Chào các em học sinh lớp 8 thân mến!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải các bài toán tìm x dưới dạng phương trình bậc hai. Đây là một dạng toán rất quan trọng và thường gặp trong chương trình Toán lớp 8 và các lớp sau này. Chúng ta sẽ cùng nhau ôn lại phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để giải quyết các phương trình này nhé.

Bài 1: Tìm x biết:

\(x^2 – x – 20 = 0\)

Lời giải:

Để giải phương trình bậc hai \(x^2 – x – 20 = 0\), chúng ta sẽ tìm cách phân tích vế trái thành nhân tử. Phương pháp chúng ta thường dùng là “tách hạng tử giữa”.

Chúng ta cần tìm hai số có tích bằng \(-20\) (hệ số tự do) và tổng bằng \(-1\) (hệ số của x).

Sau khi suy nghĩ, chúng ta nhận thấy hai số đó là \(-5\) và \(4\) vì:
\((-5) \times 4 = -20\)
\((-5) + 4 = -1\)

Vậy, ta sẽ tách hạng tử \(-x\) thành \(-5x + 4x\).
\(x^2 – 5x + 4x – 20 = 0\)

Tiếp theo, ta nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung:

\((x^2 – 5x) + (4x – 20) = 0\)
\(x(x – 5) + 4(x – 5) = 0\)

Bây giờ, ta thấy \((x – 5)\) là nhân tử chung, ta đặt \((x – 5)\) ra ngoài:

\((x – 5)(x + 4) = 0\)

Để tích của hai thừa số bằng 0, thì ít nhất một trong hai thừa số đó phải bằng 0. Chúng ta xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: \(x – 5 = 0\)
\(x = 5\)

Trường hợp 2: \(x + 4 = 0\)
\(x = -4\)

Vậy, tập nghiệm của phương trình là \(S = \{5; -4\}\).

Bài 2: Tìm x biết:

\(3x^2 + x – 2 = 0\)

Lời giải:

Với phương trình \(3x^2 + x – 2 = 0\), chúng ta cũng sẽ sử dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách tách hạng tử giữa.

Lần này, chúng ta cần tìm hai số có tích bằng \(3 \times (-2) = -6\) (tích của hệ số của \(x^2\) và hệ số tự do) và tổng bằng \(1\) (hệ số của x).

Hai số đó là \(3\) và \(-2\) vì:
\(3 \times (-2) = -6\)
\(3 + (-2) = 1\)

Vậy, ta sẽ tách hạng tử \(x\) thành \(3x – 2x\).
\(3x^2 + 3x – 2x – 2 = 0\)

Tiếp theo, ta nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung:

\((3x^2 + 3x) – (2x + 2) = 0\)
\(3x(x + 1) – 2(x + 1) = 0\)

Bây giờ, ta thấy \((x + 1)\) là nhân tử chung, ta đặt \((x + 1)\) ra ngoài:

\((x + 1)(3x – 2) = 0\)

Để tích của hai thừa số bằng 0, chúng ta xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: \(x + 1 = 0\)
\(x = -1\)

Trường hợp 2: \(3x – 2 = 0\)
\(3x = 2\)
\(x = \frac{2}{3}\)

Vậy, tập nghiệm của phương trình là \(S = \{-1; \frac{2}{3}\}\).

Bài 3: Tìm x biết:

\(6x^2 + 7x – 3 = 0\)

Lời giải:

Đối với phương trình \(6x^2 + 7x – 3 = 0\), chúng ta cũng sẽ phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách tách hạng tử giữa.

Ta cần tìm hai số có tích bằng \(6 \times (-3) = -18\) và tổng bằng \(7\) (hệ số của x).

Hai số đó là \(9\) và \(-2\) vì:
\(9 \times (-2) = -18\)
\(9 + (-2) = 7\)

Vậy, ta sẽ tách hạng tử \(7x\) thành \(9x – 2x\).
\(6x^2 + 9x – 2x – 3 = 0\)

Tiếp theo, ta nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung:

\((6x^2 + 9x) – (2x + 3) = 0\)
\(3x(2x + 3) – 1(2x + 3) = 0\)

Bây giờ, ta thấy \((2x + 3)\) là nhân tử chung, ta đặt \((2x + 3)\) ra ngoài:

\((2x + 3)(3x – 1) = 0\)

Để tích của hai thừa số bằng 0, chúng ta xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: \(2x + 3 = 0\)
\(2x = -3\)
\(x = -\frac{3}{2}\)

Trường hợp 2: \(3x – 1 = 0\)
\(3x = 1\)
\(x = \frac{1}{3}\)

Vậy, tập nghiệm của phương trình là \(S = \{-\frac{3}{2}; \frac{1}{3}\}\).

Lời kết:

Qua ba bài tập trên, các em đã được ôn tập lại phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để giải phương trình bậc hai. Đây là một kỹ năng rất quan trọng. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập tương tự để nắm vững kiến thức này nhé!

Chúc các em học tốt!