Chào các em học sinh lớp 8! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán khá thú vị về số nguyên. Bài toán yêu cầu chúng ta tìm các giá trị nguyên của \(x\) sao cho biểu thức \((4x-9)/(x^2-2)\) cũng nhận giá trị là một số nguyên.

Bài toán: Tìm \(x\) nguyên sao cho \((4x-9)/(x^2-2)\) cũng là số nguyên.

Để bài toán này có lời giải, chúng ta cần làm gì? Chúng ta cần tìm các số nguyên \(x\) sao cho khi thay \(x\) vào biểu thức \((4x-9)/(x^2-2)\), kết quả thu được là một số nguyên. Điều này có nghĩa là tử số \(4x-9\) phải chia hết cho mẫu số \(x^2-2\).

Chúng ta sẽ gọi \(k = (4x-9)/(x^2-2)\), với \(k\) là một số nguyên.
Từ đó, ta có \(4x-9 = k(x^2-2)\).
Đây là một phương trình liên quan đến \(x\). Tuy nhiên, việc giải trực tiếp phương trình này cho \(x\) không hề đơn giản, đặc biệt là khi \(x\) phải là số nguyên.

Chúng ta sẽ sử dụng một phương pháp khác, dựa trên tính chất chia hết. Nếu \(x^2-2\) chia hết cho \(4x-9\), thì \(x^2-2\) cũng phải chia hết cho một biểu thức khác mà chúng ta có thể biến đổi để làm xuất hiện \(x^2\).

Chúng ta biết rằng nếu \(a\) chia hết cho \(b\), thì mọi bội của \(a\) cũng chia hết cho \(b\).
Vì \(x^2-2\) chia hết cho \(4x-9\), nên chúng ta có thể nhân \(x^2-2\) với một số để làm xuất hiện \(x\) ở bậc cao hơn.
Hãy thử nhân \(x^2-2\) với \(4x\). Ta được \(4x(x^2-2) = 4x^3 – 8x\).
Và nhân \(4x-9\) với \(x^2\). Ta được \(x^2(4x-9) = 4x^3 – 9x^2\).

Tuy nhiên, cách này vẫn chưa trực tiếp. Chúng ta hãy nghĩ cách để làm xuất hiện \(x^2-2\) từ biểu thức \(4x-9\) hoặc ngược lại một cách khéo léo.

Nếu \((4x-9)/(x^2-2)\) là số nguyên, thì \(x^2-2\) phải chia hết \(4x-9\).
Điều này cũng có nghĩa là \(4(x^2-2)\) chia hết cho \(4x-9\).
\(4(x^2-2) = 4x^2 – 8\).

Bây giờ, chúng ta muốn biến đổi \(4x^2 – 8\) sao cho xuất hiện \(4x-9\) hoặc một biểu thức có thể triệt tiêu \(x^2\).

Hãy thử nhân \(4x-9\) với \(x\). Ta được \(x(4x-9) = 4x^2 – 9x\).

Vì \(x^2-2\) chia hết \(4x-9\), nên \(x^2-2\) cũng chia hết \(x(4x-9)\).
Nghĩa là, \(x^2-2\) chia hết \(4x^2 – 9x\).

Chúng ta biết \(x^2-2\) chia hết \(x^2-2\).
Do đó, \(x^2-2\) phải chia hết cho hiệu của hai biểu thức mà nó chia hết:
\(x^2-2\) chia hết \((4x^2 – 9x) – 4(x^2 – 2)\) (Chúng ta nhân \(x^2-2\) với 4 để có hệ số \(4x^2\)).
\(x^2-2\) chia hết \((4x^2 – 9x) – (4x^2 – 8)\)
\(x^2-2\) chia hết \(4x^2 – 9x – 4x^2 + 8\)
\(x^2-2\) chia hết \(-9x + 8\).

Bây giờ, chúng ta có một điều kiện mới: \(x^2-2\) phải chia hết cho \(-9x+8\).

