Thầy sẽ hướng dẫn chi tiết từng bài tập một. Các em chú ý theo dõi nhé!

—

Bài 5:
Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức:
\( \left( \frac{1}{\sqrt{x}+2} – \frac{2}{x+2\sqrt{x}} \right) \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2} \)

1. Tìm điều kiện xác định:
Để biểu thức có nghĩa, chúng ta cần đảm bảo:
– Các biểu thức dưới dấu căn phải không âm: \(x \ge 0\)
– Mẫu thức phải khác 0:
– \(\sqrt{x}+2 \neq 0\). Điều này luôn đúng vì \(\sqrt{x} \ge 0\) nên \(\sqrt{x}+2 \ge 2\).
– \(x+2\sqrt{x} \neq 0\). Ta có \(x+2\sqrt{x} = \sqrt{x}(\sqrt{x}+2)\). Để tích này khác 0, ta cần \(\sqrt{x} \neq 0\) và \(\sqrt{x}+2 \neq 0\). \(\sqrt{x} \neq 0\) có nghĩa là \(x \neq 0\).
– \(\sqrt{x}-2 \neq 0\). Điều này có nghĩa là \(\sqrt{x} \neq 2\), hay \(x \neq 4\).

Kết hợp tất cả các điều kiện, ta có: \(x > 0\) và \(x \neq 4\).

2. Rút gọn biểu thức:
Trước hết, ta rút gọn biểu thức trong ngoặc đơn:
\( \frac{1}{\sqrt{x}+2} – \frac{2}{x+2\sqrt{x}} \)
Ta nhận thấy \(x+2\sqrt{x} = \sqrt{x}(\sqrt{x}+2)\).
Vậy, ta có:
\( \frac{1}{\sqrt{x}+2} – \frac{2}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+2)} \)
Quy đồng mẫu số:
\( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+2)} – \frac{2}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+2)} = \frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+2)} \)

Bây giờ, ta nhân kết quả này với \(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}\):
\( \left( \frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+2)} \right) \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2} \)
Ta thấy \(\sqrt{x}\) ở tử số và mẫu số có thể rút gọn.
Ta thấy \(\sqrt{x}-2\) ở tử số và mẫu số có thể rút gọn.

Vậy, biểu thức rút gọn là:
\( \frac{1}{\sqrt{x}+2} \)

Kết luận: Với \(x > 0\) và \(x \neq 4\), biểu thức rút gọn là \( \frac{1}{\sqrt{x}+2} \).

—

Bài 6:
Cho \(P = \left( \frac{1}{2\sqrt{a}-a} + \frac{1}{2-\sqrt{a}} \right) : \frac{\sqrt{a}+1}{a-2\sqrt{a}}\).
Tìm điều kiện xác định và rút gọn \(P\).

1. Tìm điều kiện xác định:
Để biểu thức có nghĩa, chúng ta cần đảm bảo:
– Các biểu thức dưới dấu căn phải không âm: \(a \ge 0\)
– Mẫu thức phải khác 0:
– \(2\sqrt{a}-a \neq 0 \Rightarrow \sqrt{a}(2-\sqrt{a}) \neq 0 \Rightarrow \sqrt{a} \neq 0\) và \(2-\sqrt{a} \neq 0\). Suy ra \(a \neq 0\) và \(\sqrt{a} \neq 2 \Rightarrow a \neq 4\).
– \(2-\sqrt{a} \neq 0 \Rightarrow \sqrt{a} \neq 2 \Rightarrow a \neq 4\).
– \(a-2\sqrt{a} \neq 0 \Rightarrow \sqrt{a}(\sqrt{a}-2) \neq 0 \Rightarrow \sqrt{a} \neq 0\) và \(\sqrt{a}-2 \neq 0\). Suy ra \(a \neq 0\) và \(\sqrt{a} \neq 2 \Rightarrow a \neq 4\).
– \(\sqrt{a}+1 \neq 0\). Điều này luôn đúng vì \(\sqrt{a} \ge 0\) nên \(\sqrt{a}+1 \ge 1\).

Kết hợp tất cả các điều kiện, ta có: \(a > 0\) và \(a \neq 4\).

