Bài toán như sau: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( A = -x^2 – 4x – y^2 + 2y \).

Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A, chúng ta sẽ tiến hành nhóm các hạng tử chứa x và các hạng tử chứa y lại với nhau, sau đó sử dụng phương pháp hoàn thành bình phương.

Bước 1: Nhóm các hạng tử

Ta có biểu thức A:

\( A = (-x^2 – 4x) + (-y^2 + 2y) \)

Bước 2: Hoàn thành bình phương cho nhóm hạng tử chứa x

Xét phần \( -x^2 – 4x \). Để hoàn thành bình phương, ta cần đưa hệ số của \( x^2 \) về 1.

\( -x^2 – 4x = -(x^2 + 4x) \)

Bây giờ, ta xét biểu thức bên trong ngoặc \( x^2 + 4x \). Để hoàn thành bình phương, ta thêm và bớt \(\left(\frac{4}{2}\right)^2 = 2^2 = 4\).

\( x^2 + 4x = x^2 + 4x + 4 – 4 = (x+2)^2 – 4 \)

Do đó, phần \( -x^2 – 4x \) trở thành:

\( -(x^2 + 4x) = -((x+2)^2 – 4) = -(x+2)^2 + 4 \)

Bước 3: Hoàn thành bình phương cho nhóm hạng tử chứa y

Xét phần \( -y^2 + 2y \). Tương tự, ta đưa hệ số của \( y^2 \) về 1.

\( -y^2 + 2y = -(y^2 – 2y) \)

Bây giờ, ta xét biểu thức bên trong ngoặc \( y^2 – 2y \). Để hoàn thành bình phương, ta thêm và bớt \(\left(\frac{-2}{2}\right)^2 = (-1)^2 = 1\).

\( y^2 – 2y = y^2 – 2y + 1 – 1 = (y-1)^2 – 1 \)

Do đó, phần \( -y^2 + 2y \) trở thành:

\( -(y^2 – 2y) = -((y-1)^2 – 1) = -(y-1)^2 + 1 \)

Bước 4: Thay thế trở lại biểu thức A

Bây giờ, ta thay thế các biểu thức đã hoàn thành bình phương vào A:

\( A = \left( -(x+2)^2 + 4 \right) + \left( -(y-1)^2 + 1 \right) \)

\( A = -(x+2)^2 – (y-1)^2 + 4 + 1 \)

\( A = -(x+2)^2 – (y-1)^2 + 5 \)

Bước 5: Tìm giá trị lớn nhất

Ta biết rằng bình phương của một số thực luôn không âm, tức là:

\( (x+2)^2 \ge 0 \) với mọi x.

\( (y-1)^2 \ge 0 \) với mọi y.

Do đó, \( -(x+2)^2 \le 0 \) và \( -(y-1)^2 \le 0 \).

Vì vậy, \( -(x+2)^2 – (y-1)^2 \le 0 \).

Để biểu thức A đạt giá trị lớn nhất, ta cần \( -(x+2)^2 \) và \( -(y-1)^2 \) đạt giá trị lớn nhất có thể, tức là bằng 0.

Điều này xảy ra khi:

\( (x+2)^2 = 0 \Rightarrow x+2 = 0 \Rightarrow x = -2 \)

\( (y-1)^2 = 0 \Rightarrow y-1 = 0 \Rightarrow y = 1 \)

Khi \( x = -2 \) và \( y = 1 \), giá trị của A là:

\( A = -(-2+2)^2 – (1-1)^2 + 5 \)

\( A = -(0)^2 – (0)^2 + 5 \)

\( A = 0 – 0 + 5 \)

\( A = 5 \)

Vậy, giá trị lớn nhất của biểu thức A là 5.

Kết luận:

Giá trị lớn nhất của biểu thức \( A = -x^2 – 4x – y^2 + 2y \) là 5, đạt được khi \( x = -2 \) và \( y = 1 \).

Các em có câu hỏi gì không? Nếu không, chúng ta sẽ chuyển sang bài tập tiếp theo nhé!