Nếu \(-9x+8 = 0\), thì \(x = 8/9\), không phải số nguyên. Do đó, \(-9x+8 \neq 0\).

Nếu \(-9x+8\) chia hết \(x^2-2\), thì \(-9x+8\) cũng chia hết cho \(9^2(x^2-2)\) (nhân với \(9^2\) để làm xuất hiện \(81x^2\)).
\(81(x^2-2) = 81x^2 – 162\).

Chúng ta muốn biến đổi \(81x^2 – 162\) sao cho xuất hiện \(-9x+8\).
Hãy thử nhân \(-9x+8\) với \(-9x\).
\((-9x+8)(-9x) = 81x^2 – 72x\).

Vì \(-9x+8\) chia hết \(x^2-2\), nên \(-9x+8\) cũng chia hết \(81(x^2-2)\).
Và vì \(-9x+8\) chia hết \(-9x+8\), nên nó cũng chia hết \((-9x+8)(-9x)\).
Do đó, \(-9x+8\) phải chia hết cho hiệu của hai biểu thức này:
\(-9x+8\) chia hết \((81x^2 – 162) – (81x^2 – 72x)\)
\(-9x+8\) chia hết \(81x^2 – 162 – 81x^2 + 72x\)
\(-9x+8\) chia hết \(72x – 162\).

Bây giờ, chúng ta có một biểu thức bậc nhất mới: \(72x – 162\).
Chúng ta biết rằng \(-9x+8\) chia hết \(72x – 162\).
Vì \(72x – 162 = -8(-9x+8) + (-162 – (-64))\) -> Cách này hơi phức tạp, ta hãy làm đơn giản hơn.

Chúng ta biết \(-9x+8\) chia hết \(72x – 162\).
Nếu \(-9x+8 \neq 0\), thì \(-9x+8\) phải là một ước của \(72x – 162\).

Hãy thử biến đổi \(72x – 162\) để có dạng liên quan đến \(-9x+8\).
Ta có \(72x – 162 = -8(-9x) – 162\).
Ta muốn có \(-9x+8\).
Thử nhân \(-9x+8\) với 8: \(8(-9x+8) = -72x + 64\).
Cũng chưa ra.

Hãy quay lại: \(-9x+8\) chia hết \(72x – 162\).
Chúng ta có thể biến đổi \(72x – 162\) như sau:
\(72x – 162 = -8(-9x+8) + 64 – 162\)
\(72x – 162 = -8(-9x+8) – 98\).
Vì \(-9x+8\) chia hết \(-9x+8\), nên nó cũng chia hết \(-8(-9x+8)\).
Do đó, \(-9x+8\) phải chia hết hiệu: \((72x – 162) – (-8(-9x+8))\)
\(-9x+8\) chia hết \(72x – 162 + 8(-9x+8)\)
\(-9x+8\) chia hết \(72x – 162 + 72x – 64\).
Cách này cũng sai.

Chúng ta đã có \(-9x+8\) chia hết \(72x – 162\).
Ta muốn \(-9x+8\) chia hết một hằng số.
Ta biết \(72x – 162\) và \(-9x+8\).
Hãy nhân \(-9x+8\) với 8 để có hệ số của \(x\) là \(72x\).
\(8(-9x+8) = -72x + 64\).
Cũng không khớp.

Chúng ta biết \(-9x+8\) chia hết \(x^2-2\).
Nếu \(-9x+8 \neq 0\), thì \(|x^2-2| \ge |-9x+8|\) (trừ trường hợp \(x^2-2 = 0\)).

Hãy tập trung vào điều kiện: \(x^2-2\) chia hết \(-9x+8\).
Nếu \(x\) rất lớn, \(x^2\) sẽ lớn hơn nhiều so với \(-9x\).
Chúng ta cần \(-9x+8\) là ước của \(x^2-2\).
Điều này có nghĩa là \(-9x+8\) phải là một số cố định, hoặc \(x\) có giá trị giới hạn.

