Chào các em học sinh lớp 9,

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán rất hay liên quan đến số chính phương. Đây là một dạng bài thường gặp trong các kì thi, đòi hỏi chúng ta phải có kĩ năng biến đổi đại số và phân tích các ước số. Các em hãy chú ý theo dõi nhé!

Đề bài: Tìm tất cả các số nguyên dương \(n\) sao cho \(n^2+2n+10\) là một số chính phương.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Đặt biểu thức bằng một số chính phương

Theo đề bài, chúng ta cần tìm số nguyên dương \(n\) sao cho biểu thức \(n^2+2n+10\) là một số chính phương.
Chúng ta sẽ đặt biểu thức này bằng \(k^2\), với \(k\) là một số nguyên dương nào đó (vì \(n\) nguyên dương nên \(n^2+2n+10 > 0\), do đó \(k\) phải là số nguyên dương).

Ta có phương trình:

\(n^2+2n+10 = k^2\)

Bước 2: Biến đổi biểu thức bằng cách hoàn thành bình phương

Các em hãy để ý, biểu thức \(n^2+2n+10\) rất gần với một bình phương của tổng. Cụ thể, chúng ta biết rằng:

\((n+1)^2 = n^2+2n+1\)

Vậy, chúng ta có thể viết lại biểu thức ban đầu như sau:

\(n^2+2n+10 = (n^2+2n+1) + 9 = (n+1)^2 + 9\)

Thay thế vào phương trình ở Bước 1, ta được:

\((n+1)^2 + 9 = k^2\)

Bước 3: Đưa về dạng hiệu của hai bình phương

Đây là một kĩ thuật rất quan trọng trong dạng bài này. Chúng ta sẽ chuyển \((n+1)^2\) sang vế phải để có hiệu của hai bình phương:

\(9 = k^2 – (n+1)^2\)

Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương \(a^2 – b^2 = (a-b)(a+b)\), ta có:

\(9 = (k – (n+1))(k + (n+1))\)

Hay:

\(9 = (k – n – 1)(k + n + 1)\)

Bước 4: Phân tích các ước số của 9 và lập hệ phương trình

Chúng ta có tích của hai số nguyên là \((k – n – 1)\) và \((k + n + 1)\) bằng 9. Vì \(k\) và \(n\) là các số nguyên, thì \((k – n – 1)\) và \((k + n + 1)\) cũng là các số nguyên.

Các cặp số nguyên có tích bằng 9 là:

\((1, 9), (3, 3), (9, 1), (-1, -9), (-3, -3), (-9, -1)\)

Bây giờ chúng ta cần xét các điều kiện của hai thừa số này:

1. Đặt \(A = k – n – 1\) và \(B = k + n + 1\).
2. Ta có \(B – A = (k + n + 1) – (k – n – 1) = k + n + 1 – k + n + 1 = 2n + 2\).
3. Vì \(n\) là số nguyên dương, nên \(n \ge 1\). Do đó:
   • \(2n + 2 \ge 2(1) + 2 = 4\). Điều này có nghĩa là \(B – A\) phải là một số chẵn dương và lớn hơn hoặc bằng 4.
   • Vì \(2n+2\) là số chẵn, nên \(B\) và \(A\) phải cùng tính chẵn lẻ.
4. Ngoài ra, \(B = k + n + 1\). Vì \(k\) là số nguyên dương và \(n\) là số nguyên dương, nên \(k+n+1\) chắc chắn là một số dương. Do đó, \(B > 0\).
5. Vì \(AB = 9\) và \(B > 0\), nên \(A\) cũng phải là số dương.

Kết hợp các điều kiện trên, chúng ta chỉ xét các cặp ước số nguyên dương của 9 mà cả hai số đều dương và cùng tính chẵn lẻ. Các cặp \((A, B)\) phải thỏa mãn \(A > 0, B > 0\) và \(A, B\) cùng lẻ (vì tích của chúng là 9 – số lẻ):

• \((A, B) = (1, 9)\)
• \((A, B) = (3, 3)\)
• \((A, B) = (9, 1)\)

Kiểm tra điều kiện \(B – A \ge 4\) và \(B – A\) là số chẵn:

• Với \((A, B) = (1, 9)\):
  • \(B – A = 9 – 1 = 8\). Đây là một số chẵn và \(8 \ge 4\). Trường hợp này thỏa mãn.
• Với \((A, B) = (3, 3)\):
  • \(B – A = 3 – 3 = 0\). Điều này không thỏa mãn \(B – A \ge 4\). (Nếu \(B-A=0\) thì \(2n+2=0 \Rightarrow n=-1\), không phải số nguyên dương). Loại.
• Với \((A, B) = (9, 1)\):
  • \(B – A = 1 – 9 = -8\). Điều này không thỏa mãn \(B – A \ge 4\). Loại.

Vậy, chỉ còn một trường hợp duy nhất thỏa mãn là \(A = 1\) và \(B = 9\).

Chúng ta lập hệ phương trình:

\(\begin{cases} k – n – 1 = 1 \\ k + n + 1 = 9 \end{cases}\)

Bước 5: Giải hệ phương trình để tìm \(n\)

Cộng hai phương trình lại với nhau:

\((k – n – 1) + (k + n + 1) = 1 + 9\)

\(2k = 10\)

\(k = 5\)

Thay \(k = 5\) vào phương trình thứ hai (\(k + n + 1 = 9\)):

\(5 + n + 1 = 9\)

\(n + 6 = 9\)

\(n = 9 – 6\)

\(n = 3\)

Bước 6: Kiểm tra lại kết quả

Với \(n = 3\), ta thay vào biểu thức ban đầu:

\(n^2+2n+10 = 3^2 + 2(3) + 10\)

\(= 9 + 6 + 10\)

\(= 25\)

Vì \(25 = 5^2\), đây là một số chính phương. Giá trị \(n=3\) là một số nguyên dương, nên thỏa mãn yêu cầu của bài toán.

Kết luận:

Vậy, số nguyên dương duy nhất \(n\) thỏa mãn yêu cầu của bài toán là \(n=3\).

Hy vọng các em đã hiểu rõ cách giải bài toán này. Hãy nhớ kĩ các bước: đặt biểu thức bằng số chính phương, hoàn thành bình phương để đưa về dạng hiệu hai bình phương, phân tích ước số và xét điều kiện để tìm nghiệm phù hợp. Chúc các em học tốt!