Chào các em học sinh lớp 8! Hôm nay, thầy sẽ cùng các em giải một bài toán rất thú vị về hệ phương trình chứa ẩn x và y. Bài toán này giúp chúng ta ôn lại kiến thức về hằng đẳng thức đáng nhớ.

Chúng ta có hệ phương trình sau:

\(x^2 + 2xy + y^2 = 25\) (1)

\(x^2 – 2xy + y^2 = 16\) (2)

Bây giờ, chúng ta sẽ cùng nhau phân tích từng phương trình nhé.

Nhìn vào phương trình (1): \(x^2 + 2xy + y^2 = 25\). Các em có nhận ra đây là hằng đẳng thức nào không nhỉ?

Đúng rồi! Đây chính là hằng đẳng thức bình phương của một tổng: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).

Áp dụng vào phương trình (1), ta có: \((x + y)^2 = 25\).

Từ đây, ta suy ra: \(x + y = 7\) hoặc \(x + y = -7\).

Tiếp theo, chúng ta xét phương trình (2): \(x^2 – 2xy + y^2 = 16\). Các em thử nhớ lại xem, đây lại là hằng đẳng thức nào?

Chính xác! Đây là hằng đẳng thức bình phương của một hiệu: \((a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\).

Áp dụng vào phương trình (2), ta có: \((x – y)^2 = 16\).

Từ đây, ta suy ra: \(x – y = 4\) hoặc \(x – y = -4\).

Bây giờ, chúng ta sẽ kết hợp các trường hợp có thể xảy ra để tìm ra các cặp (x, y) thỏa mãn.

Trường hợp 1:

Ta có hệ phương trình:

\(x + y = 7\) (3)

\(x – y = 4\) (4)

Cộng hai phương trình (3) và (4) theo vế, ta được:

\((x + y) + (x – y) = 7 + 4\)

\(2x = 11\)

\(x = \frac{11}{2}\)

Thay \(x = \frac{11}{2}\) vào phương trình (3), ta có:

\(\frac{11}{2} + y = 7\)

\(y = 7 – \frac{11}{2} = \frac{14 – 11}{2} = \frac{3}{2}\)

Vậy, ta có cặp nghiệm đầu tiên là \((x, y) = (\frac{11}{2}, \frac{3}{2})\).

Trường hợp 2:

Ta có hệ phương trình:

\(x + y = 7\) (5)

\(x – y = -4\) (6)

Cộng hai phương trình (5) và (6) theo vế, ta được:

\((x + y) + (x – y) = 7 + (-4)\)

\(2x = 3\)

\(x = \frac{3}{2}\)

Thay \(x = \frac{3}{2}\) vào phương trình (5), ta có:

\(\frac{3}{2} + y = 7\)

\(y = 7 – \frac{3}{2} = \frac{14 – 3}{2} = \frac{11}{2}\)

Vậy, ta có cặp nghiệm thứ hai là \((x, y) = (\frac{3}{2}, \frac{11}{2})\).

Trường hợp 3:

Ta có hệ phương trình:

\(x + y = -7\) (7)

\(x – y = 4\) (8)

Cộng hai phương trình (7) và (8) theo vế, ta được:

\((x + y) + (x – y) = -7 + 4\)

\(2x = -3\)

\(x = -\frac{3}{2}\)

Thay \(x = -\frac{3}{2}\) vào phương trình (7), ta có:

\(-\frac{3}{2} + y = -7\)

\(y = -7 + \frac{3}{2} = \frac{-14 + 3}{2} = -\frac{11}{2}\)

Vậy, ta có cặp nghiệm thứ ba là \((x, y) = (-\frac{3}{2}, -\frac{11}{2})\).

Trường hợp 4:

Ta có hệ phương trình:

\(x + y = -7\) (9)

\(x – y = -4\) (10)

Cộng hai phương trình (9) và (10) theo vế, ta được:

\((x + y) + (x – y) = -7 + (-4)\)

\(2x = -11\)

\(x = -\frac{11}{2}\)

Thay \(x = -\frac{11}{2}\) vào phương trình (9), ta có:

\(-\frac{11}{2} + y = -7\)

\(y = -7 + \frac{11}{2} = \frac{-14 + 11}{2} = -\frac{3}{2}\)

Vậy, ta có cặp nghiệm thứ tư là \((x, y) = (-\frac{11}{2}, -\frac{3}{2})\).

Kết luận: Hệ phương trình đã cho có bốn cặp nghiệm là: \((\frac{11}{2}, \frac{3}{2})\), \((\frac{3}{2}, \frac{11}{2})\), \((-\frac{3}{2}, -\frac{11}{2})\) và \((-\frac{11}{2}, -\frac{3}{2})\).

Nhìn chung, bài toán này khá cơ bản và chủ yếu dựa vào việc nhận diện và áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ. Các em nhớ ôn tập kỹ các hằng đẳng thức này nhé!

Và nếu một ngày không thấy rùa cười thì hãy hiểu lúc đó rùa cười mệt quá :)))))