Chào các em học sinh lớp 7 thân mến!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán thú vị liên quan đến số tự nhiên và tính chất chia hết. Bài toán của chúng ta là:

Tìm tất cả số tự nhiên \(n\) sao cho \(n + 1\) là bội của \(n – 1\).

Trước hết, chúng ta hãy cùng nhắc lại một chút về khái niệm “bội” và “số tự nhiên” nhé:

• Số tự nhiên là các số dùng để đếm: \(0, 1, 2, 3, \ldots\) (hoặc một số tài liệu khác không kể số 0, ở bài này chúng ta sẽ xét \(n \in \{1, 2, 3, \ldots\}\) để \(n-1\) có thể khác 0).
• Khi nói “A là bội của B” có nghĩa là A chia hết cho B, hay A có thể viết dưới dạng \(A = k \cdot B\) với \(k\) là một số nguyên nào đó. Điều kiện quan trọng là B phải khác 0.

Bây giờ, chúng ta cùng bắt tay vào giải bài toán nhé!

Bước 1: Chuyển đổi yêu cầu bài toán

Theo đề bài, chúng ta cần tìm số tự nhiên \(n\) sao cho \(n + 1\) là bội của \(n – 1\).

Điều này có nghĩa là \((n + 1)\) chia hết cho \((n – 1)\).

Ký hiệu: \((n – 1) | (n + 1)\).

Bước 2: Sử dụng tính chất chia hết

Chúng ta biết rằng:

• Bản thân \((n – 1)\) luôn chia hết cho \((n – 1)\).
• Theo đề bài, \((n + 1)\) chia hết cho \((n – 1)\).

Nếu một số \((n – 1)\) chia hết cho hai số khác là \((n – 1)\) và \((n + 1)\), thì nó cũng sẽ chia hết cho hiệu của hai số đó.

Vậy, \((n – 1)\) sẽ chia hết cho \((n + 1) – (n – 1)\).

Chúng ta cùng tính hiệu này nhé:

\((n + 1) – (n – 1) = n + 1 – n + 1 = 2\)

Như vậy, chúng ta có kết luận: \((n – 1)\) phải là một ước của \(2\).

Bước 3: Tìm các ước số của 2

Các ước số nguyên của \(2\) là: \(-2, -1, 1, 2\).

Vậy, \(n – 1\) có thể nhận một trong các giá trị: \(-2, -1, 1, 2\).

Bước 4: Áp dụng điều kiện \(n\) là số tự nhiên

Vì \(n\) là số tự nhiên, chúng ta thường xét \(n \in \{1, 2, 3, \ldots\}\).

Điều này dẫn đến:

• \(n – 1\) phải là một số nguyên không âm, tức là \(n – 1 \ge 0\).
• Đồng thời, vì \((n – 1)\) là số chia, nên \((n – 1)\) phải khác \(0\). Nếu \(n – 1 = 0\) (tức \(n = 1\)), thì phép chia \((n + 1) \div (n – 1)\) sẽ là \(2 \div 0\), phép chia này không xác định. Do đó, \(n \ne 1\).

Từ hai điều kiện trên (\(n – 1 \ge 0\) và \(n – 1 \ne 0\)), chúng ta suy ra \(n – 1\) phải là một số nguyên dương.

Vậy, \(n – 1\) chỉ có thể là \(1\) hoặc \(2\) (loại bỏ \(-2\) và \(-1\)).

Bước 5: Tìm giá trị của \(n\)

Chúng ta xét từng trường hợp:

• Trường hợp 1: \(n – 1 = 1\)

\(n = 1 + 1\)

\(n = 2\)

• Trường hợp 2: \(n – 1 = 2\)

\(n = 2 + 1\)

\(n = 3\)

Bước 6: Kiểm tra lại các giá trị của \(n\)

• Với \(n = 2\):

\(n + 1 = 2 + 1 = 3\)

\(n – 1 = 2 – 1 = 1\)

Ta thấy \(3\) là bội của \(1\) (vì \(3 = 3 \times 1\)). Trường hợp này đúng.

• Với \(n = 3\):

\(n + 1 = 3 + 1 = 4\)

\(n – 1 = 3 – 1 = 2\)

Ta thấy \(4\) là bội của \(2\) (vì \(4 = 2 \times 2\)). Trường hợp này đúng.

Kết luận:

Vậy, tất cả các số tự nhiên \(n\) thỏa mãn yêu cầu của bài toán là \(n = 2\) và \(n = 3\).

Hy vọng các em đã hiểu rõ cách giải bài toán này. Kỹ thuật biến đổi để tìm ước số là một công cụ rất hữu ích trong nhiều bài toán số học đấy! Hãy luyện tập thêm để nắm vững nhé!