Tìm n thuộc Z để A= `n^2` +n+1 là scp (`*`Lưu ý: làm bằng phương pháp kẹp)

Question

Tìm n thuộc Z để A= $n^2$ +n+1 là scp ($*$Lưu ý: làm bằng phương pháp kẹp)

Giáo viên Chuyên Môn · Accepted Answer

Chào các em học sinh lớp 9!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán thú vị liên quan đến số chính phương. Bài toán yêu cầu chúng ta tìm các số nguyên $n$ sao cho biểu thức $A = n^2 + n + 1$ là một số chính phương. Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp kẹp để giải bài toán này.

Bài toán: Tìm $n \in \mathbb{Z}$ để $A = n^2 + n + 1$ là số chính phương.

Lời giải:

Gọi $A = n^2 + n + 1$ là một số chính phương. Do đó, ta có thể đặt $n^2 + n + 1 = k^2$ với $k \in \mathbb{Z}$.

Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp kẹp để tìm $n$. Phương pháp này dựa trên việc xem xét các số chính phương liền kề với biểu thức $n^2 + n + 1$.

Trường hợp 1: Xét khi $n$ là số nguyên dương hoặc $n=0$.

Ta so sánh $n^2 + n + 1$ với $n^2$:
$n^2 + n + 1 - n^2 = n + 1$.
Nếu $n + 1 > 0$ (tức là $n > -1$), thì $n^2 + n + 1 > n^2$.

Tiếp theo, ta so sánh $n^2 + n + 1$ với số chính phương liền sau $n^2$, đó là $(n+1)^2$:
$(n+1)^2 = n^2 + 2n + 1$.
Ta xét hiệu: $(n+1)^2 - (n^2 + n + 1) = (n^2 + 2n + 1) - (n^2 + n + 1) = n$.

Bây giờ, chúng ta xem xét các khả năng:

Khả năng 1.1: $n^2 + n + 1 = n^2$. Điều này chỉ xảy ra khi $n+1=0$, tức là $n=-1$. Tuy nhiên, chúng ta đang xét trường hợp $n > -1$.

Khả năng 1.2: $n^2 + n + 1 = (n+1)^2$. Điều này chỉ xảy ra khi $n = 0$. 
Nếu $n = 0$, thì $A = 0^2 + 0 + 1 = 1$, mà $1 = 1^2$ là một số chính phương. Vậy $n=0$ là một nghiệm.

Khả năng 1.3: $n^2 
Điều này xảy ra khi \(n+1 > 0$ (tức là $n > -1$) và $n > 0$ (tức là $n > 0$). 
Trong trường hợp này, $n^2 + n + 1$ nằm kẹp giữa hai số chính phương liên tiếp $n^2$ và $(n+1)^2$. Do đó, $n^2 + n + 1$ không thể là một số chính phương.

Vậy, với $n \ge 0$, chỉ có $n=0$ là thỏa mãn.

Trường hợp 2: Xét khi $n$ là số nguyên âm.

Ta xét $n \le -2$.
Ta có: $n^2 + n + 1$.
Xét $(n+1)^2 = n^2 + 2n + 1$.
Xét $(n)^2 = n^2$.

Ta so sánh $n^2 + n + 1$ với $(n+1)^2$:
$(n+1)^2 - (n^2 + n + 1) = n$.
Vì $n \le -2$, nên $n

Ta so sánh \(n^2 + n + 1$ với $n^2$:
$n^2 + n + 1 - n^2 = n + 1$.
Vì $n \le -2$, nên $n+1 \le -1

Như vậy, với \(n \le -2$, ta có $(n+1)^2 
Tuy nhiên, với \(n$ âm, số chính phương liền sau $n^2$ không phải là $(n+1)^2$. Ta cần xem xét số chính phương nhỏ hơn $n^2$.

Hãy thử xét biểu thức $n^2+n+1$ và các số chính phương xung quanh nó một cách cẩn thận hơn.

Ta có $4A = 4(n^2 + n + 1) = 4n^2 + 4n + 4$.
Ta sẽ kẹp $4A$ giữa hai số chính phương liên tiếp:

Xét $(2n+1)^2 = 4n^2 + 4n + 1$.
Ta có: $4n^2 + 4n + 4 - (4n^2 + 4n + 1) = 3 > 0$.
Do đó, $4n^2 + 4n + 4 > (2n+1)^2$.

Xét $(2n+2)^2 = (2(n+1))^2 = 4(n+1)^2 = 4(n^2 + 2n + 1) = 4n^2 + 8n + 4$.

Ta có hai trường hợp nhỏ hơn:

Trường hợp 2.1: $n \ge 0$.
Ta đã xét và tìm được $n=0$.

