Chào các em học sinh lớp 6 thân mến! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài tập rất thú vị về phân số. Bài tập yêu cầu chúng ta tìm các giá trị nguyên của \(x\) để một phân số cho trước trở thành một số nguyên.

Chúng ta sẽ cùng nhau phân tích và giải quyết bài tập này một cách chi tiết nhé.

Bài tập: Tìm các số nguyên \(x\) để phân số \(\frac{2x + 5}{x+1}\) là số nguyên.

Phân tích bài toán:

Để phân số \(\frac{2x + 5}{x+1}\) là một số nguyên, thì tử số \(2x + 5\) phải chia hết cho mẫu số \(x+1\).

Thông thường, khi gặp dạng bài này, chúng ta sẽ tìm cách “tách” tử số sao cho xuất hiện thừa số của mẫu số.

Cách giải:

Chúng ta sẽ biến đổi tử số \(2x + 5\) để nó có dạng \(k \cdot (x+1) + m\), trong đó \(k\) và \(m\) là các hằng số.

* Bước 1: Biến đổi tử số

Ta có: \(2x + 5\)
Chúng ta muốn xuất hiện \(x+1\) trong biểu thức này. Để có \(2x\), ta nhân \(x+1\) với 2.
\(2 \cdot (x+1) = 2x + 2\)

Bây giờ, ta so sánh \(2x + 5\) với \(2x + 2\). Ta thấy \(2x + 5\) lớn hơn \(2x + 2\) là 3 đơn vị.
Vậy, ta có thể viết lại tử số như sau:
\(2x + 5 = (2x + 2) + 3\)
\(2x + 5 = 2(x+1) + 3\)

* Bước 2: Thay thế vào phân số

Bây giờ, chúng ta thay biểu thức mới của tử số vào phân số ban đầu:
\(\frac{2x + 5}{x+1} = \frac{2(x+1) + 3}{x+1}\)

* Bước 3: Tách phân số

Chúng ta có thể tách phân số này thành tổng của hai phân số:
\(\frac{2(x+1) + 3}{x+1} = \frac{2(x+1)}{x+1} + \frac{3}{x+1}\)

Rút gọn phân số đầu tiên:
\(\frac{2(x+1)}{x+1} = 2\) (với điều kiện \(x+1 \neq 0\), tức là \(x \neq -1\))

Vậy, phân số ban đầu trở thành:
\(2 + \frac{3}{x+1}\)

* Bước 4: Tìm điều kiện để phân số là số nguyên

Để biểu thức \(2 + \frac{3}{x+1}\) là một số nguyên, thì phần phân số \(\frac{3}{x+1}\) phải là một số nguyên.
Điều này có nghĩa là \(x+1\) phải là ước của 3.

Các ước nguyên của 3 là: 1, -1, 3, -3.

* Bước 5: Tìm các giá trị của \(x\)

Chúng ta sẽ xét từng trường hợp của \(x+1\):

Trường hợp 1: \(x+1 = 1\)
\(x = 1 – 1\)
\(x = 0\)

Trường hợp 2: \(x+1 = -1\)
\(x = -1 – 1\)
\(x = -2\)

Trường hợp 3: \(x+1 = 3\)
\(x = 3 – 1\)
\(x = 2\)

Trường hợp 4: \(x+1 = -3\)
\(x = -3 – 1\)
\(x = -4\)

Chúng ta cũng cần kiểm tra lại điều kiện \(x \neq -1\). Cả bốn giá trị \(x = 0, -2, 2, -4\) đều thỏa mãn điều kiện này.

Kết luận:

Vậy, các số nguyên \(x\) để phân số \(\frac{2x + 5}{x+1}\) là số nguyên là: 0, -2, 2, -4.

Các em có thể thử lại bằng cách thay các giá trị này vào phân số ban đầu để kiểm tra.

Ví dụ:
Nếu \(x=0\), phân số là \(\frac{2(0)+5}{0+1} = \frac{5}{1} = 5\) (là số nguyên).
Nếu \(x=-2\), phân số là \(\frac{2(-2)+5}{-2+1} = \frac{-4+5}{-1} = \frac{1}{-1} = -1\) (là số nguyên).

Hy vọng bài giải chi tiết này giúp các em hiểu rõ hơn về cách giải dạng toán này. Các em có câu hỏi gì không?