Chào các em, hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán tìm ba ẩn x, y, z với các mối quan hệ cho trước. Các em hãy chú ý theo dõi nhé.

Bài toán: Tìm x, y, z biết:

\( \frac{x}{3} = \frac{y}{4} \)

\( \frac{y}{3} = \frac{z}{4} \)

\( 2x – 3y + z = 6 \)

Lời giải:

Đầu tiên, chúng ta có hai tỉ lệ thức:

\( \frac{x}{3} = \frac{y}{4} \)

\( \frac{y}{3} = \frac{z}{4} \)

Để đưa về dạng tỉ lệ thức chung, chúng ta cần làm cho mẫu số của y ở hai tỉ lệ thức này giống nhau. Chúng ta có thể quy đồng mẫu số của y bằng cách nhân tỉ lệ thức thứ nhất với 3 và tỉ lệ thức thứ hai với 4.

Từ tỉ lệ thức thứ nhất:

\( \frac{x}{3} = \frac{y}{4} \)

Nhân cả hai vế với 3, ta được:

\( 3 \cdot \frac{x}{3} = 3 \cdot \frac{y}{4} \)

\( x = \frac{3y}{4} \)

Để có cùng mẫu số với tỉ lệ thức thứ hai, ta quy đồng mẫu số của y trong tỉ lệ thức đầu tiên thành 12.

Nhân cả tử và mẫu của tỉ lệ thức thứ nhất với 3:

\( \frac{x \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{y \cdot 3}{4 \cdot 3} \)

\( \frac{3x}{9} = \frac{3y}{12} \)

Hoặc đơn giản hơn, chúng ta có thể biểu diễn x qua y hoặc y qua x.

Từ \(\frac{x}{3} = \frac{y}{4}\), ta suy ra \(4x = 3y\), hay \(x = \frac{3}{4}y\).

Từ tỉ lệ thức thứ hai:

\( \frac{y}{3} = \frac{z}{4} \)

Nhân cả hai vế với 4, ta được:

\( 4 \cdot \frac{y}{3} = 4 \cdot \frac{z}{4} \)

\( \frac{4y}{3} = z \)

Để có cùng mẫu số với tỉ lệ thức thứ nhất, chúng ta quy đồng mẫu số của y trong tỉ lệ thức thứ hai thành 12.

Nhân cả tử và mẫu của tỉ lệ thức thứ hai với 4:

\( \frac{y \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{z \cdot 4}{4 \cdot 4} \)

\( \frac{4y}{12} = \frac{4z}{16} \)

Bây giờ, chúng ta hãy cố gắng đưa tất cả các biến về cùng một tỉ lệ thức chung.
Ta có thể làm cho mẫu số của y trong hai tỉ lệ thức bằng nhau.
Tỉ lệ thức 1: \(\frac{x}{3} = \frac{y}{4}\)
Tỉ lệ thức 2: \(\frac{y}{3} = \frac{z}{4}\)

Để mẫu số của y ở hai tỉ lệ thức giống nhau (là 12), ta nhân tỉ lệ thức 1 với 3 và tỉ lệ thức 2 với 4.

Nhân tỉ lệ thức thứ nhất với 3:

\( \frac{x \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{y \cdot 3}{4 \cdot 3} \)

\( \frac{3x}{9} = \frac{3y}{12} \)

Nhân tỉ lệ thức thứ hai với 4:

\( \frac{y \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{z \cdot 4}{4 \cdot 4} \)

\( \frac{4y}{12} = \frac{4z}{16} \)

Tuy nhiên, cách này làm cho tỉ lệ thức phức tạp hơn. Chúng ta hãy tìm một cách khác đơn giản hơn.

Từ tỉ lệ thức \(\frac{x}{3} = \frac{y}{4}\), ta có thể viết dưới dạng: \(\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = k_1\). Khi đó, \(x = 3k_1\) và \(y = 4k_1\).

Từ tỉ lệ thức \(\frac{y}{3} = \frac{z}{4}\), ta có thể viết dưới dạng: \(\frac{y}{3} = \frac{z}{4} = k_2\). Khi đó, \(y = 3k_2\) và \(z = 4k_2\).

Bây giờ, chúng ta cần liên hệ giữa \(k_1\) và \(k_2\) thông qua biến y.

Ta có \(y = 4k_1\) và \(y = 3k_2\).

Do đó, \(4k_1 = 3k_2\). Để đơn giản, ta có thể đặt một hằng số chung cho cả ba tỉ lệ thức.

Cách hiệu quả nhất là đưa về dạng \(\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c}\).

Từ \(\frac{x}{3} = \frac{y}{4}\), ta có thể nhân cả hai vế với 3 để biến y thành 3:

\( \frac{x \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{y \cdot 3}{4 \cdot 3} \)

\( \frac{3x}{9} = \frac{3y}{12} \)

Không, đây không phải là cách để đưa về tỉ lệ thức chung. Chúng ta cần làm cho mẫu của y trong tỉ lệ thức thứ nhất bằng mẫu của y trong tỉ lệ thức thứ hai.

Cách làm đúng là:

Từ tỉ lệ thức thứ nhất: \(\frac{x}{3} = \frac{y}{4}\). Chúng ta nhân cả hai vế với 3 để mẫu của y lúc này là 3.

