Tìm GTNN của P = x² + 5y² + 4xy + 6x + 12y + 8
P = \( x^2 + 5y^2 + 4xy + 6x + 12y + 8 \)
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp biến đổi về dạng tổng các bình phương. Các em hãy chú ý theo dõi từng bước nhé!
Bước 1: Nhóm các hạng tử liên quan đến \(x\) và \(y\).
Chúng ta sẽ cố gắng nhóm các hạng tử để tạo ra các bình phương hoàn chỉnh. Đầu tiên, hãy nhìn vào các hạng tử chứa \(x^2\), \(y^2\) và \(xy\).
Ta có thể viết lại biểu thức P như sau:
P = \( (x^2 + 4xy + 4y^2) + y^2 + 6x + 12y + 8 \)
Bước 2: Biến đổi phần trong ngoặc thành bình phương.
Nhận thấy \(x^2 + 4xy + 4y^2\) chính là dạng của bình phương một tổng: \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \). Ở đây, \(a = x\) và \(b = 2y\).
Vậy, ta có:
P = \( (x + 2y)^2 + y^2 + 6x + 12y + 8 \)
Bước 3: Biến đổi các hạng tử còn lại để tạo thêm bình phương.
Bây giờ, chúng ta còn các hạng tử: \(y^2 + 6x + 12y + 8\). Chúng ta sẽ tiếp tục cố gắng tạo ra các bình phương từ các hạng tử này.
Hãy tập trung vào các hạng tử chứa \(6x\) và \(12y\). Ta có thể nhóm chúng lại với một phần của \(y^2\) hoặc một hằng số nào đó.
Thử xét hạng tử \(6x + 12y\). Ta có thể liên kết nó với \(x+2y\).
Ta có thể thêm và bớt các hằng số để tạo thành bình phương.
Xét \( (x + 2y)^2 \). Chúng ta có \(6x + 12y = 3(2x + 4y)\). Điều này chưa thật sự giúp ích.
Hãy thử một cách tiếp cận khác. Ta sẽ cố gắng hoàn thành bình phương cho \(x\) trước, sau đó là \(y\).
P = \( x^2 + 6x + 9 – 9 + 4xy + 5y^2 + 12y + 8 \)
P = \( (x^2 + 6x + 9) + 4xy + 5y^2 + 12y – 9 + 8 \)
P = \( (x + 3)^2 + 4xy + 5y^2 + 12y – 1 \)
Bây giờ, ta vẫn còn \(4xy\). Chúng ta cần nhóm nó với các hạng tử còn lại.
Hãy quay lại cách nhóm ban đầu và xem xét kỹ hơn.
P = \( x^2 + 4xy + 5y^2 + 6x + 12y + 8 \)
Ta nhận thấy \(4xy\) liên quan đến \(x\) và \(y\). Hãy nhóm \(x^2 + 4xy\) lại và thêm bớt để tạo thành bình phương.
P = \( (x^2 + 4xy + 4y^2) – 4y^2 + 5y^2 + 6x + 12y + 8 \)
P = \( (x + 2y)^2 + y^2 + 6x + 12y + 8 \)
Bây giờ, ta cần xử lý \(y^2 + 6x + 12y + 8\). Chúng ta sẽ cố gắng “tách” các hạng tử để tạo thành các bình phương.
Hãy thử nhóm các hạng tử chứa \(y\) và các hằng số để tạo thành bình phương với \(y\).
P = \( (x + 2y)^2 + (y^2 + 12y + 36) – 36 + 6x + 8 \)
P = \( (x + 2y)^2 + (y + 6)^2 + 6x – 28 \)
Ta vẫn còn \(6x\). Điều này cho thấy cách nhóm ban đầu có thể chưa tối ưu hoặc chúng ta cần một phép biến đổi khéo léo hơn.
Bước 3 (Tiếp theo): Thử một cách nhóm khác và bổ sung hạng tử.
Chúng ta sẽ cố gắng tạo thành các bình phương của các biểu thức chứa cả \(x\) và \(y\), hoặc các biểu thức chỉ chứa \(x\) và \(y\) riêng lẻ, sao cho chúng có thể kết hợp với nhau.
Ta có thể viết lại P như sau:
P = \( x^2 + 4xy + 4y^2 + y^2 + 6x + 12y + 8 \)
P = \( (x + 2y)^2 + y^2 + 6x + 12y + 8 \)
Bây giờ, chúng ta sẽ xem xét các hạng tử còn lại: \(y^2 + 6x + 12y + 8\).
Chúng ta sẽ thử “đưa” \(6x\) vào một bình phương nào đó.
Hãy thử thêm và bớt \(9\).
