Chào các em học sinh lớp 8 thân mến!

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán tìm số nguyên x, y khá thú vị. Đây là dạng bài toán mà chúng ta cần biến đổi phương trình ban đầu về dạng tích các thừa số bằng một hằng số. Từ đó, chúng ta sẽ liệt kê các cặp ước số của hằng số đó để tìm ra x và y.

Bài toán của chúng ta là:

Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: \(x^{2}\) – xy – 2\(y^{2}\) + x + 4y = 6

Chúng ta cùng bắt đầu nhé!

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Phân tích các hạng tử bậc hai

Chúng ta nhận thấy ba hạng tử đầu tiên của phương trình: \(x^{2}\) – xy – 2\(y^{2}\) có thể phân tích thành nhân tử. Đây là một tam thức bậc hai với x là biến chính (hoặc y là biến chính).

Ta có: \(x^{2}\) – xy – 2\(y^{2}\)

Để phân tích, chúng ta có thể coi đây là một đa thức bậc hai của x và y. Ta thấy rằng \(-2y^2\) có thể phân tích thành \((-2y)(y)\), và khi kết hợp với \(x^2\), ta sẽ có:

\(x^{2}\) – xy – 2\(y^{2}\) = \(x^{2}\) + xy – 2xy – 2\(y^{2}\)
= x(x + y) – 2y(x + y)
= (x – 2y)(x + y)

Vậy, phương trình ban đầu trở thành:

\((x – 2y)(x + y) + x + 4y = 6\) (Phương trình 1)

Bước 2: Biến đổi phần còn lại để đưa về dạng tích

Mục tiêu của chúng ta là đưa phương trình về dạng \((A)(B) = \text{Hằng số}\). Chúng ta đã có tích \((x – 2y)(x + y)\). Bây giờ chúng ta cần xử lý phần \(x + 4y\).

Hãy để ý mối quan hệ giữa \((x – 2y)\), \((x + y)\) và \((x + 4y)\).

Ta có thể đặt:
u = x – 2y
v = x + y

Khi đó, phương trình (1) trở thành:
uv + x + 4y = 6

Bây giờ, chúng ta cần biểu diễn x và y theo u và v:

Lấy v – u:
(x + y) – (x – 2y) = v – u
3y = v – u
\(y = \frac{v – u}{3}\)

Lấy v + 2u (để khử y):
(x + y) + 2(x – 2y) = v + 2u
x + y + 2x – 4y = v + 2u
3x – 3y = v + 2u

Cách khác đơn giản hơn để tìm x:
Từ \(x + y = v \implies x = v – y\).
Thay \(y = \frac{v – u}{3}\) vào:
\(x = v – \frac{v – u}{3} = \frac{3v – (v – u)}{3} = \frac{3v – v + u}{3} = \frac{2v + u}{3}\)

Bây giờ thay x và y vào biểu thức \(x + 4y\):

\(x + 4y = \frac{2v + u}{3} + 4 \left( \frac{v – u}{3} \right)\)
\(= \frac{2v + u + 4v – 4u}{3}\)
\(= \frac{6v – 3u}{3}\)
\(= 2v – u\)

Thay kết quả này trở lại phương trình (1) (với u và v):

\(uv + (2v – u) = 6\)

Đây là dạng phương trình mà chúng ta có thể dùng kỹ thuật “thêm bớt” để tạo thành tích:

\(uv – u + 2v = 6\)

Chúng ta muốn có dạng \((u + A)(v + B)\). So sánh với \((u + 2)(v – 1) = uv – u + 2v – 2\).

