Tìm gtln và gtnn (nếu có) của các hàm số sau trên đoạn đã chỉ ra
y=f(x)=x^3 -33…
y=f(x)=x^3 -33x trên đoạn [2;19]
Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số trên một đoạn. Đây là dạng bài rất quan trọng trong chương trình Giải tích lớp 12.
Đề bài: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số sau trên đoạn đã chỉ ra:
\(y = f(x) = x^3 – 33x\) trên đoạn \([2; 19]\).
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng các bước cơ bản đã học cho hàm số liên tục trên một đoạn.
Các bước thực hiện:
- Tìm đạo hàm của hàm số \(f(x)\).
- Tìm các điểm cực trị (nghiệm của \(f'(x) = 0\)) và kiểm tra xem chúng có thuộc đoạn đã cho hay không.
- Tính giá trị của hàm số tại các điểm đầu mút của đoạn và tại các điểm cực trị thuộc đoạn.
- So sánh các giá trị đã tính để tìm GTLN và GTNN.
Bây giờ chúng ta cùng bắt tay vào giải chi tiết nhé!
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số \(f(x)\).
Hàm số đã cho là \(f(x) = x^3 – 33x\).
Đạo hàm của hàm số là:
\(f'(x) = (x^3)’ – (33x)’\)
\(f'(x) = 3x^2 – 33\)
Bước 2: Tìm các điểm cực trị (nghiệm của \(f'(x) = 0\)) và kiểm tra điều kiện thuộc đoạn.
Đặt \(f'(x) = 0\), ta có:
\(3x^2 – 33 = 0\)
\(3x^2 = 33\)
\(x^2 = 11\)
\(x = \sqrt{11}\) hoặc \(x = -\sqrt{11}\)
Bây giờ, chúng ta cần kiểm tra xem các giá trị \(x\) này có thuộc đoạn \([2; 19]\) hay không.
- Đối với \(x = \sqrt{11}\):
Vì \(3^2 = 9\) và \(4^2 = 16\), nên \(\sqrt{11}\) nằm giữa 3 và 4. Cụ thể, \(\sqrt{11} \approx 3.317\).
Rõ ràng, \(2 \le 3.317 \le 19\). Vậy \(x = \sqrt{11}\) thuộc đoạn \([2; 19]\). - Đối với \(x = -\sqrt{11}\):
Vì \(-\sqrt{11} \approx -3.317\).
Giá trị này không thuộc đoạn \([2; 19]\) (vì \(-3.317 < 2\)). Do đó, chúng ta sẽ bỏ qua điểm này khi xét giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên đoạn.
Bước 3: Tính giá trị của hàm số tại các điểm đầu mút của đoạn và tại các điểm cực trị thuộc đoạn.
Chúng ta cần tính \(f(x)\) tại các điểm sau:
- Hai điểm đầu mút của đoạn: \(x = 2\) và \(x = 19\).
- Điểm cực trị thuộc đoạn: \(x = \sqrt{11}\).
Cụ thể như sau:
- Tại \(x = 2\) (điểm đầu mút bên trái):
\(f(2) = 2^3 – 33 \times 2 = 8 – 66 = -58\) - Tại \(x = 19\) (điểm đầu mút bên phải):
\(f(19) = 19^3 – 33 \times 19 = 6859 – 627 = 6232\) - Tại \(x = \sqrt{11}\) (điểm cực trị):
\(f(\sqrt{11}) = (\sqrt{11})^3 – 33\sqrt{11} = 11\sqrt{11} – 33\sqrt{11} = -22\sqrt{11}\)
(Để dễ so sánh, ta có thể ước lượng: \(-22\sqrt{11} \approx -22 \times 3.317 \approx -72.974\))
Bước 4: So sánh các giá trị đã tính để tìm GTLN và GTNN.
Các giá trị của hàm số mà chúng ta đã tính được là:
- \(f(2) = -58\)
- \(f(19) = 6232\)
- \(f(\sqrt{11}) = -22\sqrt{11} \approx -72.974\)
So sánh ba giá trị này:
- Giá trị lớn nhất là \(6232\).
- Giá trị nhỏ nhất là \(-22\sqrt{11}\).
Kết luận:
Vậy, trên đoạn \([2; 19]\):
Giá trị lớn nhất của hàm số là \(\mathbf{6232}\) khi \(x = 19\).
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(\mathbf{-22\sqrt{11}}\) khi \(x = \sqrt{11}\).
Các em thấy đó, việc tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn rất có phương pháp. Chỉ cần các em nắm vững các bước và tính toán cẩn thận là sẽ làm được. Hãy luyện tập thêm để thành thạo dạng bài này nhé!
Chúc các em học tốt!
\(y=f(x)=x^3 -33x\) trên đoạn \([2;19]\)
\(y’=3x^2-33=0\)
\(<=>3x^2=33\)
\(<=>x^2=33/3\)
\(TH1: x=\sqrt{11}\) \((\)Nhận\()\)
\(TH2: x=-\sqrt{11}\) \((\)Loại\()\)
Ta có:
\(y(2)=2^3-33.2=8-88=-58\)
\(y(19)=19^3-33.19=6232\)
\(y(\sqrt{11})=(\sqrt{11})^3-33.\sqrt{11}=-22\sqrt{11}\)
Vậy \(min_([2;19])f(x)=-22\sqrt{11}\) tại \(x=\sqrt{11}\)
Vậy \(max_([2;19])f(x)=6232\) tại \(x=19\)
\(f'(x)=3x^2-33\)
Cho \(3x^2-33=0 -> x^2=11\)
\(-> x=sqrt{11}\) (t/m) và \(x=-sqrt{11}\) (loại)
Tại đầu mút \(x=2\): \(f(2)=2^3-33*2=-58\)
Tại đầu mút \(x=19\): \(f(19)=19^3-33*19=6232\)
Tại điểm tới hạn \(x=sqrt{11}\): \(f(sqrt{11})=sqrt{11}^3-33*sqrt{11}=-22sqrt{11}~~-72,96\)
Vậy:
\(min_([2;19])f(x)=-22√11\) tại \(x=sqrt{11}\)
\(max_([2;19])f(x)=6232\) tại \(x=19\)
Trợ Lý Xưởng In Thiên Nam
Add comment