2. Rút gọn biểu thức P:
Trước hết, ta rút gọn biểu thức trong ngoặc đơn:
\( \frac{1}{2\sqrt{a}-a} + \frac{1}{2-\sqrt{a}} \)
Ta có \(2\sqrt{a}-a = \sqrt{a}(2-\sqrt{a})\).
Biểu thức trở thành:
\( \frac{1}{\sqrt{a}(2-\sqrt{a})} + \frac{1}{2-\sqrt{a}} \)
Quy đồng mẫu số:
\( \frac{1}{\sqrt{a}(2-\sqrt{a})} + \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}(2-\sqrt{a})} = \frac{1+\sqrt{a}}{\sqrt{a}(2-\sqrt{a})} \)

Tiếp theo, ta rút gọn biểu thức \(a-2\sqrt{a}\) ở mẫu của phép chia:
\( a-2\sqrt{a} = \sqrt{a}(\sqrt{a}-2) \)

Bây giờ, ta thực hiện phép chia:
\( P = \frac{1+\sqrt{a}}{\sqrt{a}(2-\sqrt{a})} : \frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}(\sqrt{a}-2)} \)
Chia hai phân số là nhân phân số thứ nhất với nghịch đảo của phân số thứ hai:
\( P = \frac{1+\sqrt{a}}{\sqrt{a}(2-\sqrt{a})} \cdot \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}-2)}{\sqrt{a}+1} \)
Ta nhận thấy \(2-\sqrt{a} = -(\sqrt{a}-2)\).
\( P = \frac{1+\sqrt{a}}{\sqrt{a}(-(\sqrt{a}-2))} \cdot \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}-2)}{\sqrt{a}+1} \)
Ta có thể rút gọn \(\sqrt{a}\) ở tử và mẫu, \(\sqrt{a}-2\) ở tử và mẫu, và \(1+\sqrt{a}\) ở tử và mẫu.
\( P = \frac{1}{\cancel{\sqrt{a}}(\cancel{-(\sqrt{a}-2)})} \cdot \frac{\cancel{\sqrt{a}}(\cancel{\sqrt{a}-2})}{\cancel{1+\sqrt{a}}} \cdot \cancel{(1+\sqrt{a})} \)
Ta còn lại \( \frac{1}{-1} = -1 \)

Kết luận: Với \(a > 0\) và \(a \neq 4\), biểu thức \(P\) rút gọn là \( -1 \).

—

Bài 7:
Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức:
\( Q = \left( \frac{1}{\sqrt{x}+4} + \frac{1}{\sqrt{x}-4} \right)(x-16) \)

1. Tìm điều kiện xác định:
Để biểu thức có nghĩa, chúng ta cần đảm bảo:
– Các biểu thức dưới dấu căn phải không âm: \(x \ge 0\)
– Mẫu thức phải khác 0:
– \(\sqrt{x}+4 \neq 0\). Điều này luôn đúng vì \(\sqrt{x} \ge 0\) nên \(\sqrt{x}+4 \ge 4\).
– \(\sqrt{x}-4 \neq 0 \Rightarrow \sqrt{x} \neq 4 \Rightarrow x \neq 16\).
– \(x-16 \neq 0 \Rightarrow x \neq 16\).

Kết hợp tất cả các điều kiện, ta có: \(x \ge 0\) và \(x \neq 16\).

2. Rút gọn biểu thức Q:
Trước hết, ta rút gọn biểu thức trong ngoặc đơn:
\( \frac{1}{\sqrt{x}+4} + \frac{1}{\sqrt{x}-4} \)
Quy đồng mẫu số:
\( \frac{(\sqrt{x}-4) + (\sqrt{x}+4)}{(\sqrt{x}+4)(\sqrt{x}-4)} = \frac{\sqrt{x}-4+\sqrt{x}+4}{(\sqrt{x})^2 – 4^2} = \frac{2\sqrt{x}}{x-16} \)

Bây giờ, ta nhân kết quả này với \(x-16\):
\( Q = \left( \frac{2\sqrt{x}}{x-16} \right) \cdot (x-16) \)
Ta thấy \(x-16\) ở tử số và mẫu số có thể rút gọn.

Vậy, biểu thức rút gọn là:
\( Q = 2\sqrt{x} \)

Kết luận: Với \(x \ge 0\) và \(x \neq 16\), biểu thức \(Q\) rút gọn là \( 2\sqrt{x} \).

—

Bài 8:
Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức:
\( B = \frac{2(x+4)}{x-3\sqrt{x}-4} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1} – \frac{8}{\sqrt{x}-4} \)

1. Tìm điều kiện xác định:
Để biểu thức có nghĩa, chúng ta cần đảm bảo:
– Các biểu thức dưới dấu căn phải không âm: \(x \ge 0\)
– Mẫu thức phải khác 0:
– \(x-3\sqrt{x}-4 \neq 0\). Ta sẽ phân tích mẫu thức này thành nhân tử sau.
– \(\sqrt{x}+1 \neq 0\). Điều này luôn đúng vì \(\sqrt{x} \ge 0\) nên \(\sqrt{x}+1 \ge 1\).
– \(\sqrt{x}-4 \neq 0 \Rightarrow \sqrt{x} \neq 4 \Rightarrow x \neq 16\).

