Chào mừng các em học sinh yêu quý của lớp 6! Hôm nay, cô sẽ cùng các em chinh phục một dạng bài tập thú vị về tìm số tự nhiên. Chúng ta sẽ cùng nhau giải các bài toán sau đây:

Tìm x, y thuộc tập hợp số tự nhiên N biết:

a) \(5x + 2y = 42\)

Trước hết, cô trò chúng ta cần hiểu rõ đề bài. Đề bài yêu cầu tìm các cặp số tự nhiên \(x\) và \(y\) sao cho khi thay chúng vào phương trình \(5x + 2y = 42\), phương trình này trở thành đúng. Số tự nhiên ở đây bao gồm 0, 1, 2, 3,…

Chúng ta sẽ suy luận từng bước một nhé:

Bước 1: Phân tích mối quan hệ giữa các số.

Trong phương trình \(5x + 2y = 42\), chúng ta thấy rằng \(2y\) luôn là một số chẵn, vì nó là tích của 2 với một số tự nhiên \(y\).

Số 42 cũng là một số chẵn.

Vì \(2y\) và 42 đều là số chẵn, nên \(5x\) cũng phải là một số chẵn để tổng \(5x + 2y\) là số chẵn.

Để \(5x\) là số chẵn, thì \(x\) phải là một số chẵn (vì 5 là số lẻ, lẻ nhân chẵn bằng chẵn).

Bước 2: Tìm các giá trị có thể của \(x\).

Vì \(x\) là số tự nhiên và \(5x \le 42\) (do \(2y \ge 0\)), nên \(x\) có thể nhận các giá trị chẵn là: 0, 2, 4, 6, 8.

Chúng ta sẽ lần lượt thử từng giá trị của \(x\) để tìm \(y\).

Trường hợp 1: \(x = 0\)

Thay \(x = 0\) vào phương trình \(5x + 2y = 42\), ta có:

\(5 \cdot 0 + 2y = 42\)

\(0 + 2y = 42\)

\(2y = 42\)

\(y = 42 \div 2\)

\(y = 21\)

Vì \(y = 21\) là số tự nhiên, nên cặp \((x, y) = (0, 21)\) là một nghiệm của bài toán.

Trường hợp 2: \(x = 2\)

Thay \(x = 2\) vào phương trình \(5x + 2y = 42\), ta có:

\(5 \cdot 2 + 2y = 42\)

\(10 + 2y = 42\)

\(2y = 42 – 10\)

\(2y = 32\)

\(y = 32 \div 2\)

\(y = 16\)

Vì \(y = 16\) là số tự nhiên, nên cặp \((x, y) = (2, 16)\) là một nghiệm của bài toán.

Trường hợp 3: \(x = 4\)

Thay \(x = 4\) vào phương trình \(5x + 2y = 42\), ta có:

\(5 \cdot 4 + 2y = 42\)

\(20 + 2y = 42\)

\(2y = 42 – 20\)

\(2y = 22\)

\(y = 22 \div 2\)

\(y = 11\)

Vì \(y = 11\) là số tự nhiên, nên cặp \((x, y) = (4, 11)\) là một nghiệm của bài toán.

Trường hợp 4: \(x = 6\)

Thay \(x = 6\) vào phương trình \(5x + 2y = 42\), ta có:

\(5 \cdot 6 + 2y = 42\)

\(30 + 2y = 42\)

\(2y = 42 – 30\)

\(2y = 12\)

\(y = 12 \div 2\)

\(y = 6\)

Vì \(y = 6\) là số tự nhiên, nên cặp \((x, y) = (6, 6)\) là một nghiệm của bài toán.

Trường hợp 5: \(x = 8\)

Thay \(x = 8\) vào phương trình \(5x + 2y = 42\), ta có:

\(5 \cdot 8 + 2y = 42\)

\(40 + 2y = 42\)

\(2y = 42 – 40\)

\(2y = 2\)

\(y = 2 \div 2\)

\(y = 1\)

Vì \(y = 1\) là số tự nhiên, nên cặp \((x, y) = (8, 1)\) là một nghiệm của bài toán.

Trường hợp 6: \(x = 10\)

Nếu \(x = 10\), thì \(5 \cdot 10 = 50\). Vì \(2y \ge 0\), nên \(5x + 2y \ge 50\), mà \(5x + 2y = 42\). Do đó, \(x\) không thể bằng 10 hoặc lớn hơn.