Xét trường hợp \(x^2-2 = 0\).
\(x^2 = 2\), \(x = \pm \sqrt{2}\), không phải số nguyên.
Vậy \(x^2-2 \neq 0\).

Xét trường hợp \(-9x+8 = 0\).
\(x = 8/9\), không phải số nguyên.
Vậy \(-9x+8 \neq 0\).

Từ \(x^2-2\) chia hết \(-9x+8\), ta suy ra \(-9x+8\) chia hết \(81(x^2-2) = 81x^2 – 162\).
Và \(-9x+8\) cũng chia hết \((-9x)(-9x+8) = 81x^2 – 72x\).

Vậy, \(-9x+8\) chia hết hiệu: \((81x^2 – 72x) – (81x^2 – 162) = -72x + 162\).
(Xin lỗi, tôi đã làm sai ở bước trước).

Chúng ta có: \(-9x+8\) chia hết \(-72x + 162\).

Bây giờ, chúng ta có hai biểu thức bậc nhất mà \(-9x+8\) chia hết:

Vậy, \(-9x+8\) phải là một ước của 98.

Các ước của 98 là: \(\pm 1, \pm 2, \pm 7, \pm 14, \pm 49, \pm 98\).
Chúng ta lập bảng để tìm \(x\):

Trường hợp 1: \(-9x+8 = 1 \implies -9x = -7 \implies x = 7/9\) (loại)

Trường hợp 2: \(-9x+8 = -1 \implies -9x = -9 \implies x = 1\) (nhận)

Trường hợp 3: \(-9x+8 = 2 \implies -9x = -6 \implies x = 6/9 = 2/3\) (loại)

Trường hợp 4: \(-9x+8 = -2 \implies -9x = -10 \implies x = 10/9\) (loại)

Trường hợp 5: \(-9x+8 = 7 \implies -9x = -1 \implies x = 1/9\) (loại)

Trường hợp 6: \(-9x+8 = -7 \implies -9x = -15 \implies x = 15/9 = 5/3\) (loại)

Trường hợp 7: \(-9x+8 = 14 \implies -9x = 6 \implies x = -6/9 = -2/3\) (loại)

Trường hợp 8: \(-9x+8 = -14 \implies -9x = -22 \implies x = 22/9\) (loại)

Trường hợp 9: \(-9x+8 = 49 \implies -9x = 41 \implies x = -41/9\) (loại)

Trường hợp 10: \(-9x+8 = -49 \implies -9x = -57 \implies x = 57/9 = 19/3\) (loại)

Trường hợp 11: \(-9x+8 = 98 \implies -9x = 90 \implies x = -10\) (nhận)

Trường hợp 12: \(-9x+8 = -98 \implies -9x = -106 \implies x = 106/9\) (loại)

Vậy, có hai giá trị nguyên của \(x\) là \(1\) và \(-10\).

Bây giờ, chúng ta cần kiểm tra lại hai giá trị này.

Kiểm tra với \(x=1\):
\((4x-9)/(x^2-2) = (4(1)-9)/(1^2-2) = (4-9)/(1-2) = -5/-1 = 5\).
5 là số nguyên. Vậy \(x=1\) thỏa mãn.

Kiểm tra với \(x=-10\):
\((4x-9)/(x^2-2) = (4(-10)-9)/((-10)^2-2) = (-40-9)/(100-2) = -49/98 = -1/2\).
-1/2 không phải là số nguyên. Vậy \(x=-10\) bị loại.

Có vẻ như tôi đã mắc sai lầm ở đâu đó. Chúng ta cần xem xét lại.

Chúng ta có điều kiện: \(x^2-2\) chia hết \(-9x+8\).

Khi \(|x|\) đủ lớn, \(|x^2-2|\) sẽ lớn hơn \(|-9x+8|\). Để \(-9x+8\) chia hết \(x^2-2\), thì \(x^2-2\) phải bằng 0 hoặc \(|x^2-2| \ge |-9x+8|\).

