Chào các em học sinh lớp 8!

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán rất thú vị về số học. Bài toán yêu cầu chúng ta tìm một số nguyên dương \(n\) nhỏ nhất thoả mãn các điều kiện về phép chia có dư.

Đề bài: Tìm số nguyên dương \(n\) nhỏ nhất biết \(n\) chia \(3,5,7,13\) dư \(2,3,4,7\).

Đây là một dạng bài toán kinh điển trong số học, thường được giải bằng cách kết hợp từng điều kiện một. Chúng ta sẽ cùng nhau “xây dựng” số \(n\) này nhé!

Các điều kiện của đề bài có thể viết lại dưới dạng đồng dư thức như sau:

\(n \equiv 2 \pmod{3}\)
\(n \equiv 3 \pmod{5}\)
\(n \equiv 4 \pmod{7}\)
\(n \equiv 7 \pmod{13}\)

Chúng ta sẽ giải quyết bài toán này theo từng bước:

Bước 1: Kết hợp hai điều kiện đầu tiên

Ta có:

\(n \equiv 2 \pmod{3}\) (1)
\(n \equiv 3 \pmod{5}\) (2)

Từ (1), ta có thể viết \(n\) dưới dạng: \(n = 3k + 2\), với \(k\) là một số nguyên.

Thay \(n = 3k + 2\) vào (2), ta được:

\(3k + 2 \equiv 3 \pmod{5}\)
\(3k \equiv 3 – 2 \pmod{5}\)
\(3k \equiv 1 \pmod{5}\)

Để tìm \(k\), ta cần tìm một số khi nhân với \(3\) sẽ có số dư là \(1\) khi chia cho \(5\). Ta thử các giá trị của \(k\):
Nếu \(k=1\), \(3 \times 1 = 3 \equiv 3 \pmod{5}\)
Nếu \(k=2\), \(3 \times 2 = 6 \equiv 1 \pmod{5}\)
Vậy, \(k \equiv 2 \pmod{5}\).

Điều này có nghĩa là \(k\) có thể viết dưới dạng: \(k = 5m + 2\), với \(m\) là một số nguyên.

Bây giờ, thay \(k = 5m + 2\) trở lại vào biểu thức của \(n\):
\(n = 3(5m + 2) + 2\)
\(n = 15m + 6 + 2\)
\(n = 15m + 8\)

Như vậy, \(n \equiv 8 \pmod{15}\). Đây là điều kiện tổng hợp từ hai điều kiện đầu tiên.

Bước 2: Kết hợp điều kiện tổng hợp với điều kiện thứ ba

Ta có:
\(n \equiv 8 \pmod{15}\) (3 – kết quả từ Bước 1)
\(n \equiv 4 \pmod{7}\) (4)

Từ (3), ta có thể viết \(n\) dưới dạng: \(n = 15m + 8\), với \(m\) là một số nguyên (đây là \(m\) mới, không nhất thiết giống \(m\) ở Bước 1, nhưng ta vẫn dùng chữ \(m\) cho tiện).

Thay \(n = 15m + 8\) vào (4), ta được:
\(15m + 8 \equiv 4 \pmod{7}\)

Chúng ta rút gọn các số lớn theo modulo \(7\):
\(15 \equiv 1 \pmod{7}\) (vì \(15 = 2 \times 7 + 1\))
\(8 \equiv 1 \pmod{7}\) (vì \(8 = 1 \times 7 + 1\))

Vậy, phương trình trở thành:
\(1m + 1 \equiv 4 \pmod{7}\)
\(m \equiv 4 – 1 \pmod{7}\)
\(m \equiv 3 \pmod{7}\)

Điều này có nghĩa là \(m\) có thể viết dưới dạng: \(m = 7j + 3\), với \(j\) là một số nguyên.

Bây giờ, thay \(m = 7j + 3\) trở lại vào biểu thức của \(n\):
\(n = 15(7j + 3) + 8\)
\(n = 105j + 45 + 8\)
\(n = 105j + 53\)

Như vậy, \(n \equiv 53 \pmod{105}\). Đây là điều kiện tổng hợp từ ba điều kiện đầu tiên.

Bước 3: Kết hợp điều kiện tổng hợp với điều kiện thứ tư

Ta có:
\(n \equiv 53 \pmod{105}\) (5 – kết quả từ Bước 2)
\(n \equiv 7 \pmod{13}\) (6)

Từ (5), ta có thể viết \(n\) dưới dạng: \(n = 105j + 53\), với \(j\) là một số nguyên (tương tự, \(j\) này có thể khác \(j\) ở Bước 2).

Thay \(n = 105j + 53\) vào (6), ta được:
\(105j + 53 \equiv 7 \pmod{13}\)

Chúng ta rút gọn các số lớn theo modulo \(13\):
\(105 = 8 \times 13 + 1 \implies 105 \equiv 1 \pmod{13}\)
\(53 = 4 \times 13 + 1 \implies 53 \equiv 1 \pmod{13}\)

Vậy, phương trình trở thành:
\(1j + 1 \equiv 7 \pmod{13}\)
\(j \equiv 7 – 1 \pmod{13}\)
\(j \equiv 6 \pmod{13}\)

Điều này có nghĩa là \(j\) có thể viết dưới dạng: \(j = 13p + 6\), với \(p\) là một số nguyên.

Bây giờ, thay \(j = 13p + 6\) trở lại vào biểu thức của \(n\):
\(n = 105(13p + 6) + 53\)
\(n = 105 \times 13p + 105 \times 6 + 53\)
\(n = 1365p + 630 + 53\)
\(n = 1365p + 683\)

Bước 4: Tìm số nguyên dương \(n\) nhỏ nhất

Chúng ta đã tìm được dạng tổng quát của \(n\) là \(n = 1365p + 683\), với \(p\) là một số nguyên.

Để tìm số nguyên dương \(n\) nhỏ nhất, chúng ta cần chọn giá trị \(p\) sao cho \(n > 0\) và nhỏ nhất.

• Nếu \(p = 0\): \(n = 1365 \times 0 + 683 = 683\). Đây là một số nguyên dương.
• Nếu \(p = 1\): \(n = 1365 \times 1 + 683 = 2048\). Số này lớn hơn \(683\).
• Nếu \(p = -1\): \(n = 1365 \times (-1) + 683 = -1365 + 683 = -682\). Số này không phải là số nguyên dương.

Vậy, giá trị nhỏ nhất của \(n\) khi \(p=0\) là \(683\).

Kiểm tra lại:

• \(683 \div 3 = 227\) dư \(2\). (Đúng)
• \(683 \div 5 = 136\) dư \(3\). (Đúng)
• \(683 \div 7 = 97\) dư \(4\). (Đúng)
• \(683 \div 13 = 52\) dư \(7\). (Đúng)

Tất cả các điều kiện đều thoả mãn.

Kết luận:

Số nguyên dương \(n\) nhỏ nhất cần tìm là \(683\).

Hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã nắm vững cách giải quyết dạng bài toán tìm số khi biết các số dư trong phép chia. Chúc các em học tốt!