Chào em, rất vui được hướng dẫn em giải bài toán này! Đây là một dạng bài rất hay để rèn luyện kỹ năng biến đổi và tư duy về hàm số bậc hai. Em đã đi đúng hướng khi sử dụng Delta để tìm giá trị, bây giờ chúng ta sẽ cùng trình bày thật chi tiết và rõ ràng nhé.

Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) hoặc giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức \(B = \frac{x^2 – x + 1}{x^2 + 2x + 1}\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định điều kiện của biến và nhận xét ban đầu

Biểu thức có mẫu số là \(x^2 + 2x + 1\). Ta nhận thấy mẫu số này có thể viết lại thành một bình phương hoàn chỉnh:

\(x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2\)

Để biểu thức \(B\) được xác định, mẫu số phải khác 0. Do đó:

\((x+1)^2 \neq 0 \Rightarrow x+1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1\)

Bây giờ, chúng ta hãy xem xét tử số: \(x^2 – x + 1\). Để kiểm tra dấu của tử số, ta có thể dùng phương pháp hoàn thành bình phương hoặc tính Delta:

• Hoàn thành bình phương: \(x^2 – x + 1 = x^2 – 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^2 – \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 1 = \left(x – \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}\)
• Tính Delta: Với tam thức bậc hai \(ax^2+bx+c\), Delta là \(\Delta = b^2 – 4ac\). Ở đây, \(a=1, b=-1, c=1\).
  \(\Delta = (-1)^2 – 4(1)(1) = 1 – 4 = -3\).
  Vì \(\Delta < 0\) và hệ số \(a=1 > 0\), nên \(x^2 – x + 1\) luôn dương với mọi giá trị của \(x\).

Như vậy, tử số \(x^2 – x + 1 = \left(x – \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4} \ge \frac{3}{4}\) (luôn dương).
Mẫu số \((x+1)^2 \ge 0\) và bằng 0 khi \(x=-1\). Vì \(x \neq -1\), nên mẫu số \((x+1)^2 > 0\).

Do tử số và mẫu số đều luôn dương (với \(x \neq -1\)), nên giá trị của biểu thức \(B\) luôn dương.

Bước 2: Đặt biểu thức bằng một hằng số và đưa về phương trình bậc hai

Để tìm GTLN hoặc GTNN của \(B\), ta giả sử \(B = k\), trong đó \(k\) là một giá trị nào đó mà biểu thức có thể đạt được. Từ đó, ta sẽ tìm điều kiện của \(k\) để phương trình có nghiệm \(x\).

\(\frac{x^2 – x + 1}{(x+1)^2} = k\)

Nhân chéo cả hai vế (vì \((x+1)^2 > 0\), phép nhân không làm đổi chiều bất đẳng thức nếu ta xét sau này):

\(x^2 – x + 1 = k(x+1)^2\)

\(x^2 – x + 1 = k(x^2 + 2x + 1)\)

\(x^2 – x + 1 = kx^2 + 2kx + k\)

Chuyển tất cả các hạng tử sang một vế để tạo thành một phương trình bậc hai theo biến \(x\):

\(x^2 – kx^2 – x – 2kx + 1 – k = 0\)

\((1 – k)x^2 + (-1 – 2k)x + (1 – k) = 0\)

Hay: \((1 – k)x^2 – (1 + 2k)x + (1 – k) = 0 \quad (*)\)

Bước 3: Xét các trường hợp của phương trình bậc hai

Phương trình \((*)\) có thể là phương trình bậc hai hoặc bậc nhất tùy thuộc vào hệ số của \(x^2\).

Trường hợp 1: Hệ số của \(x^2\) bằng 0

Điều này xảy ra khi \(1 – k = 0 \Rightarrow k = 1\).

Thay \(k=1\) vào phương trình \((*)\), ta được:

\((1 – 1)x^2 – (1 + 2(1))x + (1 – 1) = 0\)

\(0x^2 – 3x + 0 = 0\)

\(-3x = 0 \Rightarrow x = 0\)

Giá trị \(x=0\) thỏa mãn điều kiện \(x \neq -1\). Vậy, \(k=1\) là một giá trị mà biểu thức \(B\) có thể đạt được (khi \(x=0\)).
Kiểm tra lại: \(B(0) = \frac{0^2 – 0 + 1}{(0+1)^2} = \frac{1}{1} = 1\).