Vậy, ta cần thêm và bớt 2:

\(uv – u + 2v – 2 = 6 – 2\)
\(u(v – 1) + 2(v – 1) = 4\)
\((u + 2)(v – 1) = 4\)

Bước 3: Thay trở lại các biểu thức của x và y

Thay \(u = x – 2y\) và \(v = x + y\) vào phương trình vừa tìm được:

\(( (x – 2y) + 2 ) ( (x + y) – 1 ) = 4\)
\((x – 2y + 2)(x + y – 1) = 4\)

Bước 4: Liệt kê các cặp ước số của 4 và giải hệ phương trình

Vì x, y là các số nguyên, nên \((x – 2y + 2)\) và \((x + y – 1)\) cũng phải là các số nguyên.
Các cặp số nguyên có tích bằng 4 là:

1. (1, 4)
2. (4, 1)
3. (-1, -4)
4. (-4, -1)
5. (2, 2)
6. (-2, -2)

Ta sẽ xét từng trường hợp:

Trường hợp 1:

\(x – 2y + 2 = 1 \implies x – 2y = -1\) (Phương trình A)
\(x + y – 1 = 4 \implies x + y = 5\) (Phương trình B)

Lấy (B) – (A): \((x + y) – (x – 2y) = 5 – (-1) \implies 3y = 6 \implies y = 2\)
Thay \(y = 2\) vào (B): \(x + 2 = 5 \implies x = 3\)
Cặp nghiệm: \((3, 2)\)

Trường hợp 2:

\(x – 2y + 2 = 4 \implies x – 2y = 2\) (Phương trình C)
\(x + y – 1 = 1 \implies x + y = 2\) (Phương trình D)

Lấy (D) – (C): \((x + y) – (x – 2y) = 2 – 2 \implies 3y = 0 \implies y = 0\)
Thay \(y = 0\) vào (D): \(x + 0 = 2 \implies x = 2\)
Cặp nghiệm: \((2, 0)\)

Trường hợp 3:

\(x – 2y + 2 = -1 \implies x – 2y = -3\) (Phương trình E)
\(x + y – 1 = -4 \implies x + y = -3\) (Phương trình F)

Lấy (F) – (E): \((x + y) – (x – 2y) = -3 – (-3) \implies 3y = 0 \implies y = 0\)
Thay \(y = 0\) vào (F): \(x + 0 = -3 \implies x = -3\)
Cặp nghiệm: \((-3, 0)\)

Trường hợp 4:

\(x – 2y + 2 = -4 \implies x – 2y = -6\) (Phương trình G)
\(x + y – 1 = -1 \implies x + y = 0\) (Phương trình H)

Từ (H), ta có \(x = -y\). Thay vào (G):
\(-y – 2y = -6 \implies -3y = -6 \implies y = 2\)
Với \(y = 2\), thì \(x = -2\).
Cặp nghiệm: \((-2, 2)\)

Trường hợp 5:

\(x – 2y + 2 = 2 \implies x – 2y = 0\) (Phương trình I)
\(x + y – 1 = 2 \implies x + y = 3\) (Phương trình J)

Từ (I), ta có \(x = 2y\). Thay vào (J):
\(2y + y = 3 \implies 3y = 3 \implies y = 1\)
Với \(y = 1\), thì \(x = 2(1) = 2\).
Cặp nghiệm: \((2, 1)\)

Trường hợp 6:

\(x – 2y + 2 = -2 \implies x – 2y = -4\) (Phương trình K)
\(x + y – 1 = -2 \implies x + y = -1\) (Phương trình L)

Lấy (L) – (K): \((x + y) – (x – 2y) = -1 – (-4) \implies 3y = 3 \implies y = 1\)
Thay \(y = 1\) vào (L): \(x + 1 = -1 \implies x = -2\)
Cặp nghiệm: \((-2, 1)\)

Bước 5: Kết luận

Vậy, các cặp số nguyên \((x, y)\) thỏa mãn phương trình là:

\((3, 2), (2, 0), (-3, 0), (-2, 2), (2, 1), (-2, 1)\).

Các em thấy không, một bài toán có vẻ phức tạp nhưng nếu chúng ta biết cách phân tích và biến đổi khéo léo, đặc biệt là đưa về dạng tích bằng một hằng số, thì việc tìm nghiệm sẽ trở nên dễ dàng hơn nhiều!

Chúc các em học tốt!