Bài toán: Tìm x, biết \(x^{ 2 } = 111^{ 2 } + 222^{ 2 } + 333^{ 2 } + 555^{ 2 } + 777^{ 2 } + 999^{ 2 }\).

Lời giải:

Để giải bài toán này, chúng ta cần tính giá trị của vế phải trước, sau đó tìm x. Quan sát các số hạng trong vế phải, các em có nhận thấy một điểm chung nào không?

Đúng rồi! Tất cả các số 111, 222, 333, 555, 777, 999 đều có thể viết dưới dạng tích của 111 với một số nguyên.

Chúng ta sẽ biến đổi từng số hạng như sau:

• \(222 = 2 \times 111\)
• \(333 = 3 \times 111\)
• \(555 = 5 \times 111\)
• \(777 = 7 \times 111\)
• \(999 = 9 \times 111\)

Bây giờ, chúng ta sẽ thay thế vào biểu thức ban đầu:

\(x^{ 2 } = 111^{ 2 } + (2 \times 111)^{ 2 } + (3 \times 111)^{ 2 } + (5 \times 111)^{ 2 } + (7 \times 111)^{ 2 } + (9 \times 111)^{ 2 }\)

Áp dụng quy tắc lũy thừa của một tích \((a \times b)^n = a^n \times b^n\), ta có:

\(x^{ 2 } = 111^{ 2 } + 2^{ 2 } \times 111^{ 2 } + 3^{ 2 } \times 111^{ 2 } + 5^{ 2 } \times 111^{ 2 } + 7^{ 2 } \times 111^{ 2 } + 9^{ 2 } \times 111^{ 2 }\)

Bây giờ, chúng ta có thể đặt thừa số chung \(111^{ 2 }\) ra ngoài:

\(x^{ 2 } = 111^{ 2 } \times (1 + 2^{ 2 } + 3^{ 2 } + 5^{ 2 } + 7^{ 2 } + 9^{ 2 })\)

Tiếp theo, chúng ta sẽ tính giá trị của các bình phương bên trong ngoặc:

• \(2^{ 2 } = 4\)
• \(3^{ 2 } = 9\)
• \(5^{ 2 } = 25\)
• \(7^{ 2 } = 49\)
• \(9^{ 2 } = 81\)

Thay vào biểu thức:

\(x^{ 2 } = 111^{ 2 } \times (1 + 4 + 9 + 25 + 49 + 81)\)

Tính tổng trong ngoặc:

\(1 + 4 + 9 + 25 + 49 + 81 = 169\)

Vậy, ta có:

\(x^{ 2 } = 111^{ 2 } \times 169\)

Bây giờ, chúng ta cần tìm giá trị của 169 dưới dạng bình phương của một số. Các em có biết số nào bình phương lên bằng 169 không?

Đúng vậy! \(13^{ 2 } = 169\).

Thay vào biểu thức:

\(x^{ 2 } = 111^{ 2 } \times 13^{ 2 }\)

Áp dụng quy tắc lũy thừa của một tích ngược lại \((a \times b)^n = a^n \times b^n\), ta có:

\(x^{ 2 } = (111 \times 13)^{ 2 }\)

Cuối cùng, để tìm x, chúng ta sẽ lấy căn bậc hai của cả hai vế. Vì x là một đại lượng trong bài toán, chúng ta thường xét cả giá trị dương và âm.

\(x = \pm (111 \times 13)\)

Thực hiện phép nhân:

\(111 \times 13 = 1443\)

Vậy, giá trị của x là:

\(x = \pm 1443\)

Kết luận: Vậy, x có hai giá trị là 1443 và -1443.

Các em thấy không, bài toán này trở nên đơn giản hơn rất nhiều khi chúng ta biết cách phân tích và đặt thừa số chung. Hãy cố gắng quan sát và tìm ra những điểm chung trong các bài toán nhé!