Chào các em học sinh lớp 7!

Hôm nay, thầy trò chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán tìm số nguyên khá thú vị. Bài toán yêu cầu chúng ta tìm tất cả các số nguyên \(x\) thỏa mãn phương trình:

( \(x\) – 1 ) ( \(x\) + 2 ) ( \(x\) + 3 ) = 60

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp phân tích và thử chọn. Các em hãy chú ý theo dõi từng bước nhé!

Bước 1: Nhận xét và biến đổi phương trình.

Quan sát phương trình, ta thấy vế trái là tích của ba biểu thức chứa \(x\). Vế phải là một hằng số dương. Chúng ta cần tìm \(x\) sao cho tích này bằng 60.

Để việc phân tích dễ dàng hơn, chúng ta sẽ nhóm hai thừa số đầu tiên và hai thừa số cuối cùng:

( \(x\) – 1 ) ( \(x\) + 3 ) ( \(x\) + 2 ) = 60

Bây giờ, chúng ta nhân hai thừa số đầu tiên lại:

( \(x^2\) + 3\(x\) – \(x\) – 3 ) ( \(x\) + 2 ) = 60

( \(x^2\) + 2\(x\) – 3 ) ( \(x\) + 2 ) = 60

Để ý rằng, trong biểu thức đầu tiên có \(x^2\) + 2\(x\), chúng ta có thể đặt \(y\) = \(x^2\) + 2\(x\). Tuy nhiên, cách này sẽ làm xuất hiện bậc 4 nếu ta nhân hết ra. Chúng ta hãy thử một cách khác tinh tế hơn.

Bước 2: Tìm cách đặt ẩn phụ phù hợp.

Chúng ta có ba thừa số là \(x\) – 1, \(x\) + 2, \(x\) + 3. Khoảng cách giữa chúng lần lượt là 3 và 1.
Hãy thử đặt \(y\) = \(x\) + 1 (trung bình cộng của \(x\)-1 và \(x\)+3, hoặc gần trung bình cộng của cả ba số).
Khi đó:

• \(x\) – 1 = \(y\) – 2
• \(x\) + 2 = \(y\) + 1
• \(x\) + 3 = \(y\) + 2

Thay vào phương trình ban đầu, ta được:

( \(y\) – 2 ) ( \(y\) + 1 ) ( \(y\) + 2 ) = 60

Nhóm lại:

( \(y\) – 2 ) ( \(y\) + 2 ) ( \(y\) + 1 ) = 60

Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương (a-b)(a+b) = a^2 – b^2:

( \(y^2\) – 4 ) ( \(y\) + 1 ) = 60

Bây giờ, chúng ta nhân phá ngoặc:

( \(y^2\) – 4 ) \(y\) + ( \(y^2\) – 4 ) * 1 = 60

( \(y^3\) – 4\(y\) ) + ( \(y^2\) – 4 ) = 60

( \(y^3\) + \(y^2\) – 4\(y\) – 4 ) = 60

( \(y^3\) + \(y^2\) – 4\(y\) – 64 ) = 0

Phương trình này vẫn là bậc 3 và khá khó để giải trực tiếp. Chúng ta hãy quay lại xem có cách nào đơn giản hơn không.

Bước 3: Tiếp tục nhóm và thử các giá trị.

Chúng ta quay lại phương trình ban đầu:

( \(x\) – 1 ) ( \(x\) + 2 ) ( \(x\) + 3 ) = 60

Các thừa số \(x\)-1, \(x\)+2, \(x\)+3 là các số nguyên.
Chúng ta cần tìm ba số nguyên, khi nhân với nhau thì được 60.
Quan trọng hơn, ba số này có một quy luật: chúng cách nhau một khoảng cố định.

Nếu ta gọi \(a\) = \(x\)-1, thì hai số còn lại là \(a\)+3 và \(a\)+4.
Hoặc nếu ta gọi \(a\) = \(x\)+2, thì hai số còn lại là \(a\)-3 và \(a\)+1.
Chúng ta hãy thử sắp xếp lại các thừa số để dễ nhìn hơn:

( \(x\) – 1 ) ( \(x\) + 2 ) ( \(x\) + 3 ) = 60

Nếu \(x\) là một số nguyên, thì \(x\)-1, \(x\)+2, \(x\)+3 cũng là các số nguyên.
Chúng ta hãy thử tìm các bộ ba số nguyên có tích bằng 60 và có khoảng cách nhất định.
Các ước của 60 là: ±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±10, ±12, ±15, ±20, ±30, ±60.

