Chào các em, hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán về tìm tham số m cho hàm số có hai tiệm cận đứng.

Bài toán: Tìm m để hàm số \(y=(x^2+x-2)/(x^2-2x+m)\) có hai tiệm cận đứng.

Phân tích bài toán:

Để một hàm phân thức có tiệm cận đứng, mẫu số phải bằng 0 tại điểm đó, và tử số phải khác 0 tại điểm đó.

Hàm số \(y = \frac{P(x)}{Q(x)}\) có tiệm cận đứng tại \(x=a\) nếu \(Q(a) = 0\) và \(P(a) \neq 0\).

Trong bài toán này, ta có:

Tử số: \(P(x) = x^2+x-2\)

Mẫu số: \(Q(x) = x^2-2x+m\)

Chúng ta cần tìm m sao cho phương trình \(Q(x) = 0\) có hai nghiệm phân biệt, và tại mỗi nghiệm đó, tử số \(P(x)\) phải khác 0.

Giải bài toán:

Bước 1: Tìm điều kiện để mẫu số có hai nghiệm phân biệt.

Xét phương trình mẫu số: \(x^2-2x+m = 0\)

Để phương trình này có hai nghiệm phân biệt, biệt thức Delta của nó phải lớn hơn 0.

Ta có: \(\Delta = b^2 – 4ac = (-2)^2 – 4(1)(m) = 4 – 4m\)

Điều kiện để có hai nghiệm phân biệt là: \(\Delta > 0\)

\(4 – 4m > 0\)

\(4 > 4m\)

\(1 > m\) hoặc \(m < 1\)

Vậy, để mẫu số có hai nghiệm phân biệt, ta cần \(m < 1\).

Bước 2: Tìm nghiệm của tử số.

Xét phương trình tử số: \(x^2+x-2 = 0\)

Ta có thể phân tích hoặc dùng công thức nghiệm.

Phân tích thành nhân tử: \(x^2+x-2 = (x+2)(x-1) = 0\)

Vậy, nghiệm của tử số là \(x = -2\) và \(x = 1\).

Bước 3: Điều kiện để hai nghiệm của mẫu số khác với nghiệm của tử số.

Để hàm số có hai tiệm cận đứng, hai nghiệm của mẫu số (gọi là \(x_1\) và \(x_2\)) phải khác 0 và khác nhau, và quan trọng là chúng phải khác với các nghiệm của tử số (là -2 và 1).

Nghĩa là, nếu \(x_1\) là nghiệm của mẫu số, thì \(P(x_1) \neq 0\). Nếu \(x_2\) là nghiệm của mẫu số, thì \(P(x_2) \neq 0\).

Điều này tương đương với việc hai nghiệm của mẫu số \(x^2-2x+m=0\) không được bằng -2 và không được bằng 1.

Trường hợp 1: Nghiệm của mẫu số là \(x = -2\).

Nếu \(x = -2\) là một nghiệm của \(x^2-2x+m = 0\), thì khi thay \(x = -2\) vào, phương trình phải thỏa mãn.

\((-2)^2 – 2(-2) + m = 0\)

\(4 + 4 + m = 0\)

\(8 + m = 0\)

\(m = -8\)

Khi \(m = -8\), mẫu số là \(x^2-2x-8 = (x+2)(x-4)\). Nghiệm là \(x=-2\) và \(x=4\). Tử số có nghiệm là \(x=-2\) và \(x=1\). Tại \(x=-2\), cả tử và mẫu đều bằng 0, nên sẽ có dạng \(\frac{0}{0}\), ta cần khử dạng này. Ta có thể rút gọn \( (x+2) \). Khi đó hàm số trở thành \(y = \frac{x-1}{x-4}\) (với \(x \neq -2\)). Hàm số này chỉ có một tiệm cận đứng là \(x=4\). Do đó, trường hợp \(m=-8\) không thỏa mãn yêu cầu có hai tiệm cận đứng.

Trường hợp 2: Nghiệm của mẫu số là \(x = 1\).

Nếu \(x = 1\) là một nghiệm của \(x^2-2x+m = 0\), thì khi thay \(x = 1\) vào, phương trình phải thỏa mãn.

\((1)^2 – 2(1) + m = 0\)

\(1 – 2 + m = 0\)

\(-1 + m = 0\)

\(m = 1\)

Tuy nhiên, ở Bước 1, chúng ta đã có điều kiện \(m < 1\) để mẫu số có hai nghiệm phân biệt. Nếu \(m = 1\), thì \(\Delta = 4 - 4(1) = 0\), phương trình mẫu số chỉ có một nghiệm kép. Do đó, trường hợp \(m=1\) không thỏa mãn yêu cầu có hai tiệm cận đứng.

Kết luận:

Để hàm số có hai tiệm cận đứng, chúng ta cần hai điều kiện:

1. Mẫu số \(x^2-2x+m = 0\) có hai nghiệm phân biệt, tức là \(m < 1\).
2. Hai nghiệm này của mẫu số không được trùng với nghiệm của tử số (\(x = -2\) và \(x = 1\)).

Chúng ta đã kiểm tra rằng nếu một trong hai nghiệm của mẫu số là -2 hoặc 1 thì sẽ dẫn đến việc mất đi một tiệm cận đứng. Do đó, cả hai nghiệm của mẫu số đều phải khác -2 và khác 1.

Vì vậy, điều kiện cần và đủ để hàm số có hai tiệm cận đứng là mẫu số phải có hai nghiệm phân biệt và hai nghiệm đó không được là nghiệm của tử số.

Điều kiện \(m < 1\) đã đảm bảo hai nghiệm phân biệt. Và chúng ta đã loại bỏ các trường hợp làm cho một trong hai nghiệm đó trùng với nghiệm của tử số.

Vậy, để hàm số có hai tiệm cận đứng, ta chỉ cần điều kiện \(m < 1\).

Đáp án: Các giá trị của m để hàm số có hai tiệm cận đứng là \(m < 1\).