Xin chào các em học sinh lớp 12! Cô là giáo viên Toán của các em. Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu cách tìm nguyên hàm của một số hàm số đặc biệt. Chúng ta sẽ bắt đầu với bài tập sau:

Bài toán: Tìm nguyên hàm của hàm số

a) \( f(x) = \frac{2x^4 + 3}{x^2} \)

b) \( f(x) = \frac{x – 1}{x^2} \)

Chúng ta sẽ đi vào giải chi tiết từng câu.

Giải câu a)

Hàm số cho là \( f(x) = \frac{2x^4 + 3}{x^2} \). Để tìm nguyên hàm, trước hết chúng ta cần biến đổi hàm số này về dạng đơn giản hơn, dễ dàng áp dụng các quy tắc tính nguyên hàm.

Ta có thể chia từng số hạng ở tử cho mẫu số:

\( f(x) = \frac{2x^4}{x^2} + \frac{3}{x^2} \)

\( f(x) = 2x^{4-2} + 3x^{-2} \)

\( f(x) = 2x^2 + 3x^{-2} \)

Bây giờ, chúng ta sẽ tìm nguyên hàm của từng số hạng:

Nguyên hàm của \( 2x^2 \) là \( \int 2x^2 dx \). Ta sử dụng công thức \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \) (với \( n \neq -1 \)).

Vậy, \( \int 2x^2 dx = 2 \int x^2 dx = 2 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} + C_1 = 2 \cdot \frac{x^3}{3} + C_1 = \frac{2}{3}x^3 + C_1 \).

Tiếp theo, nguyên hàm của \( 3x^{-2} \) là \( \int 3x^{-2} dx \). Ở đây, \( n = -2 \).

Vậy, \( \int 3x^{-2} dx = 3 \int x^{-2} dx = 3 \cdot \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + C_2 = 3 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} + C_2 = -3x^{-1} + C_2 = -\frac{3}{x} + C_2 \).

Nguyên hàm của \( f(x) \) là tổng nguyên hàm của các số hạng:

\( \int f(x) dx = \int (2x^2 + 3x^{-2}) dx = \int 2x^2 dx + \int 3x^{-2} dx \)

\( \int f(x) dx = \frac{2}{3}x^3 + C_1 – \frac{3}{x} + C_2 \)

\( \int f(x) dx = \frac{2}{3}x^3 – \frac{3}{x} + C \) (với \( C = C_1 + C_2 \) là hằng số tùy ý).

Vậy, nguyên hàm của \( f(x) = \frac{2x^4 + 3}{x^2} \) là \( \frac{2}{3}x^3 – \frac{3}{x} + C \).

Giải câu b)

Hàm số cho là \( f(x) = \frac{x – 1}{x^2} \). Tương tự như câu a), chúng ta sẽ biến đổi hàm số này:

\( f(x) = \frac{x}{x^2} – \frac{1}{x^2} \)

\( f(x) = x^{1-2} – x^{-2} \)

\( f(x) = x^{-1} – x^{-2} \)

Bây giờ, chúng ta tìm nguyên hàm của từng số hạng:

Nguyên hàm của \( x^{-1} \) là \( \int x^{-1} dx \). Đây là trường hợp đặc biệt \( n = -1 \), chúng ta sử dụng công thức \( \int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C \).

Vậy, \( \int x^{-1} dx = \int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C_1 \).

Tiếp theo, nguyên hàm của \( -x^{-2} \) là \( \int -x^{-2} dx \). Ở đây, \( n = -2 \).

Vậy, \( \int -x^{-2} dx = – \int x^{-2} dx = – \left( \frac{x^{-2+1}}{-2+1} \right) + C_2 = – \left( \frac{x^{-1}}{-1} \right) + C_2 = – (-x^{-1}) + C_2 = x^{-1} + C_2 = \frac{1}{x} + C_2 \).

Nguyên hàm của \( f(x) \) là tổng nguyên hàm của các số hạng:

\( \int f(x) dx = \int (x^{-1} – x^{-2}) dx = \int x^{-1} dx – \int x^{-2} dx \)

\( \int f(x) dx = \ln|x| + C_1 – (-\frac{1}{x}) + C_2 \)

\( \int f(x) dx = \ln|x| + \frac{1}{x} + C \) (với \( C = C_1 + C_2 \) là hằng số tùy ý).

Vậy, nguyên hàm của \( f(x) = \frac{x – 1}{x^2} \) là \( \ln|x| + \frac{1}{x} + C \).

Các em đã thấy, việc biến đổi hàm số về dạng có thể áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản là rất quan trọng. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập tương tự để nắm vững kiến thức này nhé!

Cô chào các em!