Trường hợp 2: Hệ số của \(x^2\) khác 0

Điều này xảy ra khi \(1 – k \neq 0 \Rightarrow k \neq 1\).

Để phương trình bậc hai \((1 – k)x^2 – (1 + 2k)x + (1 – k) = 0\) có nghiệm thực \(x\), biệt thức Delta phải lớn hơn hoặc bằng 0 (\(\Delta \ge 0\)).

Ta có: \(a = 1 – k\), \(b = -(1 + 2k)\), \(c = 1 – k\)

\(\Delta = b^2 – 4ac\)

\(\Delta = (-(1 + 2k))^2 – 4(1 – k)(1 – k)\)

\(\Delta = (1 + 2k)^2 – 4(1 – k)^2\)

Khai triển các bình phương:

\(\Delta = (1 + 4k + 4k^2) – 4(1 – 2k + k^2)\)

\(\Delta = 1 + 4k + 4k^2 – (4 – 8k + 4k^2)\)

\(\Delta = 1 + 4k + 4k^2 – 4 + 8k – 4k^2\)

\(\Delta = 12k – 3\)

Để phương trình có nghiệm thực \(x\), ta phải có:

\(\Delta \ge 0\)

\(12k – 3 \ge 0\)

\(12k \ge 3\)

\(k \ge \frac{3}{12}\)

\(k \ge \frac{1}{4}\)

Bước 4: Kết luận về giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Từ Trường hợp 1, ta thấy \(k=1\) là một giá trị mà \(B\) có thể đạt được.

Từ Trường hợp 2, ta thấy rằng nếu \(k \neq 1\), thì \(k\) phải lớn hơn hoặc bằng \(1/4\). Cả hai trường hợp này cùng cho ta kết luận rằng giá trị của \(B\) phải luôn lớn hơn hoặc bằng \(1/4\).

Tức là \(B \ge \frac{1}{4}\).

Tìm giá trị nhỏ nhất:

Giá trị nhỏ nhất của \(B\) là \(1/4\). Giá trị này đạt được khi \(\Delta = 0\), tức là khi \(12k – 3 = 0 \Rightarrow k = 1/4\).
Khi đó, phương trình \((*)\) có nghiệm kép \(x = \frac{-b}{2a}\).

Với \(k = 1/4\):

• \(a = 1 – k = 1 – \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\)
• \(b = -(1 + 2k) = -\left(1 + 2 \cdot \frac{1}{4}\right) = -\left(1 + \frac{1}{2}\right) = -\frac{3}{2}\)

Vậy, \(x = \frac{-(-3/2)}{2(3/4)} = \frac{3/2}{3/2} = 1\)

Giá trị \(x=1\) thỏa mãn điều kiện \(x \neq -1\).
Kiểm tra lại: \(B(1) = \frac{1^2 – 1 + 1}{(1+1)^2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}\).

Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(B\) là \(\frac{1}{4}\), đạt được khi \(x=1\).

Tìm giá trị lớn nhất:

Chúng ta đã chứng minh được \(B \ge \frac{1}{4}\). Vậy liệu có giá trị lớn nhất không?

Hãy xem xét biểu thức khi \(x\) tiến về \(-1\) (điểm làm cho mẫu số bằng 0):

Khi \(x \to -1\), tử số \(x^2 – x + 1 \to (-1)^2 – (-1) + 1 = 1 + 1 + 1 = 3\).

Mẫu số \((x+1)^2 \to 0^+\) (vì bình phương luôn không âm).

Do đó, khi \(x \to -1\), \(B = \frac{\text{một số dương (khoảng 3)}}{\text{một số rất nhỏ, dương}} \to +\infty\).

Vì \(B\) có thể tiến tới vô cùng lớn, nên biểu thức \(B\) không có giá trị lớn nhất.

Tóm tắt kết quả:

• Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(B\) là \(\frac{1}{4}\), đạt được khi \(x=1\).
• Biểu thức \(B\) không có giá trị lớn nhất.

Em thấy đó, phương pháp sử dụng Delta (biệt thức của phương trình bậc hai) là một công cụ rất mạnh để tìm GTLN/GTNN của các hàm phân thức hữu tỉ có dạng \(\frac{ax^2+bx+c}{dx^2+ex+f}\) khi chúng ta biến đổi nó thành một phương trình bậc hai. Việc em tìm ra \(1/4\) là hoàn toàn chính xác!

Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi lại nhé!