Bài toán của chúng ta hôm nay là:
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

\(A = -x^2 + 4x + 2\)

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng một kỹ thuật rất hiệu quả, đó là phương pháp “hoàn thành bình phương”. Phương pháp này giúp chúng ta đưa biểu thức về dạng một bình phương của một hiệu hoặc tổng, cộng hoặc trừ đi một hằng số.

Các em hãy chú ý quan sát từng bước nhé.

Bước 1: Nhóm các hạng tử chứa x và đưa dấu trừ ra ngoài.

Ta có biểu thức \(A = -x^2 + 4x + 2\).

Chúng ta sẽ nhóm hai hạng tử đầu tiên lại và đặt dấu trừ ra ngoài. Khi đặt dấu trừ ra ngoài, các dấu của các hạng tử bên trong sẽ bị đổi dấu.

\(A = -(x^2 – 4x) + 2\)

Bước 2: Hoàn thành bình phương trong ngoặc.

Bây giờ, chúng ta tập trung vào phần trong ngoặc: \(x^2 – 4x\).

Chúng ta muốn biến biểu thức này thành dạng \((a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\).

Ở đây, \(a^2\) chính là \(x^2\), vậy \(a = x\).

Hạng tử thứ hai là \(-4x\). Theo công thức, nó phải bằng \(-2ab\). Vì \(a = x\), nên \(-2xb = -4x\).

Chia cả hai vế cho \(-2x\), ta được \(b = 2\).

Vậy, để có bình phương \((x – 2)^2\), chúng ta cần có hạng tử \(b^2 = 2^2 = 4\).

Biểu thức trong ngoặc của chúng ta đang có là \(x^2 – 4x\). Để hoàn thành bình phương, ta cần cộng thêm 4. Tuy nhiên, vì đang ở trong ngoặc và có dấu trừ đứng trước, việc cộng thêm 4 thực chất là trừ đi 4.

Để không làm thay đổi giá trị của biểu thức, chúng ta phải bù lại. Nếu đã trừ đi 4 (do có dấu trừ đằng trước), thì ta phải cộng thêm 4.

\(A = -(x^2 – 4x + 4 – 4) + 2\)

Bây giờ, chúng ta nhóm ba hạng tử đầu tiên lại để tạo thành bình phương:

\(A = -((x^2 – 4x + 4) – 4) + 2\)

Bước 3: Khai triển bình phương và rút gọn.

Ta có \((x^2 – 4x + 4) = (x – 2)^2\).

Thay vào biểu thức A:

\(A = -((x – 2)^2 – 4) + 2\)

Bây giờ, ta bỏ ngoặc:

\(A = -(x – 2)^2 – (-4) + 2\)

\(A = -(x – 2)^2 + 4 + 2\)

\(A = -(x – 2)^2 + 6\)

Bước 4: Tìm giá trị lớn nhất.

Bây giờ, chúng ta đã đưa biểu thức A về dạng \(-(x – 2)^2 + 6\).

Hãy xem xét hạng tử \((x – 2)^2\).

Bình phương của bất kỳ số thực nào luôn luôn không âm, tức là \((x – 2)^2 \ge 0\) với mọi \(x\).

Khi nhân với dấu trừ, ta có: \( -(x – 2)^2 \le 0 \) với mọi \(x\).

Điều này có nghĩa là giá trị lớn nhất mà \(-(x – 2)^2\) có thể đạt được là 0.

Khi \(-(x – 2)^2\) đạt giá trị lớn nhất là 0, thì biểu thức A sẽ đạt giá trị lớn nhất của nó.

Điều này xảy ra khi \( (x – 2)^2 = 0 \), tức là \( x – 2 = 0 \), hay \( x = 2 \).

Khi \( x = 2 \), ta thay vào biểu thức A:

\(A = -(2 – 2)^2 + 6 = -(0)^2 + 6 = 0 + 6 = 6\).

Vậy, giá trị lớn nhất của biểu thức A là 6.

Kết luận:

Giá trị lớn nhất của biểu thức \(A = -x^2 + 4x + 2\) là 6, đạt được khi \(x = 2\).

Các em thấy đó, bằng phương pháp hoàn thành bình phương, chúng ta đã có thể dễ dàng tìm ra giá trị lớn nhất của biểu thức. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tương tự để thành thạo kỹ năng này nhé!