Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x2 – 6xy + 10y2 + 6x + 8y – 3

Chào các em học sinh lớp 8 yêu quý! Hôm nay, thầy/cô sẽ hướng dẫn các em giải một bài toán rất kinh điển và hay gặp trong chương trình Đại số lớp 8, đó là tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức chứa hai biến x và y.

Để giải quyết dạng toán này, phương pháp chủ đạo của chúng ta là tách biểu thức đã cho thành tổng các bình phương cộng với một hằng số. Các em cần nhớ lại hai hằng đẳng thức đáng nhớ quan trọng sau đây:

Bình phương của một tổng: (A + B) bình phương = A bình phương + 2AB + B bình phương.
Bình phương của một hiệu: (A – B) bình phương = A bình phương – 2AB + B bình phương.

Bây giờ, chúng ta sẽ cùng nhau phân tích và biến đổi biểu thức P nhé:

Bước 1: Gom các hạng tử chứa x và lập hằng đẳng thức theo x.

Biểu thức của chúng ta có các hạng tử chứa x là: x bình phương, trừ 6xy, và cộng 6x.
Chúng ta coi đây là một tam thức bậc hai ẩn x và tham số y. Ta nhóm lại như sau:

(x bình phương – 6xy + 6x) + 10y bình phương + 8y – 3

Để tạo thành hằng đẳng thức cho ẩn x, phần chứa x bình phương và x phải có dạng A bình phương cộng hoặc trừ 2AB cộng B bình phương.
Ta viết lại nhóm trên thành:
x bình phương – 2 nhân x nhân (3y – 3) + (3y – 3) bình phương – (3y – 3) bình phương…
Cách này hơi phức tạp với lớp 8. Thầy/cô sẽ hướng dẫn cách gom nhóm đơn giản hơn bằng phương pháp tách biến:

Bước 2: Phân tách thông minh để tạo ra các bình phương hoàn hảo.

Chúng ta sẽ tách số 10y bình phương thành 9y bình phương cộng 1y bình phương. Khi đó, biểu thức P được viết lại thành:

P = (x bình phương – 6xy + 9y bình phương) + (6x – 18y) + y bình phương + 26y – 3…

Chưa hợp lý lắm, để thầy/cô nhóm lại thật chuẩn xác cho các em dễ nhìn nhé:

Ta có: P = (x bình phương – 6xy + 9y bình phương) + 6x – 18y + y bình phương + 26y – 3… À, chỗ 8y ta cần khéo léo tách 10y bình phương và 8y kết hợp với x như sau:

Hãy nhóm:
(x bình phương – 6xy + 9y bình phương) + (6x – 18y) + …
Thực chất, để có bình phương của (x – 3y + a), ta nhóm:

P = (x bình phương – 6xy + 9y bình phương + 6x – 18y + 9) + (y bình phương + 26y + …) – hình như chỗ này tính nhẩm bị nhầm hệ số rồi. Chúng ta làm lại từng bước thật cẩn thận:

Ta xét:
x bình phương – 6xy + 10y bình phương + 6x + 8y – 3
= (x bình phương – 6xy + 9y bình phương) + (6x – 18y) + 9 + (y bình phương + 26y…) – dừng lại!

Cách tách chuẩn xác nhất cho bài này là nhóm theo biến x trước:

P = x bình phương + 2x(3 – 3y) + (3 – 3y) bình phương – (3 – 3y) bình phương + 10y bình phương + 8y – 3

Khai triển ra ta có:

• Cụm thứ nhất tạo thành bình phương: (x – 3y + 3) bình phương.
• Phần còn lại sau khi rút gọn ngoài bình phương sẽ là: y bình phương + 26y – 12 (ví dụ thế).

Để đơn giản hóa cho học sinh lớp 8, thầy/cô biến đổi trực tiếp biểu thức P thành tổng hai bình phương như sau:

P = (x bình phương – 6xy + 9y bình phương + 6x – 18y + 9) + (y bình phương + 26y + …) – Thầy/cô xin lỗi, để tìm đúng hệ số, ta làm thế này:

Ta có: P = (x – 3y + 3) bình phương + y bình phương + 26y – 12 (Kiểm tra lại: (x – 3y + 3) bình phương = x bình phương + 9y bình phương + 9 – 6xy + 6x – 18y. Cộng thêm y bình phương + 26y – 12 sẽ thành: x bình phương – 6xy + 10y bình phương + 6x + 8y – 3. Hoàn toàn chính xác!).

Bước 3: Tiếp tục hoàn thành bình phương cho biến y.

Bây giờ biểu thức P trở thành:

P = (x – 3y + 3) bình phương + (y bình phương + 26y + 169) – 169 – 12

P = (x – 3y + 3) bình phương + (y + 13) bình phương – 181

Bước 4: Đánh giá giá trị nhỏ nhất.

Vì bình phương của mọi số thực luôn lớn hơn hoặc bằng 0, nên:

• (x – 3y + 3) bình phương lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi x, y.
• (y + 13) bình phương lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi y.

Do đó, tổng của hai bình phương này sẽ lớn hơn hoặc bằng 0. Khi đó, biểu thức P sẽ lớn hơn hoặc bằng trừ 181.

Kết luận:

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là -181.

Dấu bằng xảy ra khi đồng thời:

• y + 13 = 0 (tức là y = -13)
• x – 3y + 3 = 0 (thay y = -13 vào ta tính được x = -42)

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng -181 khi x = -42 và y = -13. Chúc các em học tập thật tốt!