Chào các em học sinh yêu quý!

Đây là một dạng bài tập rất hay về lũy thừa mà chúng ta đã học. Để giải quyết những bài toán này, các em cần nhớ một nguyên tắc quan trọng: chuyển tất cả các số trong bất đẳng thức về cùng một cơ số, sau đó so sánh các số mũ.

Chúng ta hãy cùng nhau làm từng bước nhé!

Bài giải:

a) Tìm số nguyên dương n biết \(32 < 2^n < 128\)

Để giải bài này, chúng ta cần đưa các số 32 và 128 về dạng lũy thừa của 2.

• Ta có: \(32 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^5\).
• Ta có: \(128 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^7\).

Vậy, bất đẳng thức ban đầu trở thành:

\[ 2^5 < 2^n < 2^7 \]

Vì cơ số là 2 (lớn hơn 1), nên khi so sánh các lũy thừa có cùng cơ số, chiều của bất đẳng thức sẽ giữ nguyên. Do đó, chúng ta có thể so sánh các số mũ:

\[ 5 < n < 7 \]

Vì n là số nguyên dương, số nguyên n thỏa mãn điều kiện này là:

\[ n = 6 \]

Kiểm tra lại: Nếu \(n = 6\), thì \(2^6 = 64\). Ta thấy \(32 < 64 < 128\), điều này là đúng.

Vậy, giá trị của n cần tìm là \(n = 6\).

b) Tìm số nguyên dương n biết \(2.16 \ge 2^n > 4\)

Trước hết, chúng ta cần tính giá trị của vế trái và đưa các số về dạng lũy thừa của 2.

• Tính vế trái: \(2.16 = 2 \times 16\).
• Ta có: \(2 = 2^1\).
• Ta có: \(16 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^4\).
• Vậy, \(2 \times 16 = 2^1 \times 2^4 = 2^{(1+4)} = 2^5\).
• Ta có: \(4 = 2 \times 2 = 2^2\).

Bất đẳng thức ban đầu trở thành:

\[ 2^5 \ge 2^n > 2^2 \]

Tương tự như phần a), vì cơ số là 2 (lớn hơn 1), chúng ta so sánh các số mũ:

\[ 5 \ge n > 2 \]

Vì n là số nguyên dương, các số nguyên n thỏa mãn điều kiện này là:

\[ n \in \{3; 4; 5\} \]

Vậy, các giá trị của n cần tìm là \(n = 3\), \(n = 4\) hoặc \(n = 5\).

c) Tìm số nguyên dương n biết \(9.27 \le 3^n \le 243\)

Tương tự, chúng ta sẽ đưa các số về dạng lũy thừa của 3.

• Tính vế trái: \(9.27 = 9 \times 27\).
• Ta có: \(9 = 3 \times 3 = 3^2\).
• Ta có: \(27 = 3 \times 3 \times 3 = 3^3\).
• Vậy, \(9 \times 27 = 3^2 \times 3^3 = 3^{(2+3)} = 3^5\).
• Ta có: \(243 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^5\).

Bất đẳng thức ban đầu trở thành:

\[ 3^5 \le 3^n \le 3^5 \]

Vì cơ số là 3 (lớn hơn 1), chúng ta so sánh các số mũ:

\[ 5 \le n \le 5 \]

Điều này có nghĩa là n phải bằng 5.

\[ n = 5 \]

Kiểm tra lại: Nếu \(n = 5\), thì \(3^5 = 243\). Ta thấy \(243 \le 243 \le 243\), điều này là đúng.

Vậy, giá trị của n cần tìm là \(n = 5\).

Chúc các em học tốt và nắm vững kiến thức về lũy thừa nhé!