Chào các em học sinh lớp 8! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán khá thú vị về việc tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức chứa hai biến. Bài toán này sẽ giúp các em rèn luyện kỹ năng biến đổi đại số và áp dụng các hằng đẳng thức quen thuộc.

Bắt đầu nhé!

Đề bài: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M = 10x^2 + y^2 + 2xy + 10x + 4y + 10\).

Phân tích bài toán:

Chúng ta có một biểu thức bậc hai chứa hai biến \(x\) và \(y\). Để tìm giá trị nhỏ nhất, chúng ta thường nghĩ đến việc đưa biểu thức về dạng tổng của các bình phương, vì bình phương của một số luôn không âm (\(\geq 0\)).

Lời giải chi tiết:

Chúng ta sẽ cố gắng nhóm các hạng tử để tạo ra các hằng đẳng thức.

Quan sát biểu thức \(M = 10x^2 + y^2 + 2xy + 10x + 4y + 10\), chúng ta có các hạng tử \(y^2\) và \(2xy\). Điều này gợi ý chúng ta nên nhóm \(y^2 + 2xy\) lại.

Nếu ta có \( (y+x)^2 \), thì nó sẽ bằng \( y^2 + 2xy + x^2 \). Biểu thức \(M\) của chúng ta đã có \(y^2 + 2xy\), nên ta có thể thử ghép với một phần của \(10x^2\).

Ta tách \(10x^2\) thành \(x^2 + 9x^2\).

Khi đó, \(M\) trở thành: \(M = (x^2 + 2xy + y^2) + 9x^2 + 10x + 4y + 10\)

Ta nhận ra \(x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2\).

Vậy, \(M = (x+y)^2 + 9x^2 + 10x + 4y + 10\).

Bây giờ, chúng ta cần xử lý các hạng tử còn lại: \(9x^2 + 10x + 4y + 10\).

Chúng ta sẽ tiếp tục nhóm các hạng tử liên quan đến \(x\) và \(y\).

Hãy thử nhóm các hạng tử liên quan đến \(y\). Ta có \(4y\). Để tạo thành bình phương, ta có thể nghĩ đến \( (y + a)^2 = y^2 + 2ay + a^2 \) hoặc \( (y+ax+b)^2 \). Tuy nhiên, ở đây \(y\) chỉ xuất hiện với hệ số \(1\), nên ta sẽ tập trung vào việc hoàn thành bình phương cho \(y\).

Ta đã có \( (x+y)^2 \). Có vẻ như chúng ta cần làm việc với \(x\) và \(y\) riêng lẻ hơn.

Hãy thử một cách tiếp cận khác: Biến đổi \(M\) để tạo thành tổng các bình phương của các biểu thức chứa \(x\) và \(y\).

Ta có \(M = 10x^2 + y^2 + 2xy + 10x + 4y + 10\).

Hãy nhóm các hạng tử chứa \(y\): \(y^2 + 2xy + 4y\). Để tạo thành bình phương, ta cần thêm hằng số. Tuy nhiên, \(2xy\) đã chứa \(x\), nên việc hoàn thành bình phương cho \(y\) sẽ phụ thuộc vào \(x\).

Ta thử hoàn thành bình phương cho biểu thức \(y^2 + 2xy + 4y\). Chúng ta có thể xem đây là một tam thức bậc hai theo biến \(y\): \(y^2 + (2x+4)y\). Để hoàn thành bình phương, ta cần cộng \( \left(\frac{2x+4}{2}\right)^2 = (x+2)^2 = x^2 + 4x + 4 \).

Vậy, ta viết lại \(M\) như sau:

\(M = (y^2 + 2xy + 4y) + 10x^2 + 10x + 10\)

Để hoàn thành bình phương cho \(y\), ta cần \(y^2 + 2(x+2)y\). Ta cần thêm \( (x+2)^2 \).

Ta tách \(10x^2\) thành \(x^2 + 9x^2\) và \(10\) thành \(4 + 6\).

\(M = (y^2 + 2xy + 4y + 4) + 9x^2 + 10x + 6\)

Ta có \(y^2 + 2xy + 4y + 4\) chưa phải là bình phương hoàn chỉnh. Lý do là vì \(2xy\) và \(4y\) không khớp hoàn toàn với hằng đẳng thức \((a+b+c)^2\).

Chúng ta quay lại cách nhóm ban đầu: \(M = 10x^2 + y^2 + 2xy + 10x + 4y + 10\).

Hãy nhóm các hạng tử có \(y\): \(y^2 + 2xy + 4y\). Nếu ta coi đây là một phần của bình phương, ta có thể nghĩ đến \((y + ax + b)^2\).

Hãy thử nhóm \(y^2 + 2xy\), sau đó thêm \(x^2\).

\(M = (x^2 + 2xy + y^2) + 9x^2 + 10x + 4y + 10\)

\(M = (x+y)^2 + 9x^2 + 10x + 4y + 10\)

Bây giờ, chúng ta tập trung vào các hạng tử còn lại: \(9x^2 + 10x + 4y + 10\). Chúng ta cần tách \(4y\) ra và cố gắng tạo thành bình phương cho \(x\).

Ta sẽ cố gắng tạo ra các bình phương dạng \((ax+b)^2\) và \((cy+d)^2\) hoặc \((ax+by+c)^2\).

Ta có \(y^2 + 2xy + 4y\). Nếu ta hoàn thành bình phương cho \(y\) với \(x\), ta cần \( (y+x)^2 = y^2 + 2xy + x^2 \).