Bây giờ, ta phân tích mẫu thức \(x-3\sqrt{x}-4\). Đặt \(y = \sqrt{x}\), ta có \(y^2-3y-4\).
Phân tích tam thức bậc hai này, ta tìm hai số có tích bằng -4 và tổng bằng -3 là -4 và 1.
Vậy, \(y^2-3y-4 = (y-4)(y+1)\).
Thay \(y = \sqrt{x}\) trở lại, ta có: \(x-3\sqrt{x}-4 = (\sqrt{x}-4)(\sqrt{x}+1)\).
Để mẫu thức này khác 0, ta cần \(\sqrt{x}-4 \neq 0\) và \(\sqrt{x}+1 \neq 0\).
\(\sqrt{x}-4 \neq 0 \Rightarrow x \neq 16\).
\(\sqrt{x}+1 \neq 0\). Điều này luôn đúng.

Kết hợp tất cả các điều kiện, ta có: \(x \ge 0\) và \(x \neq 16\).

2. Rút gọn biểu thức B:
Ta viết lại biểu thức với mẫu thức đã phân tích:
\( B = \frac{2(x+4)}{(\sqrt{x}-4)(\sqrt{x}+1)} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1} – \frac{8}{\sqrt{x}-4} \)
Quy đồng mẫu số chung là \((\sqrt{x}-4)(\sqrt{x}+1)\).
\( B = \frac{2(x+4)}{(\sqrt{x}-4)(\sqrt{x}+1)} + \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-4)}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-4)} – \frac{8(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}-4)(\sqrt{x}+1)} \)
\( B = \frac{2(x+4) + \sqrt{x}(\sqrt{x}-4) – 8(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}-4)(\sqrt{x}+1)} \)
Giải phóng tử số:
\( 2(x+4) = 2x+8 \)
\( \sqrt{x}(\sqrt{x}-4) = x – 4\sqrt{x} \)
\( 8(\sqrt{x}+1) = 8\sqrt{x}+8 \)
Tử số trở thành:
\( (2x+8) + (x-4\sqrt{x}) – (8\sqrt{x}+8) \)
\( = 2x+8 + x-4\sqrt{x} – 8\sqrt{x}-8 \)
\( = (2x+x) + (-4\sqrt{x}-8\sqrt{x}) + (8-8) \)
\( = 3x – 12\sqrt{x} \)

Vậy, biểu thức B trở thành:
\( B = \frac{3x – 12\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-4)(\sqrt{x}+1)} \)
Ta có thể đặt \(3\sqrt{x}\) làm nhân tử chung ở tử số:
\( 3x – 12\sqrt{x} = 3\sqrt{x}(\sqrt{x} – 4) \)
Vậy:
\( B = \frac{3\sqrt{x}(\sqrt{x}-4)}{(\sqrt{x}-4)(\sqrt{x}+1)} \)
Ta thấy \(\sqrt{x}-4\) ở tử số và mẫu số có thể rút gọn.

Vậy, biểu thức rút gọn là:
\( B = \frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1} \)

Kết luận: Với \(x \ge 0\) và \(x \neq 16\), biểu thức \(B\) rút gọn là \( \frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1} \).

—

Bài 9:
Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức:
\( \left( \frac{a\sqrt{a}-1}{a-\sqrt{a}} – \frac{a\sqrt{a}+1}{a+\sqrt{a}} \right) : \frac{a+2}{a-2} \)

1. Tìm điều kiện xác định:
Để biểu thức có nghĩa, chúng ta cần đảm bảo:
– Các biểu thức dưới dấu căn phải không âm: \(a \ge 0\)
– Mẫu thức phải khác 0:
– \(a-\sqrt{a} \neq 0 \Rightarrow \sqrt{a}(\sqrt{a}-1) \neq 0 \Rightarrow \sqrt{a} \neq 0\) và \(\sqrt{a} \neq 1\). Suy ra \(a \neq 0\) và \(a \neq 1\).
– \(a+\sqrt{a} \neq 0 \Rightarrow \sqrt{a}(\sqrt{a}+1) \neq 0 \Rightarrow \sqrt{a} \neq 0\) và \(\sqrt{a}+1 \neq 0\). Suy ra \(a \neq 0\). (\(\sqrt{a}+1 \neq 0\) luôn đúng).
– \(a-2 \neq 0 \Rightarrow a \neq 2\).
– \(a+2 \neq 0\). Điều này luôn đúng vì \(a \ge 0\) nên \(a+2 \ge 2\).