Kết luận cho câu a: Các cặp số tự nhiên \((x, y)\) thỏa mãn phương trình là: \((0, 21), (2, 16), (4, 11), (6, 6), (8, 1)\).

b) \(3xy + y = 50\)

Chúng ta lại tiếp tục với bài tập thứ hai. Bài này có một chút khác so với bài trước vì có cả tích \(xy\).

Bước 1: Biến đổi phương trình để dễ dàng suy luận.

Chúng ta có thể nhóm \(y\) ra làm nhân tử chung:

\(y(3x + 1) = 50\)

Bước 2: Phân tích các thừa số của 50.

Bây giờ, chúng ta cần tìm các cặp số tự nhiên \(y\) và \((3x + 1)\) sao cho tích của chúng bằng 50. Điều này có nghĩa là \(y\) và \((3x + 1)\) phải là các ước của 50.

Các ước của 50 là: 1, 2, 5, 10, 25, 50.

Bước 3: Lần lượt xét từng cặp ước.

Chúng ta sẽ lần lượt cho \(y\) bằng một ước của 50 và sau đó tính giá trị của \((3x + 1)\). Từ đó, chúng ta sẽ tìm \(x\).

Trường hợp 1: \(y = 1\)

Nếu \(y = 1\), thì \(3x + 1 = 50 \div 1 = 50\).

Ta có phương trình: \(3x + 1 = 50\)

\(3x = 50 – 1\)

\(3x = 49\)

\(x = 49 \div 3\)

Vì 49 không chia hết cho 3, nên \(x\) không phải là số tự nhiên. Trường hợp này loại.

Trường hợp 2: \(y = 2\)

Nếu \(y = 2\), thì \(3x + 1 = 50 \div 2 = 25\).

Ta có phương trình: \(3x + 1 = 25\)

\(3x = 25 – 1\)

\(3x = 24\)

\(x = 24 \div 3\)

\(x = 8\)

Vì \(x = 8\) là số tự nhiên, nên cặp \((x, y) = (8, 2)\) là một nghiệm của bài toán.

Trường hợp 3: \(y = 5\)

Nếu \(y = 5\), thì \(3x + 1 = 50 \div 5 = 10\).

Ta có phương trình: \(3x + 1 = 10\)

\(3x = 10 – 1\)

\(3x = 9\)

\(x = 9 \div 3\)

\(x = 3\)

Vì \(x = 3\) là số tự nhiên, nên cặp \((x, y) = (3, 5)\) là một nghiệm của bài toán.

Trường hợp 4: \(y = 10\)

Nếu \(y = 10\), thì \(3x + 1 = 50 \div 10 = 5\).

Ta có phương trình: \(3x + 1 = 5\)

\(3x = 5 – 1\)

\(3x = 4\)

\(x = 4 \div 3\)

Vì 4 không chia hết cho 3, nên \(x\) không phải là số tự nhiên. Trường hợp này loại.

Trường hợp 5: \(y = 25\)

Nếu \(y = 25\), thì \(3x + 1 = 50 \div 25 = 2\).

Ta có phương trình: \(3x + 1 = 2\)

\(3x = 2 – 1\)

\(3x = 1\)

\(x = 1 \div 3\)

Vì 1 không chia hết cho 3, nên \(x\) không phải là số tự nhiên. Trường hợp này loại.

Trường hợp 6: \(y = 50\)

Nếu \(y = 50\), thì \(3x + 1 = 50 \div 50 = 1\).

Ta có phương trình: \(3x + 1 = 1\)

\(3x = 1 – 1\)

\(3x = 0\)

\(x = 0 \div 3\)

\(x = 0\)

Vì \(x = 0\) là số tự nhiên, nên cặp \((x, y) = (0, 50)\) là một nghiệm của bài toán.

Lưu ý quan trọng: Chúng ta cần kiểm tra xem \(3x + 1\) có phải luôn lớn hơn 0 không. Vì \(x\) là số tự nhiên (\(x \ge 0\)), nên \(3x \ge 0\), suy ra \(3x + 1 \ge 1\). Điều này đảm bảo rằng \(3x + 1\) luôn là một số tự nhiên dương, và do đó chúng ta chỉ cần xem xét các ước dương của 50.

Kết luận cho câu b: Các cặp số tự nhiên \((x, y)\) thỏa mãn phương trình là: \((8, 2), (3, 5), (0, 50)\).

Các em thấy đó, với các bước suy luận logic và cẩn thận, chúng ta có thể giải quyết được các bài toán tìm số tự nhiên này. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập tương tự để ngày càng giỏi hơn nhé!

Chúc các em học tốt!