_2\) là số nguyên, \(2x\) và \(2y\) phải là số nguyên.

Như đã phân tích ở Bước 4, điều này dẫn đến các cặp (x, y) đã tìm được.

Kết luận:

Các cặp số hữu tỉ dương \(x, y\) thỏa mãn yêu cầu đề bài là:

\((x, y) = (1, 2)\)

\((x, y) = (2, 1)\)

\((x, y) = (4, \frac{1}{2})\)

\((x, y) = (\frac{1}{2}, 4)\)

Cảm ơn các em đã theo dõi. Các em về nhà xem lại bài và thử giải các bài tương tự nhé!