Chào các em học sinh yêu quý!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) có chứa dấu giá trị tuyệt đối. Đây là một dạng toán khá thú vị và đòi hỏi chúng ta phải nắm vững định nghĩa về giá trị tuyệt đối.

Đề bài: Tìm GTNN của biểu thức \( F = |x+\frac{1}{5}| – x + \frac{4}{7} \)

Hướng dẫn giải:

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( F \), chúng ta cần xét các trường hợp của biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối. Nhắc lại, giá trị tuyệt đối của một số \( a \), ký hiệu là \( |a| \), được định nghĩa như sau:

• Nếu \( a \geq 0 \), thì \( |a| = a \).
• Nếu \( a < 0 \), thì \( |a| = -a \).

Trong bài này, biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối là \( x+\frac{1}{5} \). Chúng ta sẽ xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: \( x+\frac{1}{5} \geq 0 \)

Điều này tương đương với \( x \geq -\frac{1}{5} \).

Khi đó, theo định nghĩa giá trị tuyệt đối, ta có \( |x+\frac{1}{5}| = x+\frac{1}{5} \).

Thay vào biểu thức \( F \), ta được:

\( F = (x+\frac{1}{5}) – x + \frac{4}{7} \)

\( F = x + \frac{1}{5} – x + \frac{4}{7} \)

Gộp các hạng tử lại:

\( F = (x – x) + (\frac{1}{5} + \frac{4}{7}) \)

\( F = 0 + (\frac{7}{35} + \frac{20}{35}) \)

\( F = \frac{27}{35} \)

Vậy, trong trường hợp này (khi \( x \geq -\frac{1}{5} \)), biểu thức \( F \) luôn có giá trị bằng \( \frac{27}{35} \).

Trường hợp 2: \( x+\frac{1}{5} < 0 \)

Điều này tương đương với \( x < -\frac{1}{5} \).

Khi đó, theo định nghĩa giá trị tuyệt đối, ta có \( |x+\frac{1}{5}| = -(x+\frac{1}{5}) = -x-\frac{1}{5} \).

Thay vào biểu thức \( F \), ta được:

\( F = (-x-\frac{1}{5}) – x + \frac{4}{7} \)

\( F = -x – \frac{1}{5} – x + \frac{4}{7} \)

Gộp các hạng tử lại:

\( F = (-x – x) + (-\frac{1}{5} + \frac{4}{7}) \)

\( F = -2x + (-\frac{7}{35} + \frac{20}{35}) \)

\( F = -2x + \frac{13}{35} \)

Bây giờ, chúng ta cần xem xét giá trị của \( F = -2x + \frac{13}{35} \) trong điều kiện \( x < -\frac{1}{5} \).

Vì \( x < -\frac{1}{5} \), khi nhân cả hai vế với \( -2 \) (một số âm), chúng ta phải đổi chiều bất đẳng thức:

\( -2x > (-2) \times (-\frac{1}{5}) \)

\( -2x > \frac{2}{5} \)

Bây giờ, cộng \( \frac{13}{35} \) vào cả hai vế của bất đẳng thức:

\( -2x + \frac{13}{35} > \frac{2}{5} + \frac{13}{35} \)

\( -2x + \frac{13}{35} > \frac{14}{35} + \frac{13}{35} \)

\( -2x + \frac{13}{35} > \frac{27}{35} \)

Vậy, trong trường hợp này (khi \( x < -\frac{1}{5} \)), biểu thức \( F \) luôn có giá trị lớn hơn \( \frac{27}{35} \).

So sánh hai trường hợp:

• Ở Trường hợp 1: \( F = \frac{27}{35} \) (khi \( x \geq -\frac{1}{5} \)).
• Ở Trường hợp 2: \( F > \frac{27}{35} \) (khi \( x < -\frac{1}{5} \)).

Từ hai trường hợp trên, ta thấy rằng giá trị nhỏ nhất mà \( F \) có thể đạt được là \( \frac{27}{35} \). Giá trị này đạt được khi \( x \geq -\frac{1}{5} \). Ví dụ, khi \( x = -\frac{1}{5} \), ta có \( F = |\frac{-1}{5}+\frac{1}{5}| – (-\frac{1}{5}) + \frac{4}{7} = |0| + \frac{1}{5} + \frac{4}{7} = 0 + \frac{7}{35} + \frac{20}{35} = \frac{27}{35} \).

Kết luận:

Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( F = |x+\frac{1}{5}| – x + \frac{4}{7} \) là \( \frac{27}{35} \).

Giá trị này đạt được khi \( x \geq -\frac{1}{5} \).

Các em nhớ nhé, khi gặp bài toán có dấu giá trị tuyệt đối, việc chia trường hợp là chìa khóa để giải quyết bài toán một cách chính xác!

Chúc các em học tốt!