Chào các em học sinh lớp 9! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu cách giải các phương trình nghiệm nguyên, một dạng toán rất thú vị và quan trọng trong chương trình. Bài toán yêu cầu chúng ta tìm tất cả các cặp số nguyên \((x, y)\) thỏa mãn phương trình đã cho.

Để giải các phương trình nghiệm nguyên dạng tuyến tính \((ax + by = c)\), chúng ta thường thực hiện các bước sau:

1. Biểu diễn một ẩn theo ẩn còn lại.
2. Sử dụng điều kiện để biểu thức đó là số nguyên.
3. Đưa ra dạng tổng quát của nghiệm nguyên.

Bây giờ, chúng ta hãy cùng giải từng bài tập cụ thể nhé!

— Bài giải —

a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: \(x – 3y = 4\)

Cách làm:

Bước 1: Biểu diễn \(x\) theo \(y\).

Từ phương trình đã cho, chúng ta dễ dàng rút \(x\) ra:

\(x = 3y + 4\)

Bước 2: Phân tích điều kiện nghiệm nguyên.

Vì \(x\) và \(y\) là các số nguyên, nên nếu \(y\) là một số nguyên bất kỳ, thì \(3y\) sẽ là số nguyên. Khi đó, \(3y + 4\) cũng sẽ là một số nguyên.

Điều này có nghĩa là, với mọi giá trị nguyên của \(y\), chúng ta đều tìm được một giá trị nguyên tương ứng của \(x\).

Bước 3: Viết nghiệm tổng quát.

Để biểu diễn tất cả các nghiệm nguyên, chúng ta sẽ đặt \(y\) bằng một tham số nguyên, thường là \(k\).

Đặt \(y = k\), với \(k \in \mathbb{Z}\) (tức là \(k\) là một số nguyên bất kỳ).

Thay \(y = k\) vào biểu thức của \(x\), ta được:

\(x = 3k + 4\)

Vậy, nghiệm nguyên tổng quát của phương trình \(x – 3y = 4\) là:

\((x, y) = (3k + 4, k)\), với \(k \in \mathbb{Z}\).

Ví dụ:
Nếu \(k=0\), thì \(x = 3(0) + 4 = 4\), \(y = 0\). Ta có nghiệm \((4, 0)\). Thử lại: \(4 – 3(0) = 4\), đúng.
Nếu \(k=1\), thì \(x = 3(1) + 4 = 7\), \(y = 1\). Ta có nghiệm \((7, 1)\). Thử lại: \(7 – 3(1) = 4\), đúng.
Nếu \(k=-1\), thì \(x = 3(-1) + 4 = 1\), \(y = -1\). Ta có nghiệm \((1, -1)\). Thử lại: \(1 – 3(-1) = 4\), đúng.

—

b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: \(3x + y = 6\)

Cách làm:

Bước 1: Biểu diễn một ẩn theo ẩn còn lại.

Trong phương trình này, việc rút \(y\) ra sẽ đơn giản hơn vì \(y\) có hệ số là \(1\).

\(y = 6 – 3x\)

Bước 2: Phân tích điều kiện nghiệm nguyên.

Tương tự như câu a), vì \(x\) và \(y\) là các số nguyên, nên nếu \(x\) là một số nguyên bất kỳ, thì \(3x\) sẽ là số nguyên. Khi đó, \(6 – 3x\) cũng sẽ là một số nguyên.

Điều này có nghĩa là, với mọi giá trị nguyên của \(x\), chúng ta đều tìm được một giá trị nguyên tương ứng của \(y\).

Bước 3: Viết nghiệm tổng quát.

Đặt \(x = k\), với \(k \in \mathbb{Z}\).

Thay \(x = k\) vào biểu thức của \(y\), ta được:

\(y = 6 – 3k\)

Vậy, nghiệm nguyên tổng quát của phương trình \(3x + y = 6\) là:

\((x, y) = (k, 6 – 3k)\), với \(k \in \mathbb{Z}\).

Ví dụ:
Nếu \(k=0\), thì \(x = 0\), \(y = 6 – 3(0) = 6\). Ta có nghiệm \((0, 6)\). Thử lại: \(3(0) + 6 = 6\), đúng.
Nếu \(k=2\), thì \(x = 2\), \(y = 6 – 3(2) = 0\). Ta có nghiệm \((2, 0)\). Thử lại: \(3(2) + 0 = 6\), đúng.
Nếu \(k=-1\), thì \(x = -1\), \(y = 6 – 3(-1) = 9\). Ta có nghiệm \((-1, 9)\). Thử lại: \(3(-1) + 9 = 6\), đúng.

—

c) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: \(4x – 5y = 8\)

Cách làm:

Bước 1: Biểu diễn một ẩn theo ẩn còn lại.

Trong trường hợp này, cả \(x\) và \(y\) đều có hệ số khác \(1\). Chúng ta có thể biểu diễn \(x\) theo \(y\) hoặc ngược lại. Thầy sẽ chọn biểu diễn \(x\) theo \(y\):

\(4x = 5y + 8\)

\(x = \frac{5y + 8}{4}\)

Bước 2: Phân tích điều kiện nghiệm nguyên.

Để \(x\) là một số nguyên, thì \(5y + 8\) phải chia hết cho \(4\).

Chúng ta có thể viết điều kiện này dưới dạng đồng dư:

\(5y + 8 \equiv 0 \pmod{4}\)

Vì \(8\) chia hết cho \(4\) (tức là \(8 \equiv 0 \pmod{4}\)), ta có thể đơn giản hóa:

\(5y \equiv 0 \pmod{4}\)

Chúng ta biết rằng \(5 \equiv 1 \pmod{4}\). Do đó, phương trình đồng dư trở thành:

\(1y \equiv 0 \pmod{4}\)

\(y \equiv 0 \pmod{4}\)

Điều này có nghĩa là \(y\) phải là một bội số của \(4\).

Bước 3: Viết nghiệm tổng quát.

Vì \(y\) là bội số của \(4\), chúng ta có thể đặt \(y = 4k\), với \(k \in \mathbb{Z}\).

Bây giờ, thay \(y = 4k\) vào biểu thức của \(x\):

\(x = \frac{5(4k) + 8}{4}\)

\(x = \frac{20k + 8}{4}\)

\(x = \frac{20k}{4} + \frac{8}{4}\)

\(x = 5k + 2\)

Vậy, nghiệm nguyên tổng quát của phương trình \(4x – 5y = 8\) là:

\((x, y) = (5k + 2, 4k)\), với \(k \in \mathbb{Z}\).

Ví dụ:
Nếu \(k=0\), thì \(x = 5(0) + 2 = 2\), \(y = 4(0) = 0\). Ta có nghiệm \((2, 0)\). Thử lại: \(4(2) – 5(0) = 8\), đúng.
Nếu \(k=1\), thì \(x = 5(1) + 2 = 7\), \(y = 4(1) = 4\). Ta có nghiệm \((7, 4)\). Thử lại: \(4(7) – 5(4) = 28 – 20 = 8\), đúng.
Nếu \(k=-1\), thì \(x = 5(-1) + 2 = -3\), \(y = 4(-1) = -4\). Ta có nghiệm \((-3, -4)\). Thử lại: \(4(-3) – 5(-4) = -12 + 20 = 8\), đúng.

—

Các em thấy đấy, việc tìm nghiệm nguyên của các phương trình tuyến tính không hề khó phải không nào? Quan trọng nhất là chúng ta phải kiên nhẫn trong các bước biến đổi và lý luận điều kiện nguyên. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi lại thầy nhé!