Trường hợp 2.2: $n 
Nếu \(n^2 + n + 1 = k^2$ với $k \in \mathbb{Z}$.
Nhân hai vế với 4: $4n^2 + 4n + 4 = 4k^2 = (2k)^2$.
Ta có $(2n+1)^2 = 4n^2 + 4n + 1$.
Ta có $4n^2 + 4n + 4 = (2n+1)^2 + 3$.
Nếu $A$ là số chính phương, thì $4A$ cũng là số chính phương. Đặt $4A = m^2$ với $m \in \mathbb{Z}$.
Ta có $m^2 = (2n+1)^2 + 3$.
Hay $m^2 - (2n+1)^2 = 3$.
Sử dụng hiệu hai bình phương: $(m - (2n+1))(m + (2n+1)) = 3$.

Vì $m$ và $n$ là các số nguyên, nên $m - (2n+1)$ và $m + (2n+1)$ phải là các ước của 3.
Các cặp ước của 3 là: $(1, 3)$, $(-1, -3)$, $(3, 1)$, $(-3, -1)$.

Trường hợp a:
$m - (2n+1) = 1$ (1)
$m + (2n+1) = 3$ (2)
Cộng (1) và (2): $2m = 4 \implies m = 2$.
Thế $m=2$ vào (2): $2 + (2n+1) = 3 \implies 2n+1 = 1 \implies 2n = 0 \implies n = 0$.
Kiểm tra: $n=0 \implies A = 0^2 + 0 + 1 = 1 = 1^2$. Thỏa mãn.

Trường hợp b:
$m - (2n+1) = -1$ (3)
$m + (2n+1) = -3$ (4)
Cộng (3) và (4): $2m = -4 \implies m = -2$.
Thế $m=-2$ vào (4): $-2 + (2n+1) = -3 \implies 2n+1 = -1 \implies 2n = -2 \implies n = -1$.
Kiểm tra: $n=-1 \implies A = (-1)^2 + (-1) + 1 = 1 - 1 + 1 = 1 = 1^2$. Thỏa mãn.

Trường hợp c:
$m - (2n+1) = 3$ (5)
$m + (2n+1) = 1$ (6)
Cộng (5) và (6): $2m = 4 \implies m = 2$.
Thế $m=2$ vào (6): $2 + (2n+1) = 1 \implies 2n+1 = -1 \implies 2n = -2 \implies n = -1$.
Trường hợp này cho kết quả $n=-1$, đã tìm thấy.

Trường hợp d:
$m - (2n+1) = -3$ (7)
$m + (2n+1) = -1$ (8)
Cộng (7) và (8): $2m = -4 \implies m = -2$.
Thế $m=-2$ vào (8): $-2 + (2n+1) = -1 \implies 2n+1 = 1 \implies 2n = 0 \implies n = 0$.
Trường hợp này cho kết quả $n=0$, đã tìm thấy.

Vậy, các giá trị nguyên của $n$ để $A = n^2 + n + 1$ là số chính phương là $n=0$ và $n=-1$.

Kết luận:
Các số nguyên $n$ thỏa mãn yêu cầu bài toán là $n = 0$ và $n = -1$.

Chúc các em học tốt!

Duy Cương · Answer

Xét hiệu: $P=(A - n^2)[A - (n+1)^2]$ Ta có $A=n^2+n+1=> {(A - n^2=n+1),(A - (n+1)^2 =-n):}$ $=> P=-n(n+1)$ Nhận thấy $n$ và $n+1$ là hai số nguyên liên tiếp Mà $AAn notin {0; -1}, n$ và $n+1$ cùng âm hoặc cùng dương $=> n(n+1) > 0=> P=-n(n+1) < 0$ $=>[((n+1)^2 A=0^2+0+1=1^2$ $"(TM)"$ $@$ Xét $n=-1$ $=> A=(-1)^2+(-1)+1=1^2$ $"(TM)"$ Vậy $n in {-1; 0}$

papa · Answer

Đáp án$+$Giải thích các bước giải: $TH_1: n > 0 => n < n+n=2n$ $=> n^2 < n^2 + n +1 < n^2 + 2n+1=(n+1)^2$ Mà giữa $2$ số chính phương liên tiếp ko tồn tại số chính phương nào $=> n^2 +n+1$ ko là số chính phương (loại) $TH_2: n=0 => n^2 +n+1=1$(tm) $TH_3: n=-1 => n^2 +n+1=1-1+1=1$(tm) $TH_4: n < -1 => n+1 < 0 => n^2 +n+1 < n^2$$(1)$ Khi đó $n^2 +n+1 > n^2 +2n +1 =(n+1)^2$$(2)$ $(1)(2)=> n^2 > (n+1)^2$(vô lý) Vậy $n\in {-1;0}$

Tìm n thuộc Z để A= `n^2` +n+1 là scp (`*`Lưu ý: làm bằng phương pháp kẹp)

Tìm n thuộc Z để A= `n^2` +n+1 là scp (`*`Lưu ý: làm bằng phương pháp kẹp)

Tìm n thuộc Z để A= `n^2` +n+1 là scp (`*`Lưu ý: làm bằng phương pháp kẹp)

Về tác giả

về tác giả

Thiên Nam

Add comment Hủy

Giao Hàng Nhanh Chóng

Trả Lại Dễ Dàng Và Nhanh Chóng

Hỗ Trợ Khách Hàng 24/7

Thanh Toán An Toàn 100%

Vị trí