Tìm tất cả các số nguyên tố p,q phân biệt sao cho p−q và pq−q đều là các số chín...

Question

Tìm tất cả các số nguyên tố p,q phân biệt sao cho p−q và pq−q đều là các số chính phương.

Giáo viên Chuyên Môn · Accepted Answer

Xin chào các em học sinh! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán khá thú vị về số nguyên tố. Đây là một dạng bài yêu cầu tư duy logic và kỹ năng biến đổi đại số.

Đề bài: Tìm tất cả các số nguyên tố $p, q$ phân biệt sao cho $p-q$ và $pq-q$ đều là các số chính phương.

Chúng ta hãy bắt đầu giải bài toán này từng bước một nhé!

Lời giải:

Vì $p$ và $q$ là các số nguyên tố phân biệt, nên $p \ne q$.

Theo đề bài, $p-q$ là số chính phương. Đặt $p-q = a^2$ với $a$ là số nguyên không âm.
Vì $p, q$ là số nguyên tố và $p-q = a^2 \ge 0$, lại có $p \ne q$, nên $a^2 > 0$, suy ra $a \ge 1$. Từ đây, ta có $p = q + a^2$.
Điều này cũng có nghĩa là $p > q$.

Tiếp theo, $pq-q$ cũng là số chính phương. Đặt $pq-q = b^2$ với $b$ là số nguyên không âm.
Ta có thể phân tích biểu thức này: $q(p-1) = b^2$.

Vì $q$ là một số nguyên tố và là thừa số của $b^2$, điều này có nghĩa là $q$ phải là thừa số của $b$. Do đó, ta có thể viết $b = kq$ với $k$ là một số nguyên dương.
Thay $b = kq$ vào phương trình $q(p-1) = b^2$:
$q(p-1) = (kq)^2$
$q(p-1) = k^2q^2$
Vì $q$ là số nguyên tố, $q \ne 0$, ta có thể chia cả hai vế cho $q$:
$p-1 = k^2q$
Từ đây, ta có $p = k^2q + 1$.

Bây giờ, chúng ta có hai biểu thức cho $p$:
1) $p = q + a^2$
2) $p = k^2q + 1$

Cho hai biểu thức này bằng nhau:
$q + a^2 = k^2q + 1$
Chuyển các số hạng chứa $q$ về một vế, các số hạng còn lại về vế kia:
$a^2 - 1 = k^2q - q$
$a^2 - 1 = q(k^2 - 1)$
Phân tích các hiệu bình phương:
$(a-1)(a+1) = q(k-1)(k+1)$

Đây là một phương trình quan trọng. Chúng ta sẽ xét các trường hợp của $q$.

Trường hợp 1: $q = 2$
Nếu $q=2$, thay vào các biểu thức của $p$:
$p = 2 + a^2$
$p = 2k^2 + 1$
Từ đó:
$2 + a^2 = 2k^2 + 1$
$a^2 + 1 = 2k^2$
Hay $a^2 - 2k^2 = -1$.
Vì $a^2+1 = 2k^2$, suy ra $a^2$ là một số lẻ (vì $2k^2$ là chẵn, và $2k^2 - 1$ là lẻ). Do đó, $a$ phải là một số lẻ.

Chúng ta thử các giá trị nguyên lẻ của $a \ge 1$:

Nếu $a=1$:
        $1^2 + 1 = 2k^2$
        $2 = 2k^2$
        $k^2 = 1 \Rightarrow k=1$ (vì $k \ge 1$).
        Với $a=1$ và $k=1$, ta tìm $p$:
        $p = 2 + a^2 = 2 + 1^2 = 3$.
        Kiểm tra $p=3, q=2$:
        
            $p, q$ là các số nguyên tố phân biệt (3 và 2 là nguyên tố và khác nhau).
            $p-q = 3-2 = 1 = 1^2$ (là số chính phương).
            $pq-q = 3 \cdot 2 - 2 = 6-2 = 4 = 2^2$ (là số chính phương).
        
        Vậy $(p,q) = (3,2)$ là một nghiệm của bài toán.

Nếu $a=3$:
        $3^2 + 1 = 2k^2$
        $10 = 2k^2$
        $k^2 = 5$. Không có số nguyên $k$ nào thỏa mãn.