Hãy xét \(|x^2-2| \ge |-9x+8|\).

Nếu \(x\) dương lớn, \(x^2-2 \ge 9x-8 \implies x^2-9x+6 \ge 0\). Nghiệm của \(x^2-9x+6=0\) là \(x = (9 \pm \sqrt{81-24})/2 = (9 \pm \sqrt{57})/2\). Khoảng \( (9 + \sqrt{57})/2 \approx (9+7.5)/2 \approx 8.25\).

Nếu \(x\) âm lớn, \(x^2-2 \ge -(-9x+8) = 9x-8 \implies x^2-9x+6 \ge 0\). Vẫn như trên.

Tuy nhiên, chúng ta đã suy luận rằng \(-9x+8\) phải là ước của 98. Điều này có nghĩa là \(-9x+8\) là một hằng số.
Và \(x^2-2\) phải chia hết cho hằng số đó.

Tôi xin lỗi, tôi đã mắc một sai lầm trong bước kiểm tra \(x=-10\).

Hãy quay lại với \(x=1\) và \(x=-10\).

Kiểm tra với \(x=1\):
\((4x-9)/(x^2-2) = (4(1)-9)/(1^2-2) = (4-9)/(1-2) = -5/-1 = 5\).
5 là số nguyên. Vậy \(x=1\) thỏa mãn.

Kiểm tra với \(x=-10\):
\((4x-9)/(x^2-2) = (4(-10)-9)/((-10)^2-2) = (-40-9)/(100-2) = -49/98 = -1/2\).
Kết quả này là sai. Có lẽ \(-9x+8\) không nhất thiết phải là ước của 98.

Chúng ta cần xem xét lại bước \(-9x+8\) chia hết \(72x – 162\).

Điều này đúng. Và nếu \(-9x+8 \neq 0\), thì ta có thể chia hai vế cho \(-9x+8\).
\(72x – 162 = q(-9x+8)\) với \(q\) là số nguyên.

Chúng ta đã biến đổi \(72x – 162 = -8(-9x+8) – 98\).
Vậy \( -8(-9x+8) – 98 = q(-9x+8) \).
\(-98 = (q+8)(-9x+8)\).

Điều này có nghĩa là \(-9x+8\) phải là ước của 98. Tôi không sai ở bước này.

Vậy, sai sót nằm ở đâu? Có lẽ là ở phép tính khi kiểm tra \(x=-10\).
\((4(-10)-9)/((-10)^2-2) = (-40-9)/(100-2) = -49/98\). Đúng.
Và \(-49/98 = -1/2\). Đúng.

Vậy, \(x=-10\) không làm cho \((4x-9)/(x^2-2)\) là số nguyên.
Điều này có nghĩa là \(-9x+8\) không chia hết \(x^2-2\) khi \(x=-10\).

Hãy kiểm tra lại \(-9x+8\) là ước của 98.

Nếu \(-9x+8\) chia hết \(x^2-2\), và \(-9x+8\) chia hết \(72x-162\).
Thì \(-9x+8\) chia hết \(98\). Điều này là đúng.

Có thể có những giá trị \(x\) mà \(x^2-2=0\) hoặc \(-9x+8=0\)? Chúng ta đã loại rồi.

Hãy xét các giá trị của \(x\) mà \(-9x+8\) là ước của 98:

Trường hợp 1: \(-9x+8 = 1 \implies x=7/9\) (loại)

Trường hợp 2: \(-9x+8 = -1 \implies x=1\). Kiểm tra: \((4-9)/(1-2) = -5/-1 = 5\). (Nhận)

Trường hợp 3: \(-9x+8 = 2 \implies x=2/3\) (loại)

Trường hợp 4: \(-9x+8 = -2 \implies x=10/9\) (loại)

Trường hợp 5: \(-9x+8 = 7 \implies x=1/9\) (loại)

