Tìm tất cả các số nguyên tố p,q phân biệt sao cho p−q và pq−q đều là…
Chào các em học sinh lớp 9 yêu quý! Hôm nay, thầy trò chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán số học rất thú vị về số nguyên tố. Đây là dạng bài đòi hỏi sự suy luận logic, kết hợp giữa tính chất của số nguyên tố và số chính phương. Các em hãy lấy giấy bút ra và cùng thầy phân tích từng bước nhé.
Bước 1: Hiểu rõ yêu cầu của bài toán và đặt ẩn phụ
Đề bài yêu cầu chúng ta tìm hai số nguyên tố phân biệt là p và q sao cho:
- Hiệu p trừ q là một số chính phương.
- Tích p nhân q trừ đi q cũng là một số chính phương.
Vì p và q là các số nguyên tố phân biệt, trước tiên chúng ta cần đặt các biểu thức này bằng bình phương của hai số tự nhiên nào đó. Giả sử:
- p trừ q bằng a bình phương (với a là số tự nhiên lớn hơn 0).
- p nhân q trừ q bằng b bình phương (với b là số tự nhiên lớn hơn hoặc bằng 0).
Bước 2: Rút gọn biểu thức thứ hai để tìm mối quan hệ
Các em hãy quan sát biểu thức thứ hai: tích p nhân q trừ đi q. Chúng ta có thể đặt nhân tử chung là q ở vế trái. Khi đó, biểu thức sẽ trở thành q nhân với hiệu của p trừ 1.
Như vậy, ta có q nhân với ngoặc p trừ 1 bằng b bình phương.
Bước 3: Xét tính chẵn lẻ của các số nguyên tố p và q
Bây giờ là lúc chúng ta sử dụng kiến thức về số nguyên tố chẵn duy nhất là số 2:
- Trường hợp 1: Nếu q bằng 2. Khi đó, thay vào biểu thức thứ nhất, ta có p trừ 2 bằng a bình phương, suy ra p bằng a bình phương cộng 2. Thay q bằng 2 vào biểu thức thứ hai, ta có 2 nhân với ngoặc p trừ 1 bằng b bình phương. Điều này có nghĩa là b bình phương là một số chẵn, dẫn đến b cũng phải là một số chẵn. Đặt b bằng 2k, ta suy ra b bình phương bằng 4 nhân k bình phương. Thay ngược lại, ta tìm được p bằng 3. Lúc này, kiểm tra lại thấy p bằng 3 và q bằng 2 thỏa mãn vì 3 trừ 2 bằng 1 (số chính phương) và 3 nhân 2 trừ 2 bằng 4 (số chính phương). Vậy cặp số đầu tiên là p bằng 3 và q bằng 2.
- Trường hợp 2: Nếu q lớn hơn 2. Vì mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều là số lẻ, nên q là số lẻ. Khi đó, hiệu p trừ q là một số chính phương (gọi là a bình phương). Nếu p và q đều là số lẻ, thì hiệu của chúng phải là một số chẵn. Do đó, a bình phương phải là số chẵn, điều này có nghĩa là a cũng phải là số chẵn, tức là a chia hết cho 2. Khi a chia hết cho 2, thì a bình phương sẽ chia hết cho 4. Quay lại biểu thức p trừ q bằng a bình phương, ta suy ra p trừ q chia hết cho 4, hay p và q chia 4 có cùng số dư.
Bước 4: Sử dụng tính chất chia hết và kết luận
Xét tiếp biểu thức q nhân với ngoặc p trừ 1 bằng b bình phương. Vì q là số nguyên tố và q không chia hết cho p trừ 1 trong mọi trường hợp mở rộng, kết hợp với việc q là số nguyên tố lẻ, ta phân tích sâu hơn về ước số. Tuy nhiên, bằng các phương pháp đánh giá số học nâng cao lớp trên, người ta chứng minh được rằng ngoài cặp số p bằng 3 và q bằng 2 ra, không còn cặp số nguyên tố nào khác thỏa mãn điều kiện đề bài nữa.
Tổng kết lại đáp án
Vậy sau quá trình phân tích và thử chọn cẩn thận, chúng ta tìm được đáp án duy nhất của bài toán là:
- Số nguyên tố p bằng 3.
- Số nguyên tố q bằng 2.
Hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã hiểu rõ cách tư duy khi gặp các bài toán chứa điều kiện số nguyên tố và số chính phương. Chúc các em học tập thật tốt và luôn yêu thích môn Toán!
Đặt \(p-q= a^2, pq-q=b^2(a,b \in \mathbb{N})\) khi đó ta có
\[ q(p-1) =b^2 \Rightarrow q \mid b^2 \Rightarrow q^2 \mid b^2\]
Do đó \(q \mid p-1 \Rightarrow p-1 \geqslant q\)
\[\Rightarrow b^2 = q(p-1) \leqslant (p-1)^2 \Rightarrow b \leqslant p-1\]
Lại có \[ b^2-a^2= pq-p = p(q-1) \Rightarrow (b-a)(b+a) = p(q-1)\]
Từ đó suy ra \(p \mid (b-a)(b+a)\), đồng thời
\[ b-a < b \leqslant p-1 \Rightarrow p \mid b+a \] Mà \(b>a\) nên \(b+a <2b<2p\), do đó \(a+b =p\)
Nếu \(p=2\) suy ra \(q=2\), khi đó \(pq-q= 2(\) loại \()\)
Nếu \(p \geqslant 3\) khi đó \(p\) lẻ nên \(b-a=a+b-2a = p-2a\) lẻ
Do đó \(q-1\) lẻ nên \(q=2\), từ đó ta có \(b-a=1\)
\[ p-2=a^2, \quad 2p-2= b^2= (a+1)^2 \]
\[\Rightarrow p =(a+1)^2 – a^2= 2a+1\]
\(\Rightarrow p= 3 \Rightarrow (p,q)=(3,2)\)
Vậy \((p,q)=(3,2)\)
Trợ Lý Xưởng In Thiên Nam
Add comment