Kết hợp tất cả các điều kiện, ta có: \(a > 0\), \(a \neq 1\), và \(a \neq 2\).

2. Rút gọn biểu thức:
Trước hết, ta rút gọn biểu thức trong ngoặc đơn:
\( \frac{a\sqrt{a}-1}{a-\sqrt{a}} – \frac{a\sqrt{a}+1}{a+\sqrt{a}} \)
Ta nhận thấy \(a-\sqrt{a} = \sqrt{a}(\sqrt{a}-1)\) và \(a+\sqrt{a} = \sqrt{a}(\sqrt{a}+1)\).
Biểu thức trở thành:
\( \frac{a\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}(\sqrt{a}-1)} – \frac{a\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+1)} \)
Quy đồng mẫu số chung là \(\sqrt{a}(\sqrt{a}-1)(\sqrt{a}+1) = \sqrt{a}(a-1)\).
\( \frac{(a\sqrt{a}-1)(\sqrt{a}+1)}{\sqrt{a}(\sqrt{a}-1)(\sqrt{a}+1)} – \frac{(a\sqrt{a}+1)(\sqrt{a}-1)}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+1)(\sqrt{a}-1)} \)
\( = \frac{(a\sqrt{a}-1)(\sqrt{a}+1) – (a\sqrt{a}+1)(\sqrt{a}-1)}{\sqrt{a}(a-1)} \)
Giải phóng tử số:
\( (a\sqrt{a}-1)(\sqrt{a}+1) = a\sqrt{a}\sqrt{a} + a\sqrt{a} – \sqrt{a} – 1 = a^2 + a\sqrt{a} – \sqrt{a} – 1 \)
\( (a\sqrt{a}+1)(\sqrt{a}-1) = a\sqrt{a}\sqrt{a} – a\sqrt{a} + \sqrt{a} – 1 = a^2 – a\sqrt{a} + \sqrt{a} – 1 \)
Tử số trở thành:
\( (a^2 + a\sqrt{a} – \sqrt{a} – 1) – (a^2 – a\sqrt{a} + \sqrt{a} – 1) \)
\( = a^2 + a\sqrt{a} – \sqrt{a} – 1 – a^2 + a\sqrt{a} – \sqrt{a} + 1 \)
\( = (a^2-a^2) + (a\sqrt{a}+a\sqrt{a}) + (-\sqrt{a}-\sqrt{a}) + (-1+1) \)
\( = 2a\sqrt{a} – 2\sqrt{a} \)
\( = 2\sqrt{a}(a-1) \)

Vậy, biểu thức trong ngoặc đơn là:
\( \frac{2\sqrt{a}(a-1)}{\sqrt{a}(a-1)} \)
Ta thấy \(\sqrt{a}\) và \(a-1\) ở tử số và mẫu số có thể rút gọn.
Kết quả là \(2\).

Bây giờ, ta thực hiện phép chia cho \( \frac{a+2}{a-2} \):
\( 2 : \frac{a+2}{a-2} = 2 \cdot \frac{a-2}{a+2} = \frac{2(a-2)}{a+2} \)

Kết luận: Với \(a > 0\), \(a \neq 1\), và \(a \neq 2\), biểu thức rút gọn là \( \frac{2(a-2)}{a+2} \).

—

Bài 10:
Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức:
\( C = \left( \frac{2x+1}{\sqrt{x^3}-1} – \frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1} \right) \cdot \left( \frac{1+\sqrt{x^3}}{1+\sqrt{x}} – \sqrt{x} \right) \)

1. Tìm điều kiện xác định:
Để biểu thức có nghĩa, chúng ta cần đảm bảo:
– Các biểu thức dưới dấu căn phải không âm: \(x \ge 0\)
– Mẫu thức phải khác 0:
– \(\sqrt{x^3}-1 \neq 0\). Ta có \(\sqrt{x^3} = x\sqrt{x}\). Vậy \(x\sqrt{x}-1 \neq 0\). Nếu \(x=1\), \(1\sqrt{1}-1 = 0\), nên \(x \neq 1\).
– \(x+\sqrt{x}+1 \neq 0\). Với \(x \ge 0\), ta có \(x \ge 0\), \(\sqrt{x} \ge 0\), nên \(x+\sqrt{x}+1 \ge 1\). Mẫu này luôn khác 0.
– \(1+\sqrt{x} \neq 0\). Điều này luôn đúng vì \(\sqrt{x} \ge 0\) nên \(1+\sqrt{x} \ge 1\).
– \(\sqrt{x} \neq 0\). Nếu \(x=0\), \(\sqrt{0}=0\), nên \(x \neq 0\).

