Xin chào các em học sinh yêu quý! Thầy rất vui khi được cùng các em khám phá cách tìm nghiệm của các đa thức bậc hai. Tìm nghiệm của đa thức chính là tìm giá trị của biến (ở đây là \(x\)) để khi thay vào đa thức thì giá trị của đa thức đó bằng 0.

Trong chương trình Toán lớp 7, chúng ta thường tìm nghiệm bằng cách:

1. Nhận dạng và sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử.
2. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử hoặc tìm hai số phù hợp.
3. Sau khi phân tích thành nhân tử, chúng ta sẽ áp dụng quy tắc: “Nếu tích của hai hay nhiều thừa số bằng 0 thì ít nhất một trong các thừa số đó phải bằng 0”.

Bây giờ, chúng ta hãy cùng giải từng bài toán một nhé!

---

Bài 1: Tìm nghiệm của đa thức \(x^2 – 2x + 1\)

Để tìm nghiệm của đa thức \(x^2 – 2x + 1\), chúng ta đặt đa thức này bằng 0:

\(x^2 – 2x + 1 = 0\)

Bước 1: Nhận dạng hằng đẳng thức

Các em có nhận ra đa thức \(x^2 – 2x + 1\) có dạng của một hằng đẳng thức rất quen thuộc không? Đó chính là hằng đẳng thức bình phương của một hiệu: \((a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\).

Ở đây, nếu chúng ta coi \(a = x\) và \(b = 1\), thì:

• \(a^2\) chính là \(x^2\)
• \(2ab\) chính là \(2 \cdot x \cdot 1 = 2x\)
• \(b^2\) chính là \(1^2 = 1\)

Vậy, đa thức \(x^2 – 2x + 1\) có thể viết lại thành \((x – 1)^2\).

Bước 2: Giải phương trình

Khi đó, phương trình của chúng ta trở thành:

\((x – 1)^2 = 0\)

Để \((x – 1)^2\) bằng 0, thì bản thân biểu thức trong dấu ngoặc phải bằng 0. Tức là:

\(x – 1 = 0\)

Bước 3: Tìm giá trị của x

Từ phương trình \(x – 1 = 0\), chúng ta dễ dàng tìm được \(x\):

\(x = 1\)

Kết luận:
Vậy, nghiệm của đa thức \(x^2 – 2x + 1\) là \(x = 1\).

---

Bài 2: Tìm nghiệm của đa thức \(x^2 + 6x + 9\)

Để tìm nghiệm của đa thức \(x^2 + 6x + 9\), chúng ta đặt đa thức này bằng 0:

\(x^2 + 6x + 9 = 0\)

Bước 1: Nhận dạng hằng đẳng thức

Tương tự như bài 1, đa thức \(x^2 + 6x + 9\) cũng là một hằng đẳng thức đặc biệt. Đó là bình phương của một tổng: \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).

Ở đây, nếu chúng ta coi \(a = x\) và \(b = 3\), thì:

• \(a^2\) chính là \(x^2\)
• \(2ab\) chính là \(2 \cdot x \cdot 3 = 6x\)
• \(b^2\) chính là \(3^2 = 9\)

Vậy, đa thức \(x^2 + 6x + 9\) có thể viết lại thành \((x + 3)^2\).

Bước 2: Giải phương trình

Khi đó, phương trình của chúng ta trở thành:

\((x + 3)^2 = 0\)

Để \((x + 3)^2\) bằng 0, thì biểu thức trong dấu ngoặc phải bằng 0. Tức là:

\(x + 3 = 0\)

Bước 3: Tìm giá trị của x

Từ phương trình \(x + 3 = 0\), chúng ta tìm được \(x\):

\(x = -3\)

Kết luận:
Vậy, nghiệm của đa thức \(x^2 + 6x + 9\) là \(x = -3\).