Trường hợp 6: \(-9x+8 = -7 \implies x=5/3\) (loại)

Trường hợp 7: \(-9x+8 = 14 \implies x=-2/3\) (loại)

Trường hợp 8: \(-9x+8 = -14 \implies x=22/9\) (loại)

Trường hợp 9: \(-9x+8 = 49 \implies x=-41/9\) (loại)

Trường hợp 10: \(-9x+8 = -49 \implies x=19/3\) (loại)

Trường hợp 11: \(-9x+8 = 98 \implies x=-10\). Kiểm tra: \((4(-10)-9)/((-10)^2-2) = -49/98 = -1/2\). (Loại)

Trường hợp 12: \(-9x+8 = -98 \implies x=106/9\) (loại)

Có một sai sót trong lập luận của tôi hoặc trong quá trình tính toán.
Chúng ta cần đảm bảo rằng \(x\) là số nguyên.

Từ \(-9x+8\) là ước của 98, ta có \(x\) là số nguyên chỉ khi \(-9x+8\) cho ra \(x\) nguyên.

Các giá trị \(-9x+8\) là: \(\pm 1, \pm 2, \pm 7, \pm 14, \pm 49, \pm 98\).

Để \(-9x+8\) là một số nguyên, \(x\) phải là số nguyên.
Ta cần tìm \(x\) nguyên sao cho \(-9x+8\) nằm trong tập các ước của 98.

Ta có \(-9x = \text{ước} – 8\).
\(\implies 9x = 8 – \text{ước}\).

Ta cần \(8 – \text{ước}\) chia hết cho 9.

Xét các ước của 98:

Ước = 1: \(8-1 = 7\) (không chia hết cho 9)

Ước = -1: \(8-(-1) = 9\). \(9x = 9 \implies x=1\). (Kiểm tra: \((4(1)-9)/(1^2-2) = -5/-1 = 5\). Nhận)

Ước = 2: \(8-2 = 6\) (không chia hết cho 9)

Ước = -2: \(8-(-2) = 10\) (không chia hết cho 9)

Ước = 7: \(8-7 = 1\) (không chia hết cho 9)

Ước = -7: \(8-(-7) = 15\) (không chia hết cho 9)

Ước = 14: \(8-14 = -6\) (không chia hết cho 9)

Ước = -14: \(8-(-14) = 22\) (không chia hết cho 9)

Ước = 49: \(8-49 = -41\) (không chia hết cho 9)

Ước = -49: \(8-(-49) = 57\) (không chia hết cho 9)

Ước = 98: \(8-98 = -90\). \(9x = -90 \implies x=-10\). (Kiểm tra: \((4(-10)-9)/((-10)^2-2) = -49/98 = -1/2\). Loại)

Ước = -98: \(8-(-98) = 106\) (không chia hết cho 9)

Vậy, chỉ có \(x=1\) là số nguyên thỏa mãn.

Chúng ta đã gặp khó khăn ở chỗ nào?

Có thể có trường hợp \(x^2-2\) chia hết \(4x-9\), nhưng \(-9x+8\) không chia hết \(x^2-2\)?
Không, nếu \(A\) chia hết \(B\), thì mọi biến đổi hợp lệ của \(B\) (nhân với hằng số, cộng trừ bội của chính nó) vẫn sẽ chia hết \(A\).

Chúng ta cần xem lại bước này:

\((4x-9)/(x^2-2) = k \in \mathbb{Z}\)

\(4x-9 = k(x^2-2)\)

Hãy xét lại \(x=1\). \((4-9)/(1-2) = -5/-1 = 5\). Tốt.

Hãy xem xét \(x=2\). \((4(2)-9)/(2^2-2) = (8-9)/(4-2) = -1/2\). (Không nguyên)

Hãy xem xét \(x=-1\). \((4(-1)-9)/((-1)^2-2) = (-4-9)/(1-2) = -13/-1 = 13\). (Nhận)

Vậy \(x=-1\) cũng là một nghiệm. Tại sao lại bị bỏ sót?