Kết hợp tất cả các điều kiện, ta có: \(x > 0\) và \(x \neq 1\).

2. Rút gọn biểu thức C:
Chúng ta sẽ rút gọn từng ngoặc đơn trước.

Ngoặc đơn thứ nhất: \( \frac{2x+1}{\sqrt{x^3}-1} – \frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1} \)
Ta sử dụng hằng đẳng thức \(a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)\).
\(\sqrt{x^3}-1 = (\sqrt{x})^3 – 1^3 = (\sqrt{x}-1)((\sqrt{x})^2 + \sqrt{x} \cdot 1 + 1^2) = (\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)\).
Vậy, biểu thức trong ngoặc đơn thứ nhất trở thành:
\( \frac{2x+1}{(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)} – \frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1} \)
Quy đồng mẫu số chung là \((\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)\):
\( \frac{2x+1}{(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)} – \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)}{(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)} \)
\( = \frac{2x+1 – (\sqrt{x}\sqrt{x} – \sqrt{x})}{(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)} \)
\( = \frac{2x+1 – (x – \sqrt{x})}{(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)} \)
\( = \frac{2x+1 – x + \sqrt{x}}{(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)} \)
\( = \frac{x+\sqrt{x}+1}{(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)} \)
Ta thấy \(x+\sqrt{x}+1\) ở tử số và mẫu số có thể rút gọn.
Kết quả của ngoặc đơn thứ nhất là: \( \frac{1}{\sqrt{x}-1} \).

Ngoặc đơn thứ hai: \( \frac{1+\sqrt{x^3}}{1+\sqrt{x}} – \sqrt{x} \)
Ta sử dụng hằng đẳng thức \(a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)\).
\(1+\sqrt{x^3} = 1^3 + (\sqrt{x})^3 = (1+\sqrt{x})(1^2 – 1\sqrt{x} + (\sqrt{x})^2) = (1+\sqrt{x})(1-\sqrt{x}+x)\).
Vậy, biểu thức trong ngoặc đơn thứ hai trở thành:
\( \frac{(1+\sqrt{x})(1-\sqrt{x}+x)}{1+\sqrt{x}} – \sqrt{x} \)
Ta thấy \(1+\sqrt{x}\) ở tử số và mẫu số có thể rút gọn.
\( = (1-\sqrt{x}+x) – \sqrt{x} \)
\( = 1-\sqrt{x}+x – \sqrt{x} \)
\( = x – 2\sqrt{x} + 1 \)
Ta nhận thấy đây là dạng bình phương của một hiệu: \( (\sqrt{x}-1)^2 \).

Bây giờ, ta nhân kết quả của hai ngoặc đơn:
\( C = \left( \frac{1}{\sqrt{x}-1} \right) \cdot (\sqrt{x}-1)^2 \)
\( C = \frac{(\sqrt{x}-1)^2}{\sqrt{x}-1} \)
Ta thấy \(\sqrt{x}-1\) ở tử số và mẫu số có thể rút gọn.
\( C = \sqrt{x}-1 \)

Kết luận: Với \(x > 0\) và \(x \neq 1\), biểu thức \(C\) rút gọn là \( \sqrt{x}-1 \).

—

Vậy là chúng ta đã cùng nhau giải quyết xong 5 bài tập rút gọn biểu thức chứa căn. Các em thấy không, chìa khóa để giải quyết những bài toán này là:
1. Tìm đúng điều kiện xác định: Đừng quên bất kỳ điều kiện nào để tránh sai sót.
2. Phân tích mẫu thức thành nhân tử: Đây là bước quan trọng để quy đồng hoặc rút gọn.
3. Sử dụng thành thạo các hằng đẳng thức: Các hằng đẳng thức giúp chúng ta biến đổi biểu thức nhanh và gọn hơn.
4. Cẩn thận trong các phép tính: Tính toán sai sót ở một bước nhỏ có thể dẫn đến kết quả cuối cùng sai.

Các em về nhà ôn lại các dạng bài này và làm thêm bài tập trong sách giáo khoa hoặc sách bài tập nhé. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi thầy. Chúc các em học tốt!