Chào các em học sinh yêu quý,

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán thú vị liên quan đến số chính phương nhé. Đề bài yêu cầu chúng ta tìm các số nguyên \(n\) sao cho cả hai biểu thức \(4n+3\) và \(n-5\) đều là số chính phương.

Chúng ta cùng bắt đầu nào!

Bài giải:

Để \(4n+3\) và \(n-5\) đều là số chính phương, chúng ta sẽ đặt chúng bằng bình phương của các số nguyên.

Đặt:

\(4n+3 = a^2\) (1)

\(n-5 = b^2\) (2)

với \(a, b\) là các số nguyên.

Bước 1: Xác định điều kiện của \(n\).

Từ (2), ta có \(n-5 = b^2\). Vì \(b^2\) là một số chính phương nên \(b^2 \ge 0\).
Do đó, \(n-5 \ge 0 \Rightarrow n \ge 5\).

Bước 2: Biểu diễn \(n\) theo \(b\) và thế vào phương trình còn lại.

Từ (2), ta rút \(n\) ra: \(n = b^2+5\).

Thế \(n = b^2+5\) vào (1):

\(4(b^2+5) + 3 = a^2\)

\(4b^2 + 20 + 3 = a^2\)

\(4b^2 + 23 = a^2\)

Bước 3: Đưa về dạng hiệu hai bình phương.

Chúng ta chuyển \(4b^2\) sang vế phải:

\(23 = a^2 – 4b^2\)

\(23 = a^2 – (2b)^2\)

Đây là dạng hiệu hai bình phương, chúng ta có thể phân tích thành tích:

\(23 = (a – 2b)(a + 2b)\)

Bước 4: Xét các trường hợp tích của các số nguyên.

Vì \(a\) và \(b\) là các số nguyên, nên \(a-2b\) và \(a+2b\) cũng là các số nguyên.
Số 23 là một số nguyên tố, nên các cặp ước của 23 chỉ có thể là:

\((1, 23), (23, 1), (-1, -23), (-23, -1)\)

Chúng ta có hệ phương trình sau:

Đặt \(X = a – 2b\) và \(Y = a + 2b\). Khi đó \(XY = 23\).

Ta có:

• \(Y + X = (a + 2b) + (a – 2b) = 2a\)
• \(Y – X = (a + 2b) – (a – 2b) = 4b\)

Từ đây, để \(a\) và \(b\) là các số nguyên, thì \(2a\) phải là số chẵn và \(4b\) phải là bội của 4 (hay \(Y-X\) phải chia hết cho 4).

Hãy xét từng trường hợp:

Trường hợp 1: \(a – 2b = 1\) và \(a + 2b = 23\)

Cộng hai phương trình: \( (a – 2b) + (a + 2b) = 1 + 23 \Rightarrow 2a = 24 \Rightarrow a = 12 \).
Trừ hai phương trình: \( (a + 2b) – (a – 2b) = 23 – 1 \Rightarrow 4b = 22 \Rightarrow b = \frac{22}{4} = \frac{11}{2} \).
Vì \(b = \frac{11}{2}\) không phải là số nguyên, nên trường hợp này không thỏa mãn.

Trường hợp 2: \(a – 2b = 23\) và \(a + 2b = 1\)

Cộng hai phương trình: \( (a – 2b) + (a + 2b) = 23 + 1 \Rightarrow 2a = 24 \Rightarrow a = 12 \).
Trừ hai phương trình: \( (a + 2b) – (a – 2b) = 1 – 23 \Rightarrow 4b = -22 \Rightarrow b = \frac{-22}{4} = -\frac{11}{2} \).
Vì \(b = -\frac{11}{2}\) không phải là số nguyên, nên trường hợp này không thỏa mãn.

Trường hợp 3: \(a – 2b = -1\) và \(a + 2b = -23\)

Cộng hai phương trình: \( (a – 2b) + (a + 2b) = -1 + (-23) \Rightarrow 2a = -24 \Rightarrow a = -12 \).
Trừ hai phương trình: \( (a + 2b) – (a – 2b) = -23 – (-1) \Rightarrow 4b = -22 \Rightarrow b = \frac{-22}{4} = -\frac{11}{2} \).
Vì \(b = -\frac{11}{2}\) không phải là số nguyên, nên trường hợp này không thỏa mãn.

Trường hợp 4: \(a – 2b = -23\) và \(a + 2b = -1\)

Cộng hai phương trình: \( (a – 2b) + (a + 2b) = -23 + (-1) \Rightarrow 2a = -24 \Rightarrow a = -12 \).
Trừ hai phương trình: \( (a + 2b) – (a – 2b) = -1 – (-23) \Rightarrow 4b = 22 \Rightarrow b = \frac{22}{4} = \frac{11}{2} \).
Vì \(b = \frac{11}{2}\) không phải là số nguyên, nên trường hợp này không thỏa mãn.

Bước 5: Kết luận.

Qua tất cả các trường hợp, chúng ta thấy rằng không có giá trị nguyên nào của \(b\) thỏa mãn điều kiện. Điều này có nghĩa là không có số nguyên \(n\) nào mà \(4n+3\) và \(n-5\) đều là số chính phương.

Vậy, không tồn tại số nguyên \(n\) nào thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Các em nhớ rằng, không phải lúc nào bài toán cũng có lời giải. Việc kết luận “không tồn tại” cũng là một kết quả hợp lý nhé!