Chào các em học sinh lớp 7 thân mến!

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán về tỉ lệ thức và tìm giá trị của các biến x, y, z nhé. Đây là một dạng bài rất quen thuộc và quan trọng trong chương trình Toán 7 của chúng ta.

Đề bài: Tìm x, y, z biết:

\(\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{2}\)

\(\dfrac{x}{5} = \dfrac{z}{7}\)

\(2x – z = 1\)

Lời giải chi tiết:

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau. Bước đầu tiên là chúng ta cần đưa các tỉ số về dạng có chung một biến số ở cùng một vị trí (tử hoặc mẫu) để nối chúng lại thành một dãy tỉ số bằng nhau hoàn chỉnh.

Bước 1: Quy đồng mẫu số của x để tạo thành dãy tỉ số bằng nhau.

Chúng ta có hai tỉ số liên quan đến x:

1) \(\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{2}\)

2) \(\dfrac{x}{5} = \dfrac{z}{7}\)

Ở đây, chúng ta thấy ‘x’ xuất hiện ở tử số trong cả hai tỉ số. Để ‘nối’ chúng lại, chúng ta sẽ tìm bội chung nhỏ nhất (BCNN) của các mẫu số dưới ‘x’ (là 3 và 5), đó là 15.

Từ tỉ số thứ nhất: \(\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{2}\)

Để mẫu số của x là 15, chúng ta nhân cả mẫu số của x (là 3) với 5, và tương ứng, chúng ta cũng phải nhân mẫu số của y (là 2) với 5 để đảm bảo tỉ lệ không đổi:

\(\dfrac{x}{3 \cdot 5} = \dfrac{y}{2 \cdot 5}\)

\(\Rightarrow \dfrac{x}{15} = \dfrac{y}{10}\) (Đây là tỉ số thứ nhất sau khi biến đổi)

Từ tỉ số thứ hai: \(\dfrac{x}{5} = \dfrac{z}{7}\)

Để mẫu số của x là 15, chúng ta nhân cả mẫu số của x (là 5) với 3, và tương ứng, chúng ta cũng phải nhân mẫu số của z (là 7) với 3:

\(\dfrac{x}{5 \cdot 3} = \dfrac{z}{7 \cdot 3}\)

\(\Rightarrow \dfrac{x}{15} = \dfrac{z}{21}\) (Đây là tỉ số thứ hai sau khi biến đổi)

Bây giờ chúng ta đã có:

\(\dfrac{x}{15} = \dfrac{y}{10}\) và \(\dfrac{x}{15} = \dfrac{z}{21}\)

Vì cả hai tỉ số đều bằng \(\dfrac{x}{15}\), chúng ta có thể viết thành một dãy tỉ số bằng nhau:

\(\dfrac{x}{15} = \dfrac{y}{10} = \dfrac{z}{21}\)

Bước 2: Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để sử dụng điều kiện \(2x – z = 1\).

Chúng ta có dãy tỉ số \(\dfrac{x}{15} = \dfrac{y}{10} = \dfrac{z}{21}\). Để sử dụng điều kiện \(2x – z = 1\), chúng ta cần biến đổi các tỉ số sao cho xuất hiện \(2x\) và \(-z\) ở tử số.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có thể nhân tử và mẫu của một tỉ số với cùng một số khác 0.

Để có \(2x\), chúng ta nhân cả tử và mẫu của tỉ số \(\dfrac{x}{15}\) với 2:

\(\dfrac{x \cdot 2}{15 \cdot 2} = \dfrac{2x}{30}\)

Để có \(-z\), chúng ta nhân cả tử và mẫu của tỉ số \(\dfrac{z}{21}\) với -1 (hoặc hiểu là lấy tỉ số \(\dfrac{z}{21}\) và trừ nó đi):

\(\dfrac{z \cdot (-1)}{21 \cdot (-1)} = \dfrac{-z}{-21}\)

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, chúng ta có thể viết:

\(\dfrac{x}{15} = \dfrac{y}{10} = \dfrac{z}{21} = \dfrac{2x – z}{30 – 21}\)

Theo đề bài, ta có \(2x – z = 1\). Thay giá trị này vào, ta được:

\(\dfrac{2x – z}{30 – 21} = \dfrac{1}{9}\)

Vậy, ta có:

\(\dfrac{x}{15} = \dfrac{y}{10} = \dfrac{z}{21} = \dfrac{1}{9}\)

Bước 3: Tìm giá trị của x, y, z.

Từ kết quả ở Bước 2, chúng ta sẽ lần lượt tìm từng giá trị của x, y, z:

• Tìm x:

\(\dfrac{x}{15} = \dfrac{1}{9}\)

\(x = 15 \cdot \dfrac{1}{9}\)

\(x = \dfrac{15}{9}\)

\(x = \dfrac{5}{3}\) (Chúng ta rút gọn phân số \(\dfrac{15}{9}\) bằng cách chia cả tử và mẫu cho 3)

• Tìm y:

\(\dfrac{y}{10} = \dfrac{1}{9}\)

\(y = 10 \cdot \dfrac{1}{9}\)

\(y = \dfrac{10}{9}\)

• Tìm z:

\(\dfrac{z}{21} = \dfrac{1}{9}\)

\(z = 21 \cdot \dfrac{1}{9}\)

\(z = \dfrac{21}{9}\)

\(z = \dfrac{7}{3}\) (Chúng ta rút gọn phân số \(\dfrac{21}{9}\) bằng cách chia cả tử và mẫu cho 3)

Kết luận:

Vậy, các giá trị cần tìm là:

\(x = \dfrac{5}{3}\)

\(y = \dfrac{10}{9}\)

\(z = \dfrac{7}{3}\)

Để chắc chắn, các em có thể thay các giá trị x, y, z vừa tìm được vào các phương trình ban đầu để kiểm tra lại nhé!

Chúc các em học tốt!