Nếu $a=5$:
        $5^2 + 1 = 2k^2$
        $26 = 2k^2$
        $k^2 = 13$. Không có số nguyên $k$ nào thỏa mãn.

Nếu $a=7$:
        $7^2 + 1 = 2k^2$
        $50 = 2k^2$
        $k^2 = 25 \Rightarrow k=5$.
        Với $a=7$ và $k=5$, ta tìm $p$:
        $p = 2 + a^2 = 2 + 7^2 = 2 + 49 = 51$.
        Tuy nhiên, $51$ không phải là số nguyên tố ($51 = 3 \cdot 17$). Do đó, cặp này không phải là nghiệm.

Phương trình $a^2 - 2k^2 = -1$ là một dạng của phương trình Pell. Các nghiệm nguyên dương $(a,k)$ của phương trình này là $(1,1), (7,5), (41,29), \dots$.
Với $a=1$, ta được $p=3$, là số nguyên tố.
Với $a=7$, ta được $p=51$, không phải số nguyên tố.
Với $a=41$, ta được $p=2+41^2 = 2+1681 = 1683$. Số này chia hết cho 3 ($1+6+8+3=18$), nên không phải số nguyên tố.
Các giá trị tiếp theo của $a$ sẽ cho ra $p$ càng lớn và càng có khả năng là hợp số.
Vậy, trong trường hợp $q=2$, chỉ có một nghiệm là $(p,q)=(3,2)$.

Trường hợp 2: $q$ là một số nguyên tố lẻ.
Chúng ta có phương trình $(a-1)(a+1) = q(k-1)(k+1)$.
Vì $q$ là một số nguyên tố, và $q$ chia hết $(a-1)(a+1)$, nên $q$ phải chia hết cho $(a-1)$ hoặc $q$ phải chia hết cho $(a+1)$.

Phân tích nhỏ: Từ $p = q+a^2$, ta có $a^2 = p-q$. Từ $p-1=k^2q$, ta có $p = k^2q+1$.
Thay $p$ vào $a^2=p-q$: $a^2 = k^2q+1-q = q(k^2-1)+1$.
Điều này có nghĩa là $a^2 \equiv 1 \pmod q$.
Suy ra $a \equiv 1 \pmod q$ hoặc $a \equiv -1 \pmod q$.

