Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết hai bài toán thú vị liên quan đến số thập phân hữu hạn. Đây là một kiến thức rất quan trọng trong chương trình Toán lớp 7 của chúng ta.

Trước hết, thầy muốn các em cùng ôn lại một quy tắc quan trọng:

Điều kiện để một phân số viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn:

Một phân số tối giản \(\frac{a}{b}\) (trong đó \(a\) là số nguyên và \(b\) là số tự nhiên khác 0) viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn khi và chỉ khi mẫu số \(b\) không có ước nguyên tố nào khác ngoài 2 và 5.

Nói cách khác, khi phân tích mẫu số \(b\) ra thừa số nguyên tố, nó chỉ chứa các thừa số 2 hoặc 5 (hoặc cả hai).

Bây giờ, chúng ta hãy áp dụng quy tắc này để giải hai bài toán của mình nhé!

—

Bài toán 1: Tìm số tự nhiên \(10 < x < 50\) sao cho phân số \(\frac{x+4}{22}\) viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Phân tích mẫu số của phân số đã cho.

Mẫu số của phân số \(\frac{x+4}{22}\) là 22.

Ta phân tích 22 ra thừa số nguyên tố: \(22 = 2 \times 11\).

Bước 2: Áp dụng điều kiện để phân số là số thập phân hữu hạn.

Theo quy tắc, để phân số \(\frac{x+4}{22}\) viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn, thì sau khi rút gọn, mẫu số của nó phải không chứa ước nguyên tố 11.

Điều này có nghĩa là thừa số 11 trong mẫu số (22) phải được “triệt tiêu” bởi tử số \((x+4)\).

Do đó, \((x+4)\) phải chia hết cho 11.

Ta có thể viết: \(x+4 = 11k\) (với \(k\) là số tự nhiên khác 0).

Bước 3: Tìm các giá trị của \(x\) thỏa mãn điều kiện.

Từ \(x+4 = 11k\), ta suy ra \(x = 11k – 4\).

Theo đề bài, \(x\) là số tự nhiên và thỏa mãn điều kiện \(10 < x < 50\).

Thay biểu thức của \(x\) vào bất đẳng thức, ta được:

\(10 < 11k - 4 < 50\)

Cộng 4 vào tất cả các vế của bất đẳng thức:

\(10 + 4 < 11k - 4 + 4 < 50 + 4\)

\(14 < 11k < 54\)

Chia tất cả các vế cho 11:

\(\frac{14}{11} < k < \frac{54}{11}\)

Thực hiện phép chia:

\(1.27… < k < 4.9...\)

Vì \(k\) là số tự nhiên, nên các giá trị nguyên của \(k\) thỏa mãn là: \(k \in \{2, 3, 4\}\).

Bước 4: Tính giá trị của \(x\) tương ứng với mỗi giá trị của \(k\).

• Nếu \(k=2\): \(x = 11(2) – 4 = 22 – 4 = 18\).
• Nếu \(k=3\): \(x = 11(3) – 4 = 33 – 4 = 29\).
• Nếu \(k=4\): \(x = 11(4) – 4 = 44 – 4 = 40\).

Kiểm tra lại các giá trị \(x\) vừa tìm được có nằm trong khoảng \(10 < x < 50\) không:

\(x=18\): \(10 < 18 < 50\) (Thỏa mãn)

\(x=29\): \(10 < 29 < 50\) (Thỏa mãn)

\(x=40\): \(10 < 40 < 50\) (Thỏa mãn)

Vậy, các giá trị của \(x\) cần tìm là 18, 29, 40.

—

Bài toán 2: Tìm số tự nhiên \(10 < x < 50\) sao cho phân số \(\frac{2x+1}{70}\) viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Phân tích mẫu số của phân số đã cho.

Mẫu số của phân số \(\frac{2x+1}{70}\) là 70.

Ta phân tích 70 ra thừa số nguyên tố: \(70 = 2 \times 5 \times 7\).

Bước 2: Áp dụng điều kiện để phân số là số thập phân hữu hạn.

Để phân số \(\frac{2x+1}{70}\) viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn, thì sau khi rút gọn, mẫu số của nó phải không chứa ước nguyên tố 7.

Điều này có nghĩa là thừa số 7 trong mẫu số (70) phải được “triệt tiêu” bởi tử số \((2x+1)\).

Do đó, \((2x+1)\) phải chia hết cho 7.

Ta có thể viết: \(2x+1 = 7k\) (với \(k\) là số tự nhiên khác 0).

Bước 3: Tìm các giá trị của \(x\) thỏa mãn điều kiện.

Từ \(2x+1 = 7k\), ta suy ra \(2x = 7k – 1\).

Vì \(2x\) là một số chẵn, nên \(7k-1\) cũng phải là một số chẵn. Điều này có nghĩa là \(7k\) phải là một số lẻ, và do đó \(k\) phải là một số lẻ.

Để tìm \(x\) một cách hiệu quả, chúng ta có thể thử các giá trị của \(k\) hoặc dùng đồng dư thức:

\(2x+1 \equiv 0 \pmod{7}\)

\(2x \equiv -1 \pmod{7}\)

\(2x \equiv 6 \pmod{7}\)

Nhân cả hai vế với 4 (vì \(2 \times 4 = 8 \equiv 1 \pmod{7}\)):

\(8x \equiv 24 \pmod{7}\)

\(x \equiv 3 \pmod{7}\)

Điều này có nghĩa là \(x\) có dạng \(7m + 3\) (với \(m\) là số tự nhiên).

Theo đề bài, \(x\) là số tự nhiên và thỏa mãn điều kiện \(10 < x < 50\).

Thay biểu thức của \(x\) vào bất đẳng thức, ta được:

\(10 < 7m + 3 < 50\)

Trừ 3 từ tất cả các vế của bất đẳng thức:

\(10 – 3 < 7m + 3 - 3 < 50 - 3\)

\(7 < 7m < 47\)

Chia tất cả các vế cho 7:

\(\frac{7}{7} < m < \frac{47}{7}\)

Thực hiện phép chia:

\(1 < m < 6.7...\)

Vì \(m\) là số tự nhiên, nên các giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn là: \(m \in \{2, 3, 4, 5, 6\}\).

Bước 4: Tính giá trị của \(x\) tương ứng với mỗi giá trị của \(m\).

• Nếu \(m=2\): \(x = 7(2) + 3 = 14 + 3 = 17\).
• Nếu \(m=3\): \(x = 7(3) + 3 = 21 + 3 = 24\).
• Nếu \(m=4\): \(x = 7(4) + 3 = 28 + 3 = 31\).
• Nếu \(m=5\): \(x = 7(5) + 3 = 35 + 3 = 38\).
• Nếu \(m=6\): \(x = 7(6) + 3 = 42 + 3 = 45\).

Kiểm tra lại các giá trị \(x\) vừa tìm được có nằm trong khoảng \(10 < x < 50\) không:

\(x=17\): \(10 < 17 < 50\) (Thỏa mãn)

\(x=24\): \(10 < 24 < 50\) (Thỏa mãn)

\(x=31\): \(10 < 31 < 50\) (Thỏa mãn)

\(x=38\): \(10 < 38 < 50\) (Thỏa mãn)

\(x=45\): \(10 < 45 < 50\) (Thỏa mãn)

Vậy, các giá trị của \(x\) cần tìm là 17, 24, 31, 38, 45.

—

Hy vọng bài giải chi tiết này đã giúp các em hiểu rõ hơn về cách xác định khi nào một phân số có thể viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn. Hãy ghi nhớ quy tắc quan trọng đó nhé! Chúc các em học tốt!