Điều này không đúng. Chúng ta cần làm cho mẫu số của y ở hai tỉ lệ thức giống nhau.

Hãy suy nghĩ đơn giản hơn:

\( \frac{x}{3} = \frac{y}{4} \)

\( \frac{y}{3} = \frac{z}{4} \)

Ta muốn tìm một tỉ lệ thức chung có dạng \(\frac{x}{A} = \frac{y}{B} = \frac{z}{C}\).

Từ \(\frac{x}{3} = \frac{y}{4}\), ta có thể biểu diễn y theo x: \(y = \frac{4}{3}x\).

Từ \(\frac{y}{3} = \frac{z}{4}\), ta có thể biểu diễn z theo y: \(z = \frac{4}{3}y\).

Thay \(y = \frac{4}{3}x\) vào biểu thức của z:

\( z = \frac{4}{3} \left( \frac{4}{3}x \right) = \frac{16}{9}x \).

Vậy, ta có các mối quan hệ:

\( y = \frac{4}{3}x \)

\( z = \frac{16}{9}x \)

Bây giờ, chúng ta thay các biểu thức này vào phương trình thứ ba:

\( 2x – 3y + z = 6 \)

\( 2x – 3\left(\frac{4}{3}x\right) + \frac{16}{9}x = 6 \)

\( 2x – 4x + \frac{16}{9}x = 6 \)

\( -2x + \frac{16}{9}x = 6 \)

Quy đồng mẫu số để thực hiện phép trừ:

\( \frac{-2 \cdot 9}{9}x + \frac{16}{9}x = 6 \)

\( \frac{-18}{9}x + \frac{16}{9}x = 6 \)

\( \frac{-18 + 16}{9}x = 6 \)

\( \frac{-2}{9}x = 6 \)

Để tìm x, ta nhân cả hai vế với \(-\frac{9}{2}\):

\( x = 6 \cdot \left(-\frac{9}{2}\right) \)

\( x = -\frac{54}{2} \)

\( x = -27 \)

Bây giờ, chúng ta tìm y và z dựa vào giá trị của x.

Tìm y:

\( y = \frac{4}{3}x \)

\( y = \frac{4}{3}(-27) \)

\( y = 4 \cdot (-9) \)

\( y = -36 \)

Tìm z:

\( z = \frac{16}{9}x \)

\( z = \frac{16}{9}(-27) \)

\( z = 16 \cdot (-3) \)

\( z = -48 \)

Vậy, chúng ta tìm được các giá trị của x, y, z là:

\( x = -27 \)

\( y = -36 \)

\( z = -48 \)

Chúng ta có thể kiểm tra lại kết quả bằng cách thay các giá trị này vào phương trình \(2x – 3y + z = 6\).

\( 2(-27) – 3(-36) + (-48) \)

\( -54 + 108 – 48 \)

\( 54 – 48 = 6 \)

Kết quả là 6, đúng với đề bài.

Một cách giải khác sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

Ta có:

\( \frac{x}{3} = \frac{y}{4} \)

\( \frac{y}{3} = \frac{z}{4} \)

Để đưa về dãy tỉ số bằng nhau có cùng mẫu số cho y, ta quy đồng mẫu số.

Nhân tỉ lệ thức thứ nhất với 3:

\( \frac{x \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{y \cdot 3}{4 \cdot 3} \Rightarrow \frac{3x}{9} = \frac{3y}{12} \)

Nhân tỉ lệ thức thứ hai với 4:

\( \frac{y \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{z \cdot 4}{4 \cdot 4} \Rightarrow \frac{4y}{12} = \frac{4z}{16} \)

Bây giờ, chúng ta cần liên hệ hai tỉ lệ thức này.

Từ \(\frac{x}{3} = \frac{y}{4}\), ta suy ra \(\frac{x}{9} = \frac{y}{12}\) (nhân tử và mẫu với 3).

Từ \(\frac{y}{3} = \frac{z}{4}\), ta suy ra \(\frac{y}{12} = \frac{z}{16}\) (nhân tử và mẫu với 4).

Vậy, ta có dãy tỉ số bằng nhau:

\( \frac{x}{9} = \frac{y}{12} = \frac{z}{16} \)

Đặt tỉ lệ này bằng một hằng số k:

\( \frac{x}{9} = \frac{y}{12} = \frac{z}{16} = k \)

Từ đó, ta có:

\( x = 9k \)

\( y = 12k \)

\( z = 16k \)

Thay các giá trị này vào phương trình thứ ba:

\( 2x – 3y + z = 6 \)

\( 2(9k) – 3(12k) + 16k = 6 \)

\( 18k – 36k + 16k = 6 \)

\( (18 – 36 + 16)k = 6 \)

\( (-18 + 16)k = 6 \)

\( -2k = 6 \)

Tìm k:

\( k = \frac{6}{-2} \)

\( k = -3 \)

Bây giờ, chúng ta tìm x, y, z dựa vào k:

\( x = 9k = 9(-3) = -27 \)

\( y = 12k = 12(-3) = -36 \)

\( z = 16k = 16(-3) = -48 \)

Kết quả của cả hai cách giải đều giống nhau, các em thấy cách nào dễ hiểu hơn thì mình có thể áp dụng nhé.

Đáp số: \( x = -27 \), \( y = -36 \), \( z = -48 \).