Chào các em học sinh lớp 7 thân mến!

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán tìm x, y, z khá thú vị. Bài toán này đòi hỏi chúng ta phải vận dụng kiến thức về tỉ lệ thức và phương trình bậc hai.

Đề bài:

Tìm x, y, z biết:

\(\frac{3x}{8} = \frac{3y}{64} = \frac{3z}{240}\)

và

\(2x^2 + 2y^2 – z^2 = 1\)

Chúng ta cùng bắt tay vào giải nhé!

Bài giải:

Bước 1: Rút gọn và đặt tỉ lệ chung từ phương trình tỉ lệ thức.

Từ phương trình tỉ lệ thức đã cho:

\(\frac{3x}{8} = \frac{3y}{64} = \frac{3z}{240}\)

Để đơn giản hóa, chúng ta có thể chia tất cả các tử số cho 3. Điều này tương đương với việc chia mỗi phân số cho 3:

\(\frac{3x}{8} : 3 = \frac{3y}{64} : 3 = \frac{3z}{240} : 3\)

Hay chính là:

\(\frac{x}{8} = \frac{y}{64} = \frac{z}{240}\)

Bây giờ, chúng ta sẽ đặt giá trị chung của các tỉ số này là một hằng số \(k\). Khi đó, ta có:

\(\frac{x}{8} = k \implies x = 8k\)

\(\frac{y}{64} = k \implies y = 64k\)

\(\frac{z}{240} = k \implies z = 240k\)

Bước 2: Thay thế các giá trị x, y, z theo k vào phương trình thứ hai.

Phương trình thứ hai của đề bài là:

\(2x^2 + 2y^2 – z^2 = 1\)

Bây giờ, chúng ta sẽ thay các biểu thức \(x = 8k\), \(y = 64k\), và \(z = 240k\) vào phương trình này:

\(2(8k)^2 + 2(64k)^2 – (240k)^2 = 1\)

Tiếp theo, chúng ta sẽ tính bình phương của từng biểu thức:

\(8^2 = 64\)

\(64^2 = 4096\)

\(240^2 = 57600\)

Thay các giá trị này vào phương trình:

\(2(64k^2) + 2(4096k^2) – (57600k^2) = 1\)

Thực hiện các phép nhân:

\(128k^2 + 8192k^2 – 57600k^2 = 1\)

Bước 3: Giải phương trình để tìm giá trị của k.

Chúng ta sẽ gom các hệ số của \(k^2\) lại với nhau:

\((128 + 8192 – 57600)k^2 = 1\)

Thực hiện phép cộng và trừ trong ngoặc:

\((8320 – 57600)k^2 = 1\)

\(-49280k^2 = 1\)

Từ đây, để tìm \(k^2\), chúng ta chia cả hai vế cho \(-49280\):

\(k^2 = \frac{1}{-49280}\)

\(k^2 = -\frac{1}{49280}\)

Kết luận:

Chúng ta đã tìm được rằng \(k^2 = -\frac{1}{49280}\). Tuy nhiên, theo kiến thức Toán học, bình phương của bất kỳ số thực nào (kể cả số 0) luôn là một số không âm (lớn hơn hoặc bằng 0).

Vì \(k^2\) không thể là một số âm trong tập hợp số thực, điều này có nghĩa là không có giá trị thực nào của \(k\) thỏa mãn phương trình này.

Do đó, không có giá trị thực nào của x, y, z thỏa mãn cả hai phương trình đã cho trong đề bài.

Lời nhắn từ giáo viên:

Các em nhớ nhé, đôi khi bài toán có thể không có lời giải trong tập hợp số thực. Việc kiểm tra điều kiện của các biến (như bình phương của một số không thể là số âm) là rất quan trọng trong quá trình giải toán. Hãy luôn cẩn thận với các phép tính và lý luận của mình nhé!

Chúc các em học tốt!