P = \( (x^2 + 6x + 9) + 4xy + 5y^2 + 12y – 1 \)
P = \( (x+3)^2 + 4xy + 5y^2 + 12y – 1 \)
Bây giờ ta có \(4xy\). Hãy thử nhóm nó với \(5y^2 + 12y\).
Ta cần làm xuất hiện \(x\) trong các bình phương.
Hãy thử một cách khác bằng cách hoàn thành bình phương hai biến.
Xét \(P = x^2 + 4xy + 6x + 5y^2 + 12y + 8\).
Ta có thể nhóm các hạng tử theo \(x\) trước:
P = \( (x^2 + (4y+6)x) + 5y^2 + 12y + 8 \)
Để hoàn thành bình phương cho \(x\), ta cần thêm \((\frac{4y+6}{2})^2 = (2y+3)^2\).
P = \( (x^2 + 2(2y+3)x + (2y+3)^2) – (2y+3)^2 + 5y^2 + 12y + 8 \)
P = \( (x + 2y + 3)^2 – (4y^2 + 12y + 9) + 5y^2 + 12y + 8 \)
P = \( (x + 2y + 3)^2 – 4y^2 – 12y – 9 + 5y^2 + 12y + 8 \)
P = \( (x + 2y + 3)^2 + y^2 – 1 \)
Bước 4: Tìm GTNN.
Bây giờ, biểu thức P đã được biến đổi thành dạng tổng của hai bình phương trừ đi một hằng số:
P = \( (x + 2y + 3)^2 + y^2 – 1 \)
Chúng ta biết rằng:
- \( (x + 2y + 3)^2 \ge 0 \) với mọi \(x, y\).
- \( y^2 \ge 0 \) với mọi \(y\).
Do đó, tổng \( (x + 2y + 3)^2 + y^2 \ge 0 \).
Giá trị nhỏ nhất của \( (x + 2y + 3)^2 + y^2 \) là \(0\).
Điều này xảy ra khi:
- \( y^2 = 0 \Rightarrow y = 0 \)
- Và \( x + 2y + 3 = 0 \). Thay \(y=0\) vào, ta được \( x + 2(0) + 3 = 0 \Rightarrow x = -3 \).
Vậy, GTNN của P xảy ra khi \(x = -3\) và \(y = 0\).
Khi đó, GTNN của P là:
P_{min} = \( (0)^2 + (0)^2 – 1 \)
P_{min} = \( -1 \)
Kết luận:
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là \( -1 \).
Giá trị này đạt được khi \( x = -3 \) và \( y = 0 \).
Các em thấy không, bằng cách biến đổi khéo léo về dạng tổng các bình phương, chúng ta có thể dễ dàng tìm được GTNN của biểu thức!
\(P = x^2 + 5y^2 + 4xy + 6x + 12y + 8\)
\(= (x^2 + 4xy + 4y^2 + 6x + 12y) + y^2 + 8\)
\(=[(x + 2y)^2 + 6(x + 2y) + 9] + y^2 + 8 – 9\)
\(= (x + 2y + 3)^2 + y^2 – 1\)
Vì \( (x + 2y + 3)^2>=0\) và \(y^2>=0\) với mọi \(x, y \in ZZ\)
\(=>P = (x + 2y + 3)^2 + y^2 – 1 >= 0 + 0 – 1 = -1\)
Dấu “=” xảy ra khi:
\({( x + 2y + 3 = 0 ),( y = 0 ):}\)
\({( x + 2. 0 + 3 = 0 ),( y = 0 ):}\)
\({( x + 3 = 0 ),( y = 0 ):}\)
\({( x =-3 ),( y = 0 ):}\)
Vậy \(…\)
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
\(P=x^2+5y^2+4xy+6x+12y+8\)
\(P=x^2+4y^2+y^2+4xy+6x+12y+(9-1)\)
\(P=(x^2+4y^2+9+4xy+6x+12y)+y^2-1\)
\(P=(x+2y+3)^2+y^2-1\)
Ta có \((x+2y+3)^2>=0\) và \(y^2-1>=0 \forall x,y in RR\)
\(=>P>=0+0-1=-1\)
Dấu “\(=\)” xảy ra khi:
\(\left[ \begin{array}{l}y=0\\x+2y+3=0\end{array} \right.\)
\(=>\)\(\left[ \begin{array}{l}y=0\\x+2.0+3=0\end{array} \right.\)
\(=>\)\(\left[ \begin{array}{l}y=0\\x+3=0\end{array} \right.\)
\(=>\)\(\left[ \begin{array}{l}y=0\\x=-3\end{array} \right.\)
Vậy \(Mi n_(P)=-1\) tại \(x=-3\) và \(y=0\)
Trợ Lý Xưởng In Thiên Nam
Add comment