---

Bài 3: Tìm nghiệm của đa thức \(x^2 – 3x + 2\)

Để tìm nghiệm của đa thức \(x^2 – 3x + 2\), chúng ta đặt đa thức này bằng 0:

\(x^2 – 3x + 2 = 0\)

Bước 1: Phân tích đa thức thành nhân tử

Đa thức này không phải là hằng đẳng thức đáng nhớ mà chúng ta vừa ôn tập. Với dạng đa thức \(x^2 + bx + c\), chúng ta sẽ tìm hai số nguyên mà tích của chúng bằng \(c\) (số hạng tự do) và tổng của chúng bằng \(b\) (hệ số của \(x\)).

Ở đây, \(c = 2\) và \(b = -3\).

Chúng ta hãy liệt kê các cặp số nguyên có tích bằng 2:

• \(1 \cdot 2 = 2\)
• \((-1) \cdot (-2) = 2\)

Bây giờ, chúng ta kiểm tra tổng của các cặp số này:

• \(1 + 2 = 3\) (Không phải -3)
• \((-1) + (-2) = -3\) (Chính xác!)

Vậy, hai số chúng ta cần tìm là -1 và -2.

Chúng ta có thể viết đa thức \(x^2 – 3x + 2\) thành \((x – 1)(x – 2)\).

Bước 2: Giải phương trình

Khi đó, phương trình của chúng ta trở thành:

\((x – 1)(x – 2) = 0\)

Theo quy tắc “tích bằng 0”, nếu tích của hai thừa số bằng 0 thì ít nhất một trong các thừa số đó phải bằng 0. Tức là:

\(x – 1 = 0\) hoặc \(x – 2 = 0\)

Bước 3: Tìm giá trị của x

• Từ \(x – 1 = 0\), ta có: \(x = 1\)
• Từ \(x – 2 = 0\), ta có: \(x = 2\)

Kết luận:
Vậy, đa thức \(x^2 – 3x + 2\) có hai nghiệm là \(x = 1\) và \(x = 2\).

---

Bài 4: Tìm nghiệm của đa thức \(x^2 – 5x + 4\)

Để tìm nghiệm của đa thức \(x^2 – 5x + 4\), chúng ta đặt đa thức này bằng 0:

\(x^2 – 5x + 4 = 0\)

Bước 1: Phân tích đa thức thành nhân tử

Tương tự như bài 3, chúng ta sẽ tìm hai số nguyên mà tích của chúng bằng \(c = 4\) và tổng của chúng bằng \(b = -5\).

Chúng ta hãy liệt kê các cặp số nguyên có tích bằng 4:

• \(1 \cdot 4 = 4\)
• \((-1) \cdot (-4) = 4\)
• \(2 \cdot 2 = 4\)
• \((-2) \cdot (-2) = 4\)

Bây giờ, chúng ta kiểm tra tổng của các cặp số này:

• \(1 + 4 = 5\) (Không phải -5)
• \((-1) + (-4) = -5\) (Chính xác!)
• \(2 + 2 = 4\) (Không phải -5)
• \((-2) + (-2) = -4\) (Không phải -5)

Vậy, hai số chúng ta cần tìm là -1 và -4.

Chúng ta có thể viết đa thức \(x^2 – 5x + 4\) thành \((x – 1)(x – 4)\).

Bước 2: Giải phương trình

Khi đó, phương trình của chúng ta trở thành:

\((x – 1)(x – 4) = 0\)

Áp dụng quy tắc “tích bằng 0”:

\(x – 1 = 0\) hoặc \(x – 4 = 0\)

Bước 3: Tìm giá trị của x

• Từ \(x – 1 = 0\), ta có: \(x = 1\)
• Từ \(x – 4 = 0\), ta có: \(x = 4\)

Kết luận:
Vậy, đa thức \(x^2 – 5x + 4\) có hai nghiệm là \(x = 1\) và \(x = 4\).

---

Các em thấy đó, việc tìm nghiệm của đa thức bậc hai ở lớp 7 không quá khó phải không nào? Quan trọng là chúng ta phải nắm vững các hằng đẳng thức và cách phân tích đa thức thành nhân tử. Hãy luyện tập thêm để thành thạo hơn nhé! Chúc các em học tốt!