Chúng ta cần ba số nguyên mà hai số sau cách số trước 3 đơn vị, và hai số sau nữa cách số thứ hai 1 đơn vị. Ví dụ: \(a\), \(a\)+3, \(a\)+4.

Hãy xét các trường hợp sau:

Trường hợp 1: Các số đều dương.

Chúng ta cần tìm ba số dương có dạng \(a\), \(a\)+3, \(a\)+4 có tích bằng 60.

Nếu \(a\) = 1, thì ba số là 1, 4, 5. Tích là 1 4 5 = 20 (không đúng).

Nếu \(a\) = 2, thì ba số là 2, 5, 6. Tích là 2 5 6 = 60 (đúng!).

Vậy, ta có một trường hợp:

• \(x\) – 1 = 2 => \(x\) = 3
• \(x\) + 2 = 5 => \(x\) = 3
• \(x\) + 3 = 6 => \(x\) = 3

Kiểm tra lại với \(x\) = 3:

( 3 – 1 ) ( 3 + 2 ) ( 3 + 3 ) = (2) (5) (6) = 60. (Đúng)

Vậy, \(x\) = 3 là một nghiệm.

Trường hợp 2: Có các số âm.

Chúng ta cần tìm ba số nguyên có dạng \(a\), \(a\)+3, \(a\)+4 có tích bằng 60.

Để tích bằng 60 (dương), chúng ta có thể có:

• Ba số âm.
• Một số dương và hai số âm.

Xét trường hợp ba số âm:

Nếu \(x\) – 1 là số âm, thì \(x\) + 2 và \(x\) + 3 cũng có thể âm.
Tuy nhiên, khoảng cách giữa \(x\)-1 và \(x\)+3 là 4, giữa \(x\)-1 và \(x\)+2 là 3.

Nếu \(x\)+3 là số âm nhỏ nhất, ví dụ \(x\)+3 = -1, thì \(x\) = -4.
Các số là: \(x\)-1 = -5, \(x\)+2 = -2, \(x\)+3 = -1.
Tích là (-5) (-2) (-1) = -10 (không đúng).

Nếu \(x\)+3 = -2, thì \(x\) = -5.
Các số là: \(x\)-1 = -6, \(x\)+2 = -3, \(x\)+3 = -2.
Tích là (-6) (-3) (-2) = -36 (không đúng).

Nếu \(x\)+3 = -3, thì \(x\) = -6.
Các số là: \(x\)-1 = -7, \(x\)+2 = -4, \(x\)+3 = -3.
Tích là (-7) (-4) (-3) = -84 (không đúng).

Xét trường hợp một số dương và hai số âm:

Vì \(x\)+3 > \(x\)+2 > \(x\)-1, nên để có một số dương và hai số âm, thì \(x\)-1 phải là số âm, \(x\)+2 là số âm hoặc bằng 0, và \(x\)+3 là số dương. Hoặc \(x\)-1 âm, \(x\)+2 dương, \(x\)+3 dương.

Khả năng 1: \(x\)-1 < 0, \(x\)+2 < 0, \(x\)+3 > 0.

Điều này có nghĩa là \(x\) < 1, \(x\) < -2, và \(x\) > -3. Vậy -3 < \(x\) < -2. Không có số nguyên \(x\) nào thỏa mãn.

Khả năng 2: \(x\)-1 < 0, \(x\)+2 > 0, \(x\)+3 > 0.

Điều này có nghĩa là \(x\) < 1, \(x\) > -2, và \(x\) > -3. Vậy -2 < \(x\) < 1.

Các số nguyên \(x\) trong khoảng này là \(x\) = -1 và \(x\) = 0.

• Nếu \(x\) = -1: Các số là (-1 – 1), (-1 + 2), (-1 + 3) = -2, 1, 2. Tích là (-2) 1 2 = -4 (không đúng).
• Nếu \(x\) = 0: Các số là (0 – 1), (0 + 2), (0 + 3) = -1, 2, 3. Tích là (-1) 2 3 = -6 (không đúng).

Bước 4: Quay lại phân tích phương trình bậc 3.

