Chào các em học sinh yêu quý! Thầy/Cô hiểu rằng đôi khi những bài toán như thế này có thể khiến chúng ta “đau đầu” một chút. Nhưng đừng lo lắng nhé, chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết bài toán này một cách cặn kẽ và dễ hiểu nhất.

Đây là một dạng bài rất hay trong chương trình Toán lớp 8, liên quan đến việc biến đổi hằng đẳng thức. Chúng ta hãy bắt đầu nào!

Đề bài: Tìm x, y biết: \(x^2 + y^2 + 4y + 13 = 6x\)

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Chuyển tất cả các hạng tử về một vế và sắp xếp lại.

Mục tiêu của chúng ta là đưa phương trình về dạng tổng các bình phương. Để làm được điều đó, trước hết hãy chuyển hạng tử \(6x\) từ vế phải sang vế trái. Khi chuyển vế, chúng ta phải đổi dấu:

\(x^2 + y^2 + 4y + 13 – 6x = 0\)

Bây giờ, chúng ta sắp xếp lại các hạng tử theo biến x và biến y để dễ dàng nhóm chúng lại:

\(x^2 – 6x + y^2 + 4y + 13 = 0\)

Bước 2: Nhóm các hạng tử và “hoàn thành bình phương”.

Chúng ta nhớ lại các hằng đẳng thức bình phương:

• \((A – B)^2 = A^2 – 2AB + B^2\)
• \((A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2\)

Hãy xem xét từng nhóm:

• Đối với các hạng tử chứa x: Chúng ta có \(x^2 – 6x\). Để nó trở thành dạng \(A^2 – 2AB + B^2\), ta coi \(A = x\) và \(2AB = 6x\). Suy ra \(2Bx = 6x\), nên \(2B = 6\), vậy \(B = 3\). Do đó, chúng ta cần cộng thêm \(B^2 = 3^2 = 9\).
• Đối với các hạng tử chứa y: Chúng ta có \(y^2 + 4y\). Để nó trở thành dạng \(A^2 + 2AB + B^2\), ta coi \(A = y\) và \(2AB = 4y\). Suy ra \(2By = 4y\), nên \(2B = 4\), vậy \(B = 2\). Do đó, chúng ta cần cộng thêm \(B^2 = 2^2 = 4\).

Bây giờ, chúng ta sẽ thêm 9 và 4 vào phương trình. Để phương trình không thay đổi, chúng ta phải lấy đi đúng bằng số đã thêm vào từ hạng tử tự do 13:

\((x^2 – 6x + 9) + (y^2 + 4y + 4) + 13 – 9 – 4 = 0\)

Bước 3: Áp dụng hằng đẳng thức.

Chúng ta biến đổi các nhóm thành dạng bình phương:

• \((x^2 – 6x + 9)\) chính là \((x – 3)^2\)
• \((y^2 + 4y + 4)\) chính là \((y + 2)^2\)

Còn các số hạng tự do, ta tính tổng của chúng:

\(13 – 9 – 4 = 0\)

Vậy, phương trình của chúng ta trở thành:

\((x – 3)^2 + (y + 2)^2 + 0 = 0\)

Hay đơn giản hơn là:

\((x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 0\)

Bước 4: Phân tích kết quả.

Đây là bước quan trọng nhất! Chúng ta có tổng của hai bình phương bằng 0. Hãy nhớ rằng:

• Bình phương của một số thực luôn luôn không âm (tức là luôn lớn hơn hoặc bằng 0).
• Tức là, \((x – 3)^2 \ge 0\) và \((y + 2)^2 \ge 0\).

Nếu tổng của hai số không âm bằng 0, thì chỉ có một trường hợp duy nhất xảy ra: cả hai số đó đều phải bằng 0.

Nói cách khác:

\((x – 3)^2 = 0\) và \((y + 2)^2 = 0\)

Bước 5: Tìm giá trị của x và y.

Từ \((x – 3)^2 = 0\), chúng ta suy ra:

\(x – 3 = 0\)

\(x = 3\)

Từ \((y + 2)^2 = 0\), chúng ta suy ra:

\(y + 2 = 0\)

\(y = -2\)

Kết luận:

Vậy, cặp giá trị \(x = 3\) và \(y = -2\) là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.

Em thấy đó, bài toán ban đầu trông có vẻ phức tạp nhưng nếu chúng ta biết cách “hoàn thành bình phương” thì mọi thứ sẽ trở nên rất rõ ràng. Cố gắng ghi nhớ phương pháp này nhé, nó sẽ giúp ích cho em rất nhiều trong các bài toán về sau!

Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi lại thầy/cô nhé!