Tìm số nguyên tố p sao cho các số p + 2, p + 6, p + 8 cũng là các số…

Chào các em học sinh lớp 6 yêu quý! Hôm nay, thầy/cô sẽ cùng các em giải một bài toán rất hay và thú vị về số nguyên tố nhé. Đây là dạng bài nâng cao giúp chúng ta rèn luyện tư duy logic rất tốt.

Trước khi bắt đầu, thầy/cô nhắc lại kiến thức cũ một chút: Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 và chỉ có hai ước số là 1 và chính nó (ví dụ như các số 2, 3, 5, 7, 11…). Ngoại trừ số 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất, tất cả các số nguyên tố lớn hơn 2 đều là số lẻ.

Bây giờ, chúng ta sẽ cùng nhau đi tìm lời giải cho bài toán này theo các bước thật chi tiết và dễ hiểu.

Bước 1: Thử với các số nguyên tố nhỏ để tìm ra quy luật

Chúng ta hãy lần lượt thay chữ p bằng các số nguyên tố đầu tiên:

• Nếu p = 2: Ta có p + 2 = 4 (không phải số nguyên tố, vì chia hết cho 2). Vậy loại p = 2.
• Nếu p = 3: Ta có p + 2 = 5 (số nguyên tố), p + 6 = 9 (không phải số nguyên tố, vì chia hết cho 3). Vậy loại p = 3.
• Nếu p = 5:
  • p + 2 = 7 (là số nguyên tố)
  • p + 6 = 11 (là số nguyên tố)
  • p + 8 = 13 (là số nguyên tố)

  Như vậy, p = 5 thỏa mãn yêu cầu của bài toán!

Bước 2: Chứng minh không còn số nguyên tố p nào lớn hơn 5 thỏa mãn đề bài

Các em có thắc liệu rằng còn số nào lớn hơn 5 nữa không? Để trả lời, chúng ta hãy nhớ lại rằng mọi số tự nhiên lớn hơn 5 khi chia cho 5 sẽ có một trong các số dư là 0, 1, 2, 3, 4. Do đó, một số nguyên tố p lớn hơn 5 chỉ có thể có dạng 5k + 1, 5k + 2, 5k + 3 hoặc 5k + 4 (với k là số tự nhiên lớn hơn 0). Bây giờ, chúng ta xét từng trường hợp:

• Trường hợp 1: Nếu p có dạng 5k + 1. Khi đó, xét số p + 4 = (5k + 1) + 4 = 5k + 5. Số này chia hết cho 5 và lớn hơn 5, nên nó là hợp số. Do đó trường hợp này không thỏa mãn.
• Trường hợp 2: Nếu p có dạng 5k + 2. Khi đó, xét số p + 8 = (5k + 2) + 8 = 5k + 10. Số này chia hết cho 5 và lớn hơn 5, nên nó là hợp số.
• Trường hợp 3: Nếu p có dạng 5k + 3. Khi đó, xét số p + 2 = (5k + 3) + 2 = 5k + 5. Số này chia hết cho 5 và lớn hơn 5, nên nó là hợp số.
• Trường hợp 4: Nếu p có dạng 5k + 4. Khi đó, xét số p + 6 = (5k + 4) + 6 = 5k + 10. Số này chia hết cho 5 và lớn hơn 5, nên nó là hợp số.

Kết luận:

Qua phần lập luận chặt chẽ trên, ta thấy khi p lớn hơn 5, một trong các biểu thức p + 2, p + 6, hoặc p + 8 sẽ luôn chia hết cho 5 và lớn hơn 5, tức là hợp số (không phải số nguyên tố). Vậy số nguyên tố p duy nhất cần tìm là p = 5.

Thế là chúng ta đã hoàn thành xong bài toán rồi! Các em hãy ghi chép cẩn thận vào vở và đọc lại vài lần để hiểu thật sâu sắc cách làm nhé. Chúc các em học tập thật tốt!