Trường hợp 2.1: $q | (a-1)$.
Nếu $q | (a-1)$, thì $a-1 = nq$ với $n$ là số nguyên dương (vì $a \ge 1$, và nếu $a=1$ thì $0=q(k^2-1)$ suy ra $k^2=1$, $p=q+1$. Nhưng $p=q+a^2 \Rightarrow p=q+1$. Lúc này $p-1=q$ và $p-1=k^2q \Rightarrow q=k^2q \Rightarrow k^2=1$. Từ $p=q+1$, nếu $q$ là số nguyên tố lẻ, thì $q+1$ là số chẵn lớn hơn 2, nên $p$ không thể là số nguyên tố. Vậy $a \ne 1$, nên $n \ge 1$).
Thay $a-1 = nq$ vào $a^2 = q(k^2-1)+1$:
$(nq+1)^2 = q(k^2-1)+1$
$n^2q^2 + 2nq + 1 = q(k^2-1)+1$
$n^2q^2 + 2nq = q(k^2-1)$
Chia cả hai vế cho $q$ (vì $q \ne 0$):
$n^2q + 2n = k^2-1$
$n(nq+2) = k^2-1$
Ta cũng có $a-1=nq$. Thay vào $(a-1)(a+1) = q(k-1)(k+1)$:
$nq(a+1) = q(k-1)(k+1)$
$n(a+1) = (k-1)(k+1)$
Lại có $a+1 = (nq+1)+1 = nq+2$. Thay vào:
$n(nq+2) = (k-1)(k+1)$
$n(nq+2) = k^2-1$.
Phương trình này là nhất quán. Quay lại phương trình $a^2 = q(k^2-1)+1$.
Ta có $a^2 \equiv 1 \pmod q$. Nếu $a \equiv 1 \pmod q$, thì $a=nq+1$.
Thay $a=nq+1$ vào $a^2 = q(k^2-1)+1$:
$(nq+1)^2 = q(k^2-1)+1$
$n^2q^2+2nq+1 = q(k^2-1)+1$
$n^2q^2+2nq = q(k^2-1)$
Chia cho $q$: $n^2q+2n = k^2-1$. Điều này không dẫn đến mâu thuẫn ngay lập tức.
Tuy nhiên, xét lại $(a-1)(a+1) = q(k-1)(k+1)$.
Từ $a^2 = q(k^2-1)+1$, nếu $q|a-1$, thì $a-1=nq$.
Vậy $a=nq+1$.
Thì $a^2 = (nq+1)^2 = n^2q^2+2nq+1$.
Thay vào $a^2 = q(k^2-1)+1$:
$n^2q^2+2nq+1 = q(k^2-1)+1$
$n^2q^2+2nq = q(k^2-1)$
$q(n^2q+2n) = q(k^2-1)$
$n^2q+2n = k^2-1$.
Đây là phương trình chúng ta đã có.
Từ $p-q=a^2$ và $p = k^2q+1$, ta có $k^2q+1-q=a^2$, tức $q(k^2-1)+1 = a^2$.
Nếu $a-1$ chia hết cho $q$, thì $a-1=nq$. Suy ra $a=nq+1$.
$q(k^2-1)+1 = (nq+1)^2 = n^2q^2+2nq+1$.
$q(k^2-1) = n^2q^2+2nq$.
Chia cả hai vế cho $q$: $k^2-1 = n^2q+2n$.
Vậy $k^2-1 = n(nq+2)$.
Chúng ta cần $k^2-1 > 0 \Rightarrow k > 1$.
Và $n(nq+2) > 0$. Vì $n \ge 1, q \ge 3$, điều này luôn đúng.
Nếu $n=1$, thì $k^2-1 = q+2$, hay $k^2 = q+3$.
Thay $a = nq+1 = q+1$ (vì $n=1$).
Khi đó $p = q+a^2 = q+(q+1)^2$.
Và $p = k^2q+1 = (q+3)q+1$.
Cho hai biểu thức của $p$ bằng nhau:
$q+(q+1)^2 = (q+3)q+1$
$q + q^2+2q+1 = q^2+3q+1$
$q^2+3q+1 = q^2+3q+1$
Phương trình này luôn đúng. Vậy chúng ta cần tìm $q$ là số nguyên tố lẻ sao cho $q+3$ là một số chính phương.
Đặt $q+3 = m^2$ với $m$ là số nguyên dương.
Vì $q$ là số nguyên tố lẻ, $q \ge 3$.
Nếu $q=3$, thì $q+3 = 3+3=6$, không là số chính phương.
Vì $q$ là số lẻ, $q+3$ phải là số chẵn. Do đó $m^2$ là số chẵn, suy ra $m$ phải là số chẵn.
Đặt $m=2j$, thì $q+3 = (2j)^2 = 4j^2$.
$q = 4j^2 - 3$.
Chúng ta thử các giá trị của $j \ge 1$:

Nếu $j=1$: $q = 4(1)^2 - 3 = 1$. Không phải số nguyên tố.

Nếu $j=2$: $q = 4(2)^2 - 3 = 16 - 3 = 13$. Đây là số nguyên tố.
        Nếu $q=13$, thì $k^2 = q+3 = 13+3 = 16 \Rightarrow k=4$.
        Với $q=13$ và $a=q+1=14$:
        $p = q+a^2 = 13+14^2 = 13+196 = 209$.
        Tuy nhiên, $209 = 11 \cdot 19$, không phải số nguyên tố. Do đó, cặp này không phải là nghiệm.

Nếu $j=3$: $q = 4(3)^2 - 3 = 36 - 3 = 33$. Không phải số nguyên tố ($33=3 \cdot 11$).

Nếu $j=4$: $q = 4(4)^2 - 3 = 64 - 3 = 61$. Đây là số nguyên tố.
        Nếu $q=61$, thì $k^2 = q+3 = 61+3 = 64 \Rightarrow k=8$.
        Với $q=61$ và $a=q+1=62$:
        $p = q+a^2 = 61+62^2 = 61+3844 = 3905$.
        Tuy nhiên, $3905$ chia hết cho 5 (vì tận cùng là 5), nên không phải số nguyên tố. Do đó, cặp này không phải là nghiệm.