Kiểm tra lại \(-9x+8\) là ước của 98.

Với \(x=-1\), ta có \(-9(-1)+8 = 9+8 = 17\).
17 không phải là ước của 98. Vậy \(x=-1\) không xuất hiện từ cách làm này.

Điều này cho thấy lập luận \(-9x+8\) phải là ước của 98 có thể không đầy đủ hoặc có sai sót.

Hãy quay lại \(x^2-2\) chia hết \(-9x+8\).

Nếu \(x=1\), \(x^2-2 = -1\), \(-9x+8 = -1\). \(-1\) chia hết \(-1\). Đúng.

Nếu \(x=-1\), \(x^2-2 = -1\), \(-9x+8 = 17\). \(-1\) chia hết \(17\). Sai.

Vậy \(x=-1\) là một nghiệm, nhưng \(-9x+8\) không chia hết \(x^2-2\) trong trường hợp này. Điều này mâu thuẫn.

Lập luận “Nếu \(a\) chia hết \(b\), thì \(a\) chia hết \(c \cdot b\)” là đúng.
Và “Nếu \(a\) chia hết \(b\) và \(a\) chia hết \(c\), thì \(a\) chia hết \(b-c\)” cũng đúng.

Chúng ta cần xem lại các bước biến đổi.

1. \(x^2-2 \mid 4x-9\).

2. \(x^2-2 \mid x(4x-9) = 4x^2-9x\).

3. \(x^2-2 \mid 4(x^2-2) = 4x^2-8\).

4. \(x^2-2 \mid (4x^2-9x) – (4x^2-8) = -9x+8\).

Bước này là đúng.

5. \(-9x+8 \mid x^2-2\).

6. \(-9x+8 \mid 81(x^2-2) = 81x^2-162\).

7. \(-9x+8 \mid (-9x)( -9x+8) = 81x^2-72x\).

8. \(-9x+8 \mid (81x^2-72x) – (81x^2-162) = -72x+162\).

Bước này là đúng.

9. \(-9x+8 \mid -72x+162\).

10. \(-9x+8 \mid 8(-9x+8) = -72x+64\).

11. \(-9x+8 \mid (-72x+162) – (-72x+64) = 98\).

Bước này là đúng.

Vậy, \(-9x+8\) phải là ước của 98.

Và \(x\) phải là số nguyên.

Ta cần tìm \(x \in \mathbb{Z}\) sao cho \(-9x+8\) là ước của 98.

\(-9x+8 \in \{ \pm 1, \pm 2, \pm 7, \pm 14, \pm 49, \pm 98 \}\).

Ta đã xét \(9x = 8 – \text{ước}\), và chỉ có \(x=1\) (khi ước là -1) và \(x=-10\) (khi ước là 98) cho \(x\) nguyên.

Kiểm tra lại \(x=-1\).
\((4(-1)-9)/((-1)^2-2) = (-4-9)/(1-2) = -13/-1 = 13\).
13 là số nguyên. Vậy \(x=-1\) là một nghiệm.

Tại sao \(x=-1\) không xuất hiện trong danh sách các giá trị \(-9x+8\) là ước của 98?

Khi \(x=-1\), \(-9x+8 = 17\).
Và \(x^2-2 = -1\).
Ta có \(-9x+8 = 17\) và \(x^2-2 = -1\).
Có \(-1\) chia hết \(17\)? Không.

Vấn đề là ở đâu?
Ta có \(x^2-2 \mid -9x+8\).
Nếu \(x=-1\), \(-1 \mid 17\). Điều này sai.

Vậy, \(x=-1\) không thỏa mãn \(x^2-2 \mid -9x+8\).

Nhưng \((4x-9)/(x^2-2)\) là số nguyên khi \(x=-1\).

Ta quay lại bước ban đầu: \((4x-9)/(x^2-2)\) là số nguyên.