Chúng ta có thể đã bỏ sót một trường hợp khi phân tích. Hãy xem lại phương trình khi đặt \(y = x+1\):

( \(y^2\) – 4 ) ( \(y\) + 1 ) = 60

( \(y^2\) – 4 ) ( \(y\) + 1 ) – 60 = 0

( \(y^3\) + \(y^2\) – 4\(y\) – 4 ) – 60 = 0

( \(y^3\) + \(y^2\) – 4\(y\) – 64 ) = 0

Chúng ta cần tìm nghiệm nguyên của phương trình bậc 3 này. Nếu \(y\) là nghiệm nguyên, thì \(y\) phải là ước của 64.

Các ước của 64 là: ±1, ±2, ±4, ±8, ±16, ±32, ±64.

Thử các giá trị:

• Nếu \(y\) = 1: 1 + 1 – 4 – 64 ≠ 0
• Nếu \(y\) = -1: -1 + 1 + 4 – 64 ≠ 0
• Nếu \(y\) = 2: 8 + 4 – 8 – 64 ≠ 0
• Nếu \(y\) = -2: -8 + 4 + 8 – 64 ≠ 0
• Nếu \(y\) = 4: 64 + 16 – 16 – 64 = 0. (Đúng!)

  Vậy \(y\) = 4 là một nghiệm.

  Vì \(y\) = \(x\) + 1, nên \(x\) + 1 = 4 => \(x\) = 3. (Chúng ta đã tìm thấy nghiệm này).

  Thử các ước tiếp theo:

  • Nếu \(y\) = -4: (-4)^3 + (-4)^2 – 4(-4) – 64 = -64 + 16 + 16 – 64 = -96 ≠ 0.
  • Nếu \(y\) = 8: \(8^3\) + \(8^2\) – 4(8) – 64 = 512 + 64 – 32 – 64 = 480 ≠ 0.
  • Nếu \(y\) = -8: \((-8)^3\) + \((-8)^2\) – 4(-8) – 64 = -512 + 64 + 32 – 64 = -480 ≠ 0.

  Chúng ta có thể phân tích đa thức \(y^3\) + \(y^2\) – 4\(y\) – 64 = 0. Vì \(y\) = 4 là một nghiệm, nên đa thức chia hết cho ( \(y\) – 4 ).

  Thực hiện phép chia đa thức:

  ( \(y^3\) + \(y^2\) – 4\(y\) – 64 ) ÷ ( \(y\) – 4 ) = \(y^2\) + 5\(y\) + 16.

  Vậy phương trình trở thành: ( \(y\) – 4 ) ( \(y^2\) + 5\(y\) + 16 ) = 0.

  Ta xét phương trình bậc hai \(y^2\) + 5\(y\) + 16 = 0.

  Tính biệt thức Delta: Δ = \(b^2\) – 4\(ac\) = \(5^2\) – 4 1 16 = 25 – 64 = -39.

  Vì Δ < 0, phương trình \(y^2\) + 5\(y\) + 16 = 0 vô nghiệm (kể cả nghiệm thực).

  Kết luận:

  Chỉ có một giá trị nguyên của \(y\) thỏa mãn là \(y\) = 4.

  Từ \(y\) = \(x\) + 1, ta có \(x\) + 1 = 4, suy ra \(x\) = 3.

  Vậy, số nguyên \(x\) duy nhất thỏa mãn phương trình là \(x\) = 3.

  Tóm lại các bước giải:

  1. Đặt ẩn phụ \(y = x+1\).
  2. Biến đổi phương trình về dạng bậc ba theo \(y\): \(y^3\) + \(y^2\) – 4\(y\) – 64 = 0.
  3. Tìm nghiệm nguyên của phương trình bậc ba bằng cách thử các ước của hằng số tự do.
  4. Phân tích đa thức bậc ba thành nhân tử.
  5. Xét các trường hợp để tìm tất cả nghiệm nguyên.

  Các em thấy không, đôi khi việc đặt ẩn phụ lại giúp chúng ta đưa bài toán về dạng quen thuộc hơn. Tuy nhiên, phương pháp thử chọn các giá trị nguyên cũng rất hiệu quả khi chúng ta có thể dự đoán được các thừa số.

  Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, các em cứ mạnh dạn hỏi thầy nhé!

  Buổi học hôm nay của chúng ta kết thúc tại đây. Chúc các em học tốt!

  Trả lời bởi: Giáo viên Chuyên Môn