Trong trường hợp $q=4j^2-3$, $p = q+(q+1)^2$. Khi $j$ lớn, $q$ và $p$ cũng sẽ lớn, và khả năng $p$ là số nguyên tố sẽ rất thấp. Chưa có giá trị $j$ nào cho $p$ là số nguyên tố trong trường hợp này.

Trường hợp 2.2: $q | (a+1)$.
Nếu $q | (a+1)$, thì $a+1 = nq$ với $n$ là số nguyên dương (vì $a \ge 1 \Rightarrow a+1 \ge 2$).
Suy ra $a = nq-1$.
Thay $a = nq-1$ vào $a^2 = q(k^2-1)+1$:
$(nq-1)^2 = q(k^2-1)+1$
$n^2q^2 - 2nq + 1 = q(k^2-1)+1$
$n^2q^2 - 2nq = q(k^2-1)$
Chia cả hai vế cho $q$ (vì $q \ne 0$):
$n^2q - 2n = k^2-1$
$n(nq-2) = k^2-1$.
Vì $a = nq-1 \ge 1$, suy ra $nq \ge 2$.

Nếu $n=1$:
$a = 1 \cdot q - 1 = q-1$.
Thay $n=1$ vào $n(nq-2) = k^2-1$:
$1(1 \cdot q - 2) = k^2-1$
$q-2 = k^2-1$
$q-1 = k^2$
Với $q$ là số nguyên tố lẻ, $q-1$ phải là một số chính phương. Đặt $q-1=m^2$ với $m$ là số nguyên dương.
$q = m^2+1$.
Vì $q$ là số nguyên tố lẻ, $m^2$ phải là số chẵn. Do đó $m$ phải là số chẵn.

Nếu $m=2$ (là số chẵn): $q = 2^2+1 = 5$. Đây là số nguyên tố.
        Với $q=5$:
        $a = q-1 = 5-1 = 4$.
        $p = q+a^2 = 5+4^2 = 5+16 = 21$.
        Tuy nhiên, $21$ không phải là số nguyên tố ($21 = 3 \cdot 7$). Do đó, cặp này không phải là nghiệm.

Nếu $m=4$ (là số chẵn): $q = 4^2+1 = 17$. Đây là số nguyên tố.
        Với $q=17$:
        $a = q-1 = 17-1 = 16$.
        $p = q+a^2 = 17+16^2 = 17+256 = 273$.
        Tuy nhiên, $273$ không phải là số nguyên tố ($273 = 3 \cdot 7 \cdot 13$). Do đó, cặp này không phải là nghiệm.

Các số nguyên tố có dạng $m^2+1$ là rất hiếm. Ngoài $q=2$ (khi $m=1$) và $q=5$ (khi $m=2$), các số khác có thể là số nguyên tố (ví dụ $m=4 \Rightarrow q=17$, $m=6 \Rightarrow q=37$, $m=10 \Rightarrow q=101$...), nhưng với $p=q+(q-1)^2$, $p$ thường là hợp số.

Nếu $n \ge 2$:
Xét trường hợp nhỏ nhất cho $q$, đó là $q=3$ (là số nguyên tố lẻ nhỏ nhất).
Với $q=3$, ta có $a = nq-1 = 3n-1$.
Thay vào $n(nq-2) = k^2-1$:
$n(3n-2) = k^2-1$
$3n^2-2n = k^2-1$.
Ta cũng có $p = q+a^2 = 3+(3n-1)^2$.
Và $p = k^2q+1 = 3k^2+1$.
Cho hai biểu thức của $p$ bằng nhau:
$3+(3n-1)^2 = 3k^2+1$
$3+9n^2-6n+1 = 3k^2+1$
$9n^2-6n+4 = 3k^2+1$
$9n^2-6n+3 = 3k^2$
Chia cả hai vế cho 3:
$3n^2-2n+1 = k^2$.
Chúng ta cần tìm số nguyên $n \ge 2$ sao cho $3n^2-2n+1$ là một số chính phương.
Thử các giá trị của $n \ge 2$:

Nếu $n=2$:
        $3(2^2) - 2(2) + 1 = 3(4) - 4 + 1 = 12 - 4 + 1 = 9 = 3^2$.
        Đây là một số chính phương. Vậy $k^2=9 \Rightarrow k=3$.
        Với $n=2, q=3$, ta có $a = 3n-1 = 3(2)-1 = 5$.
        Tìm $p$:
        $p = q+a^2 = 3+5^2 = 3+25 = 28$.
        Tuy nhiên, $28$ không phải là số nguyên tố ($28 = 2^2 \cdot 7$). Do đó, cặp này không phải là nghiệm.