Xét các giá trị nhỏ của \(x\):

\(x=0\): \(-9/-2\) (không nguyên)

\(x=1\): \((4-9)/(1-2) = -5/-1 = 5\) (nguyên)

\(x=-1\): \((-4-9)/(1-2) = -13/-1 = 13\) (nguyên)

\(x=2\): \((8-9)/(4-2) = -1/2\) (không nguyên)

\(x=-2\): \((-8-9)/(4-2) = -17/2\) (không nguyên)

\(x=3\): \((12-9)/(9-2) = 3/7\) (không nguyên)

\(x=-3\): \((-12-9)/(9-2) = -21/7 = -3\) (nguyên)

Vậy chúng ta có các nghiệm nguyên là \(1, -1, -3\).

Tại sao các nghiệm \(x=-1\) và \(x=-3\) lại không xuất hiện từ việc \(-9x+8\) là ước của 98?

Kiểm tra lại \(x=-3\).
\(-9x+8 = -9(-3)+8 = 27+8 = 35\).
35 không phải là ước của 98.

Có một sai sót nghiêm trọng trong lập luận.

Chúng ta cần xem xét trường hợp khi \(-9x+8\) và \(x^2-2\) cùng chia hết nhau, hoặc một trong hai bằng 0.

Nếu \(x^2-2 = 0\), \(x = \pm \sqrt{2}\) (loại).

Nếu \(-9x+8 = 0\), \(x = 8/9\) (loại).

Trở lại vấn đề: \(x^2-2 \mid 4x-9\).
Điều này có nghĩa là \(x^2-2\) là một ước của \(4x-9\).

Nếu \(|x|\) lớn, \(|x^2-2|\) sẽ lớn hơn \(|4x-9|\).
Để \(x^2-2\) là ước của \(4x-9\), thì \(|x^2-2| \le |4x-9|\) (trừ trường hợp \(4x-9=0\)).

Xét \(x^2-2 = 4x-9 \implies x^2-4x+7 = 0\). Delta \( = 16 – 28 < 0\). Vô nghiệm.

Xét \(x^2-2 = -(4x-9) = -4x+9 \implies x^2+4x-11 = 0\). Nghiệm \(x = (-4 \pm \sqrt{16+44})/2 = (-4 \pm \sqrt{60})/2 = -2 \pm \sqrt{15}\). (Không nguyên).

Chúng ta cần xem xét khi \(|x^2-2| \le |4x-9|\).

Trường hợp 1: \(x^2-2 \le 4x-9 \implies x^2-4x+7 \le 0\). Vô nghiệm như trên.

Trường hợp 2: \(x^2-2 \le -(4x-9) = -4x+9 \implies x^2+4x-11 \le 0\). Nghiệm là \(-2-\sqrt{15} \le x \le -2+\sqrt{15}\). Khoảng \(-5.87 \le x \le 1.87\).

Vậy, các số nguyên \(x\) nằm trong khoảng này là: \(-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1\).
Chúng ta cần kiểm tra các giá trị này.

Kiểm tra \(x=-5\): \((4(-5)-9)/((-5)^2-2) = (-20-9)/(25-2) = -29/23\) (không nguyên)

Kiểm tra \(x=-4\): \((4(-4)-9)/((-4)^2-2) = (-16-9)/(16-2) = -25/14\) (không nguyên)

Kiểm tra \(x=-3\): \((4(-3)-9)/((-3)^2-2) = (-12-9)/(9-2) = -21/7 = -3\) (nguyên)

Kiểm tra \(x=-2\): \((4(-2)-9)/((-2)^2-2) = (-8-9)/(4-2) = -17/2\) (không nguyên)

Kiểm tra \(x=-1\): \((4(-1)-9)/((-1)^2-2) = (-4-9)/(1-2) = -13/-1 = 13\) (nguyên)

Kiểm tra \(x=0\): \((4(0)-9)/(0^2-2) = -9/-2\) (không nguyên)

Kiểm tra \(x=1\): \((4(1)-9)/(1^2-2) = (4-9)/(1-2) = -5/-1 = 5\) (nguyên)

Vậy, các giá trị nguyên của \(x\) là \(-3, -1, 1\).

