Chào các em học sinh thân mến!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán rất thú vị về phép chia hết nhé. Đây là dạng bài thường gặp và đòi hỏi chúng ta phải khéo léo một chút trong việc biến đổi biểu thức.

Đề bài: Tìm tất cả số tự nhiên \(n\) sao cho \(n^2 + 2n + 3\) chia hết cho \(n + 1\).

Chúng ta cùng bắt đầu giải bài toán này nha!

Lời giải chi tiết:

Yêu cầu của bài toán là tìm số tự nhiên \(n\) sao cho biểu thức \(n^2 + 2n + 3\) chia hết cho \(n + 1\).

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ tìm cách biến đổi biểu thức \(n^2 + 2n + 3\) sao cho nó “xuất hiện” thành phần \((n + 1)\). Chúng ta có thể nghĩ đến việc thêm bớt hoặc tách hạng tử.

Các em hãy nhớ lại hằng đẳng thức đáng nhớ \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).
Nếu chúng ta đặt \(a = n\) và \(b = 1\), thì ta có \((n+1)^2 = n^2 + 2n + 1\).

Bây giờ, chúng ta hãy so sánh biểu thức \((n+1)^2\) với biểu thức đề bài cho là \(n^2 + 2n + 3\).

Chúng ta thấy rằng:
\(n^2 + 2n + 3 = (n^2 + 2n + 1) + 2\)
Hay nói cách khác:
\(n^2 + 2n + 3 = (n + 1)^2 + 2\)

Theo đề bài, chúng ta cần \(n^2 + 2n + 3\) chia hết cho \(n + 1\).

Điều này có nghĩa là \((n + 1)^2 + 2\) phải chia hết cho \(n + 1\).

Chúng ta hãy phân tích biểu thức \((n + 1)^2 + 2\):

Ta thấy rằng:

• Số hạng thứ nhất là \((n + 1)^2\). Rõ ràng \((n + 1)^2\) luôn chia hết cho \(n + 1\) (vì \((n + 1)^2 = (n + 1) \times (n + 1)\)).
• Số hạng thứ hai là \(2\).

Vì \((n + 1)^2\) đã chia hết cho \(n + 1\), nên để tổng \((n + 1)^2 + 2\) chia hết cho \(n + 1\), thì phần còn lại là \(2\) cũng phải chia hết cho \(n + 1\).

Vậy, chúng ta có điều kiện là \(2\) phải chia hết cho \(n + 1\).

Điều này có nghĩa là \((n + 1)\) phải là một ước của \(2\).
Các ước của \(2\) là: \(1, 2, -1, -2\).

Vì \(n\) là số tự nhiên (theo định nghĩa ở Việt Nam, số tự nhiên bao gồm \(0, 1, 2, 3, …\)), nên \(n \ge 0\).
Khi đó, \(n + 1\) sẽ luôn là một số nguyên dương và \(n + 1 \ge 0 + 1\), tức là \(n + 1 \ge 1\).

Do đó, chúng ta chỉ xét các trường hợp \(n + 1\) là các ước dương của \(2\), đó là \(1\) và \(2\).

Trường hợp 1: \(n + 1 = 1\)
Từ phương trình này, ta suy ra \(n = 1 – 1\).
Vậy \(n = 0\).

Trường hợp 2: \(n + 1 = 2\)
Từ phương trình này, ta suy ra \(n = 2 – 1\).
Vậy \(n = 1\).

Kiểm tra lại kết quả:

• Nếu \(n = 0\):
  \(n^2 + 2n + 3 = 0^2 + 2 \times 0 + 3 = 3\).
  \(n + 1 = 0 + 1 = 1\).
  Ta thấy \(3\) chia hết cho \(1\). Vậy \(n = 0\) là một giá trị thỏa mãn.
• Nếu \(n = 1\):
  \(n^2 + 2n + 3 = 1^2 + 2 \times 1 + 3 = 1 + 2 + 3 = 6\).
  \(n + 1 = 1 + 1 = 2\).
  Ta thấy \(6\) chia hết cho \(2\). Vậy \(n = 1\) là một giá trị thỏa mãn.

Vậy, các số tự nhiên \(n\) thỏa mãn điều kiện đề bài là \(0\) và \(1\).

Kết luận:

Tất cả các số tự nhiên \(n\) thỏa mãn điều kiện \(n^2 + 2n + 3\) chia hết cho \(n + 1\) là \(n = 0\) và \(n = 1\).

Các em thấy không, bài toán này không quá khó phải không nào? Quan trọng là chúng ta biết cách biến đổi biểu thức một cách hợp lý để đưa về dạng quen thuộc. Hãy luyện tập thêm các dạng bài tương tự để làm quen nhé!

Chúc các em học tốt!