\(x^2 + y^2 + 45 = 12y – 6x\)

Bước 1: Biến đổi phương trình về dạng quen thuộc

Mục tiêu của chúng ta là đưa các hạng tử chứa x và y về một vế, và các hạng tử tự do sang vế còn lại. Sau đó, chúng ta sẽ cố gắng nhóm chúng lại để tạo thành các bình phương của một tổng hoặc một hiệu.

Đầu tiên, ta chuyển tất cả các hạng tử sang vế trái:

\(x^2 + y^2 – 12y + 6x + 45 = 0\)

Bây giờ, chúng ta sẽ nhóm các hạng tử theo biến:

\((x^2 + 6x) + (y^2 – 12y) + 45 = 0\)

Bước 2: Hoàn thành bình phương

Để hoàn thành bình phương cho các biểu thức trong ngoặc, chúng ta sẽ sử dụng công thức
(a + b)² = a² + 2ab + b² và (a – b)² = a² – 2ab + b².

Đối với phần \(x^2 + 6x\):

Ta nhận thấy \(6x\) chính là \(2 \cdot x \cdot 3\). Để tạo thành bình phương, ta cần cộng thêm \(3^2 = 9\).

\(x^2 + 6x = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 – 3^2 = (x+3)^2 – 9\)

Đối với phần \(y^2 – 12y\):

Ta nhận thấy \(-12y\) chính là \(-2 \cdot y \cdot 6\). Để tạo thành bình phương, ta cần cộng thêm \(6^2 = 36\).

\(y^2 – 12y = y^2 – 2 \cdot y \cdot 6 + 6^2 – 6^2 = (y-6)^2 – 36\)

Bước 3: Thay thế vào phương trình ban đầu

Bây giờ, chúng ta thay thế các biểu thức vừa hoàn thành bình phương vào phương trình:

\(((x+3)^2 – 9) + ((y-6)^2 – 36) + 45 = 0\)

Bước 4: Rút gọn phương trình

Chúng ta tiếp tục rút gọn phương trình bằng cách cộng các hằng số lại:

\((x+3)^2 + (y-6)^2 – 9 – 36 + 45 = 0\)

\((x+3)^2 + (y-6)^2 – 45 + 45 = 0\)

\((x+3)^2 + (y-6)^2 = 0\)

Bước 5: Tìm giá trị của x và y

Đây là một dạng phương trình rất đặc biệt. Chúng ta biết rằng bình phương của một số thực luôn luôn không âm (lớn hơn hoặc bằng 0).

Tức là,
\((x+3)^2 \ge 0\) với mọi x.
\((y-6)^2 \ge 0\) với mọi y.

Tổng của hai số không âm chỉ có thể bằng 0 khi và chỉ khi cả hai số đó đều bằng 0.

Do đó, ta có:

\((x+3)^2 = 0\) và \((y-6)^2 = 0\)

Giải từng phương trình:

Từ \((x+3)^2 = 0\), ta suy ra
\(x+3 = 0\)
\(\implies x = -3\)

Từ \((y-6)^2 = 0\), ta suy ra
\(y-6 = 0\)
\(\implies y = 6\)

Kết luận:

Vậy, giá trị của x và y cần tìm là
x = -3 và y = 6.

Các em đã hiểu cách giải bài toán này chưa? Quan trọng là nhận ra cách biến đổi phương trình để tạo ra tổng các bình phương bằng 0 nhé!