Chào các em học sinh thân mến! Hôm nay, thầy/cô sẽ hướng dẫn các em cách tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của các biểu thức bậc hai. Đây là một dạng toán rất quan trọng trong chương trình Toán lớp 8, đặc biệt khi chúng ta học về hằng đẳng thức đáng nhớ.

Phương pháp chung:
Để tìm GTNN của các biểu thức bậc hai có dạng \(ax^2 + bx + c\) với \(a > 0\), chúng ta sẽ sử dụng phương pháp “biến đổi về dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu cộng với một hằng số” (còn gọi là phương pháp hoàn thành bình phương).
Cụ thể, chúng ta sẽ biến đổi biểu thức về dạng \(A^2 + k\), với \(A\) là một biểu thức chứa biến \(x\) và \(k\) là một hằng số. Vì \(A^2 \ge 0\) với mọi giá trị của \(x\), nên \(A^2 + k \ge k\). Dấu bằng xảy ra khi \(A^2 = 0\), tức là \(A = 0\). Lúc đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức là \(k\).

Bây giờ, chúng ta cùng giải chi tiết từng bài nhé!

—
2) Tìm GTNN của biểu thức B = x^2 + x + 1

Để tìm GTNN của biểu thức B, ta sẽ biến đổi nó về dạng \((A+B)^2 + k\) hoặc \((A-B)^2 + k\).
Ta có:

\(B = x^2 + x + 1\)

Để hoàn thành bình phương cho \(x^2 + x\), ta cần thêm vào \(( \frac{1}{2} )^2 = \frac{1}{4}\). Do đó, ta sẽ thêm và bớt \(\frac{1}{4}\):

\(B = (x^2 + x + \frac{1}{4}) – \frac{1}{4} + 1\)

Nhận thấy rằng \(x^2 + x + \frac{1}{4}\) chính là hằng đẳng thức \((x + \frac{1}{2})^2\).

\(B = (x + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}\)

Vì \((x + \frac{1}{2})^2 \ge 0\) với mọi giá trị của \(x\), nên:

\(B = (x + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4} \ge 0 + \frac{3}{4} = \frac{3}{4}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \((x + \frac{1}{2})^2 = 0\), tức là \(x + \frac{1}{2} = 0\), hay \(x = -\frac{1}{2}\).

Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức B là \(\frac{3}{4}\) khi \(x = -\frac{1}{2}\).

—
3) Tìm GTNN của biểu thức C = x^2 – 4x + 1

Tương tự như trên, ta biến đổi biểu thức C:

\(C = x^2 – 4x + 1\)

Để hoàn thành bình phương cho \(x^2 – 4x\), ta cần thêm vào \(( \frac{-4}{2} )^2 = (-2)^2 = 4\). Do đó, ta sẽ thêm và bớt \(4\):

\(C = (x^2 – 4x + 4) – 4 + 1\)

Nhận thấy rằng \(x^2 – 4x + 4\) chính là hằng đẳng thức \((x – 2)^2\).

\(C = (x – 2)^2 – 3\)

Vì \((x – 2)^2 \ge 0\) với mọi giá trị của \(x\), nên:

\(C = (x – 2)^2 – 3 \ge 0 – 3 = -3\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \((x – 2)^2 = 0\), tức là \(x – 2 = 0\), hay \(x = 2\).

Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức C là \(-3\) khi \(x = 2\).

—
4) Tìm GTNN của biểu thức D = x^2 – 5x + 7

Ta tiếp tục biến đổi biểu thức D:

\(D = x^2 – 5x + 7\)

Để hoàn thành bình phương cho \(x^2 – 5x\), ta cần thêm vào \(( \frac{-5}{2} )^2 = \frac{25}{4}\). Do đó, ta sẽ thêm và bớt \(\frac{25}{4}\):

\(D = (x^2 – 5x + \frac{25}{4}) – \frac{25}{4} + 7\)

Nhận thấy rằng \(x^2 – 5x + \frac{25}{4}\) chính là hằng đẳng thức \((x – \frac{5}{2})^2\).

\(D = (x – \frac{5}{2})^2 – \frac{25}{4} + \frac{28}{4}\)

\(D = (x – \frac{5}{2})^2 + \frac{3}{4}\)

Vì \((x – \frac{5}{2})^2 \ge 0\) với mọi giá trị của \(x\), nên:

\(D = (x – \frac{5}{2})^2 + \frac{3}{4} \ge 0 + \frac{3}{4} = \frac{3}{4}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \((x – \frac{5}{2})^2 = 0\), tức là \(x – \frac{5}{2} = 0\), hay \(x = \frac{5}{2}\).

Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức D là \(\frac{3}{4}\) khi \(x = \frac{5}{2}\).

—
5) Tìm GTNN của biểu thức E = x^2 + 2x + 2

Ta biến đổi biểu thức E:

\(E = x^2 + 2x + 2\)

Để hoàn thành bình phương cho \(x^2 + 2x\), ta cần thêm vào \(( \frac{2}{2} )^2 = 1^2 = 1\). Do đó, ta sẽ thêm và bớt \(1\):

\(E = (x^2 + 2x + 1) – 1 + 2\)

Nhận thấy rằng \(x^2 + 2x + 1\) chính là hằng đẳng thức \((x + 1)^2\).

\(E = (x + 1)^2 + 1\)

Vì \((x + 1)^2 \ge 0\) với mọi giá trị của \(x\), nên:

\(E = (x + 1)^2 + 1 \ge 0 + 1 = 1\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \((x + 1)^2 = 0\), tức là \(x + 1 = 0\), hay \(x = -1\).

Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức E là \(1\) khi \(x = -1\).

—
6) Tìm GTNN của biểu thức F = x^2 – 3x + 1

Cuối cùng, ta biến đổi biểu thức F:

\(F = x^2 – 3x + 1\)

Để hoàn thành bình phương cho \(x^2 – 3x\), ta cần thêm vào \(( \frac{-3}{2} )^2 = \frac{9}{4}\). Do đó, ta sẽ thêm và bớt \(\frac{9}{4}\):

\(F = (x^2 – 3x + \frac{9}{4}) – \frac{9}{4} + 1\)

Nhận thấy rằng \(x^2 – 3x + \frac{9}{4}\) chính là hằng đẳng thức \((x – \frac{3}{2})^2\).

\(F = (x – \frac{3}{2})^2 – \frac{9}{4} + \frac{4}{4}\)

\(F = (x – \frac{3}{2})^2 – \frac{5}{4}\)

Vì \((x – \frac{3}{2})^2 \ge 0\) với mọi giá trị của \(x\), nên:

\(F = (x – \frac{3}{2})^2 – \frac{5}{4} \ge 0 – \frac{5}{4} = -\frac{5}{4}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \((x – \frac{3}{2})^2 = 0\), tức là \(x – \frac{3}{2} = 0\), hay \(x = \frac{3}{2}\).

Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức F là \(-\frac{5}{4}\) khi \(x = \frac{3}{2}\).

Thầy/cô hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã nắm vững phương pháp tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức bậc hai. Hãy luyện tập thêm để thành thạo dạng toán này nhé!