Tìm tập hợp các đỉnh C của tam giác ABC có cạnh AB cố định, đường…

Chào các em học sinh lớp 9, thầy sẽ hướng dẫn các em giải bài toán quỹ tích này một cách chi tiết và dễ hiểu nhất nhé. Để tìm tập hợp các đỉnh C, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp dựng hình và tính chất của trung điểm.

Bước 1: Phân tích giả thiết

Bài toán cho biết đoạn thẳng AB là cố định, nghĩa là độ dài AB và vị trí của hai điểm A, B không thay đổi. Điểm M là trung điểm của cạnh BC, và độ dài đoạn thẳng AM luôn bằng m (một độ dài cho trước không đổi). Chúng ta cần tìm xem điểm C sẽ chạy trên đường nào khi M thay đổi.

Bước 2: Xác định quỹ tích của điểm M

• Vì A là một điểm cố định và độ dài AM luôn bằng m, nên theo định nghĩa đường tròn, điểm M luôn cách điểm A một khoảng không đổi là m.
• Vậy, tập hợp các điểm M là đường tròn tâm A, bán kính m. Gọi đường tròn này là (A; m).

Bước 3: Xác định mối quan hệ giữa M và C

• Theo giả thiết, M là trung điểm của BC. Điều này có nghĩa là điểm C là ảnh của điểm B qua phép đối xứng tâm M, hoặc nói cách khác, M là trung điểm của đoạn thẳng BC.
• Dựa vào tính chất hình học, nếu B cố định và M chạy trên đường tròn (A; m), thì điểm C sẽ chạy trên một đường tròn khác.
• Để xác định đường tròn này, ta xét phép vị tự tâm B, tỉ số k = 2. Khi M chạy trên đường tròn (A; m), thì C sẽ chạy trên đường tròn là ảnh của đường tròn (A; m) qua phép vị tự này.

Bước 4: Kết luận về quỹ tích điểm C

Tập hợp các đỉnh C là một đường tròn được xác định như sau:

• Tâm của đường tròn: Gọi O là tâm đường tròn cần tìm. Vì M là trung điểm BC nên đoạn thẳng nối tâm A (của đường tròn chứa M) và tâm O (của đường tròn chứa C) sẽ liên quan đến vị trí của B. Cụ thể, tâm O là điểm sao cho vectơ BO bằng 2 lần vectơ BA.
• Bán kính của đường tròn: Bán kính của đường tròn quỹ tích này sẽ bằng 2 lần bán kính m của đường tròn chứa điểm M. Vậy bán kính là 2m.

Kết luận cuối cùng:

Tập hợp các điểm C là đường tròn có tâm O (với O là điểm sao cho B là trung điểm của đoạn thẳng AO) và có bán kính bằng 2m.

Lưu ý: Các em cần kiểm tra điều kiện đề bài xem độ dài m có thỏa mãn để tam giác ABC tồn tại hay không (thường là m phải lớn hơn 0). Nếu có trường hợp đặc biệt, tập hợp có thể chỉ là một phần của đường tròn hoặc cả đường tròn tùy vào điều kiện của tam giác.