Hãy thử nhóm các hạng tử có \(x\): \(10x^2 + 10x\). Để hoàn thành bình phương, ta cần \( 10(x^2 + x) \). Thêm \( (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} \) bên trong ngoặc.

\(10(x^2 + x + \frac{1}{4}) – 10 \times \frac{1}{4} = 10(x+\frac{1}{2})^2 – \frac{10}{4} = 10(x+\frac{1}{2})^2 – \frac{5}{2}\)

Vậy, \(M = y^2 + 2xy + 4y + 10(x+\frac{1}{2})^2 – \frac{5}{2} + 10\)

\(M = y^2 + 2xy + 4y + 10(x+\frac{1}{2})^2 + \frac{15}{2}\)

Bây giờ, chúng ta cần xử lý \(y^2 + 2xy + 4y\). Có vẻ vẫn chưa ổn.

Hãy thử một cách khác: Nhóm \(y^2 + 4y\). Để hoàn thành bình phương, ta cần thêm \(4\).

\(M = 10x^2 + (y^2 + 4y + 4) + 2xy + 10x + 10 – 4\)

\(M = 10x^2 + (y+2)^2 + 2xy + 10x + 6\)

Bây giờ chúng ta còn \(10x^2 + 2xy + 10x + 6\). Chúng ta có \(2xy\).

Hãy thử tách \(10x^2\) thành \(x^2 + 9x^2\).

\(M = (x^2 + 2xy + y^2) + 9x^2 + 10x + 4y + 10\)

\(M = (x+y)^2 + 9x^2 + 10x + 4y + 10\)

Bây giờ, ta cần xử lý \(9x^2 + 10x + 4y + 10\).

Hãy cố gắng tạo ra bình phương chứa cả \(x\) và \(y\).

Ta có \(2xy\) và \(4y\). Điều này gợi ý một biểu thức dạng \( (y + ax + b)^2 \).

Nếu ta có \( (y + ax + b)^2 = y^2 + a^2x^2 + b^2 + 2axy + 2by + 2abx \).

So với \(y^2 + 2xy + 4y\), ta có \(2axy = 2xy \Rightarrow a=1\).

Và \(2by = 4y \Rightarrow b=2\).

Vậy ta thử tạo bình phương \((y+x+2)^2\).

\((y+x+2)^2 = y^2 + x^2 + 4 + 2xy + 4y + 4x\)

Ta có \(y^2 + 2xy + 4y\) trong biểu thức \(M\).

Ta viết lại \(M\) như sau:

\(M = 10x^2 + y^2 + 2xy + 10x + 4y + 10\)

\(M = (y^2 + x^2 + 4 + 2xy + 4y + 4x) + 9x^2 + 6x + 6\)

\(M = (y+x+2)^2 + 9x^2 + 6x + 6\)

Bây giờ, chúng ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của \(9x^2 + 6x + 6\).

Ta hoàn thành bình phương cho \(9x^2 + 6x + 6\):

\(9x^2 + 6x + 6 = 9(x^2 + \frac{6}{9}x) + 6 = 9(x^2 + \frac{2}{3}x) + 6\)

Để hoàn thành bình phương, ta cần \( (\frac{2/3}{2})^2 = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9} \).

\(9(x^2 + \frac{2}{3}x + \frac{1}{9} – \frac{1}{9}) + 6 = 9(x^2 + \frac{2}{3}x + \frac{1}{9}) – 9 \times \frac{1}{9} + 6\)

\(= 9(x+\frac{1}{3})^2 – 1 + 6 = 9(x+\frac{1}{3})^2 + 5\)

Vậy, biểu thức \(M\) trở thành:

\(M = (y+x+2)^2 + 9(x+\frac{1}{3})^2 + 5\)

Bây giờ, chúng ta phân tích biểu thức cuối cùng này.

Ta có:

\( (y+x+2)^2 \geq 0 \) với mọi \(x, y\).

\( 9(x+\frac{1}{3})^2 \geq 0 \) với mọi \(x\).

Do đó, \(M = (y+x+2)^2 + 9(x+\frac{1}{3})^2 + 5 \geq 0 + 0 + 5 = 5\).

Giá trị nhỏ nhất của \(M\) là \(5\).

Dấu “=” xảy ra khi nào?

Dấu “=” xảy ra khi cả hai số hạng bình phương đồng thời bằng 0.

Tức là:

\( y+x+2 = 0 \) (1)

\( x+\frac{1}{3} = 0 \) (2)

Từ phương trình (2), ta có \( x = -\frac{1}{3} \).

Thay \(x = -\frac{1}{3}\) vào phương trình (1):

\( y + (-\frac{1}{3}) + 2 = 0 \)

\( y + \frac{5}{3} = 0 \)

\( y = -\frac{5}{3} \)

Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M\) là \(5\), đạt được khi \( x = -\frac{1}{3} \) và \( y = -\frac{5}{3} \).

Kết luận:

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M = 10x^2 + y^2 + 2xy + 10x + 4y + 10\) là 5.

Các em thấy đó, bằng cách khéo léo sử dụng các hằng đẳng thức và phương pháp hoàn thành bình phương, chúng ta đã giải quyết được bài toán này. Hãy nhớ cách biến đổi để đưa biểu thức về dạng tổng của các bình phương, vì đây là một kỹ thuật rất quan trọng trong đại số.

Nếu có câu hỏi nào, các em cứ mạnh dạn hỏi nhé!