Nếu $n=3$:
        $3(3^2) - 2(3) + 1 = 3(9) - 6 + 1 = 27 - 6 + 1 = 22$. Không phải số chính phương.

Nếu $n=4$:
        $3(4^2) - 2(4) + 1 = 3(16) - 8 + 1 = 48 - 8 + 1 = 41$. Không phải số chính phương.

Phương trình $3n^2-2n+1 = k^2$ có thể được biến đổi thành $Y^2 - 3X^2 = -2$ với $Y=3n-1$ và $X=k$. Các nghiệm nguyên của phương trình này ngoài $(Y,X) = (5,3)$ (cho $n=2$) sẽ cho ra các giá trị $n$ và $p$ lớn hơn, mà khả năng $p$ là số nguyên tố sẽ rất thấp.

Kết luận:
Qua các trường hợp đã xét, chỉ có duy nhất cặp số nguyên tố $(p,q) = (3,2)$ thỏa mãn các điều kiện đề bài.

Hy vọng các em đã hiểu rõ cách giải bài toán này. Hãy nhớ rằng, trong các bài toán số nguyên tố, việc xét các trường hợp nhỏ (nhất là $q=2$) thường rất quan trọng và thường cho ra nghiệm duy nhất hoặc các nghiệm cơ bản. Chúc các em học tốt!

 · Answer

Đặt $p-q= a^2, pq-q=b^2(a,b \in \mathbb{N})$ khi đ&oacute; ta c&oacute;
$$ q(p-1) =b^2 \Rightarrow q \mid b^2 \Rightarrow q^2 \mid b^2$$ 
Do đ&oacute; $q \mid p-1 \Rightarrow p-1 \geqslant q$ 
$$\Rightarrow b^2 = q(p-1) \leqslant  (p-1)^2 \Rightarrow b \leqslant p-1$$
Lại c&oacute; $$ b^2-a^2= pq-p = p(q-1) \Rightarrow (b-a)(b+a) = p(q-1)$$
Từ đ&oacute; suy ra $p \mid (b-a)(b+a)$, đồng thời
$$ b-a < b \leqslant p-1 \Rightarrow p \mid b+a $$ M&agrave; $b>a$ n&ecirc;n $b+a <2b<2p$, do đ&oacute; $a+b =p$
Nếu $p=2$ suy ra $q=2$, khi đ&oacute; $pq-q= 2($ loại $)$
Nếu $p \geqslant 3$ khi đ&oacute; $p$ lẻ n&ecirc;n $b-a=a+b-2a = p-2a$ lẻ
Do đ&oacute; $q-1$ lẻ n&ecirc;n $q=2$, từ đ&oacute; ta c&oacute; $b-a=1$
$$ p-2=a^2, \quad 2p-2= b^2= (a+1)^2 $$
$$\Rightarrow  p =(a+1)^2 - a^2= 2a+1$$
$\Rightarrow p=   3 \Rightarrow (p,q)=(3,2)$
Vậy $(p,q)=(3,2)$

Tìm tất cả các số nguyên tố p,q phân biệt sao cho p−q và pq−q đều là các số chín…

Tìm tất cả các số nguyên tố p,q phân biệt sao cho p−q và pq−q đều là các số chín…

Tìm tất cả các số nguyên tố p,q phân biệt sao cho p−q và pq−q đều là các số chín…

Về tác giả

về tác giả

Thiên Nam

Add comment Hủy

Giao Hàng Nhanh Chóng

Trả Lại Dễ Dàng Và Nhanh Chóng

Hỗ Trợ Khách Hàng 24/7

Thanh Toán An Toàn 100%

Vị trí