Chào các em học sinh lớp 7 thân mến!

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán thú vị về lũy thừa và bất đẳng thức nhé. Đề bài yêu cầu chúng ta tìm tất cả các số tự nhiên \(n\) sao cho:

\(0,5 \le (1/2)^n < 0,005\)

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ chia thành hai phần riêng biệt và sau đó tổng hợp kết quả lại.

Phần 1: Giải bất đẳng thức \(0,5 \le (1/2)^n\)

Đầu tiên, chúng ta hãy viết số \(0,5\) dưới dạng lũy thừa cơ số \(1/2\):

\(0,5 = 1/2 = (1/2)^1\)

Vậy bất đẳng thức của chúng ta trở thành:

\((1/2)^1 \le (1/2)^n\)

Các em hãy nhớ một quy tắc quan trọng về bất đẳng thức khi làm việc với lũy thừa nhé: Khi cơ số là một số dương nhỏ hơn \(1\) (như \(1/2\)), thì khi chúng ta so sánh hai lũy thừa, chiều của bất đẳng thức sẽ đảo ngược khi chúng ta so sánh số mũ.

Tức là, nếu \((1/2)^1 \le (1/2)^n\), thì khi lấy số mũ, chúng ta phải đảo chiều bất đẳng thức:

\(1 \ge n\)

Vì \(n\) là số tự nhiên (các số \(1, 2, 3, \ldots\)), từ điều kiện \(1 \ge n\), chúng ta có thể kết luận rằng \(n\) chỉ có thể là \(n=1\). (Nếu \(n=0\) được tính là số tự nhiên thì \( (1/2)^0 = 1 \), \( 0.5 \le 1 \) là đúng, nhưng \( n=0 \) không thỏa mãn vế sau).

Phần 2: Giải bất đẳng thức \((1/2)^n < 0,005\)

Bây giờ chúng ta hãy xem xét phần thứ hai của bất đẳng thức.

Đầu tiên, chúng ta đổi số thập phân \(0,005\) thành phân số:

\(0,005 = 5/1000 = 1/200\)

Vậy bất đẳng thức của chúng ta trở thành:

\((1/2)^n < 1/200\)

Chúng ta cũng có thể viết \((1/2)^n\) thành \(1/(2^n)\). Vậy bất đẳng thức là:

\(1/(2^n) < 1/200\)

Khi so sánh hai phân số có cùng tử số là \(1\) và mẫu số dương, phân số nào nhỏ hơn thì có mẫu số lớn hơn. Vì vậy, để \(1/(2^n) < 1/200\), chúng ta cần mẫu số \(2^n\) phải lớn hơn \(200\).

Tức là: \(2^n > 200\)

Bây giờ chúng ta hãy thử các giá trị của \(n\) (là số tự nhiên) để tìm ra số mũ phù hợp:

• Khi \(n=1\), \(2^1 = 2\) (không lớn hơn \(200\))
• Khi \(n=2\), \(2^2 = 4\) (không lớn hơn \(200\))
• Khi \(n=3\), \(2^3 = 8\) (không lớn hơn \(200\))
• Khi \(n=4\), \(2^4 = 16\) (không lớn hơn \(200\))
• Khi \(n=5\), \(2^5 = 32\) (không lớn hơn \(200\))
• Khi \(n=6\), \(2^6 = 64\) (không lớn hơn \(200\))
• Khi \(n=7\), \(2^7 = 128\) (không lớn hơn \(200\))
• Khi \(n=8\), \(2^8 = 256\) (lớn hơn \(200\) – đúng!)

Vậy, để thỏa mãn điều kiện \(2^n > 200\), số tự nhiên \(n\) phải là \(8\) hoặc lớn hơn (\(n \ge 8\)).

Kết luận cuối cùng:

Chúng ta cần tìm số tự nhiên \(n\) sao cho cả hai điều kiện đã tìm được đều được thỏa mãn:

1. Từ Phần 1: \(n = 1\)
2. Từ Phần 2: \(n \ge 8\)

Các em có thấy điều gì đặc biệt không?

Chúng ta cần một số tự nhiên \(n\) mà vừa bằng \(1\) lại vừa lớn hơn hoặc bằng \(8\). Điều này là không thể xảy ra!

Không có số tự nhiên nào có thể đồng thời thỏa mãn cả \(n=1\) và \(n \ge 8\).

Do đó, không có số tự nhiên \(n\) nào đồng thời thỏa mãn cả hai điều kiện của bất đẳng thức đã cho.

Vậy, không tồn tại số tự nhiên \(n\) nào thỏa mãn điều kiện đề bài.

Đây là một bài toán hay giúp các em rèn luyện tư duy logic và kỹ năng giải bất đẳng thức. Hãy luôn cẩn thận xem xét tất cả các điều kiện nhé!

Chúc các em học tốt!