Lời giải chi tiết

Gọi \(k = \frac{4x-9}{x^2-2}\). Để \(k\) là số nguyên, \(x^2-2\) phải là ước của \(4x-9\).

Nếu \(4x-9 = 0\), thì \(x = 9/4\), không phải số nguyên.

Nếu \(x^2-2 = 0\), thì \(x = \pm \sqrt{2}\), không phải số nguyên.

Do đó, \(4x-9 \neq 0\) và \(x^2-2 \neq 0\).

Nếu \(x^2-2\) là ước của \(4x-9\), thì \(|x^2-2| \le |4x-9|\) khi \(4x-9 \neq 0\).

Xét bất đẳng thức \(|x^2-2| \le |4x-9|\).

Trường hợp 1: \(x^2-2 \le 4x-9 \implies x^2-4x+7 \le 0\). Phương trình \(x^2-4x+7=0\) có biệt thức \(\Delta = (-4)^2 – 4(1)(7) = 16 – 28 = -12 < 0\). Do hệ số của \(x^2\) dương, \(x^2-4x+7\) luôn dương. Do đó, \(x^2-4x+7 \le 0\) vô nghiệm.

Trường hợp 2: \(x^2-2 \le -(4x-9) = -4x+9 \implies x^2+4x-11 \le 0\).
Xét phương trình \(x^2+4x-11 = 0\). Nghiệm là \(x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 – 4(1)(-11)}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{16+44}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{60}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{15}}{2} = -2 \pm \sqrt{15}\).

Do đó, \(x^2+4x-11 \le 0\) khi \(-2-\sqrt{15} \le x \le -2+\sqrt{15}\).

Ta có \(\sqrt{15}\) xấp xỉ 3.87.
Vậy, \(-2-3.87 \le x \le -2+3.87\), tức là \(-5.87 \le x \le 1.87\).

Vì \(x\) là số nguyên, các giá trị có thể của \(x\) là: \(-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1\).

Bây giờ, chúng ta kiểm tra từng giá trị nguyên này:

Nếu \(x = -5\): \(\frac{4(-5)-9}{(-5)^2-2} = \frac{-20-9}{25-2} = \frac{-29}{23}\) (Không nguyên)

Nếu \(x = -4\): \(\frac{4(-4)-9}{(-4)^2-2} = \frac{-16-9}{16-2} = \frac{-25}{14}\) (Không nguyên)

Nếu \(x = -3\): \(\frac{4(-3)-9}{(-3)^2-2} = \frac{-12-9}{9-2} = \frac{-21}{7} = -3\) (Nguyên)

Nếu \(x = -2\): \(\frac{4(-2)-9}{(-2)^2-2} = \frac{-8-9}{4-2} = \frac{-17}{2}\) (Không nguyên)

Nếu \(x = -1\): \(\frac{4(-1)-9}{(-1)^2-2} = \frac{-4-9}{1-2} = \frac{-13}{-1} = 13\) (Nguyên)

Nếu \(x = 0\): \(\frac{4(0)-9}{0^2-2} = \frac{-9}{-2}\) (Không nguyên)

Nếu \(x = 1\): \(\frac{4(1)-9}{1^2-2} = \frac{4-9}{1-2} = \frac{-5}{-1} = 5\) (Nguyên)

Vậy, các giá trị nguyên của \(x\) sao cho \((4x-9)/(x^2-2)\) cũng là số nguyên là \(-3, -1, 1\).

Các em thấy không, đôi khi chúng ta cần kết hợp nhiều phương pháp và kiểm tra cẩn thận các trường hợp. Bài toán này đã cho chúng ta một bài học quý giá về cách tiếp cận các bài toán về số nguyên.