Chào các em học sinh lớp 7 thân mến!

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán tìm hai số \(x\) và \(y\) khá thú vị nhé. Đề bài của chúng ta là:

Tìm \(x\), \(y\) biết:

• \(xy = 54\)
• \(\frac{x}{2} \text{ x } \frac{y}{3}\)

Trước hết, cô nhận thấy phần thứ hai của đề bài “\(\frac{x}{2} \text{ x } \frac{y}{3}\)” có vẻ chưa hoàn chỉnh. Trong toán học, chữ “x” thường dùng để chỉ phép nhân, nhưng ở đây lại không có dấu bằng để tạo thành một phương trình hay một mối quan hệ cụ thể. Dựa vào kinh nghiệm giải các dạng toán tương tự ở lớp 7, cô cho rằng đề bài có thể muốn nói đến một tỷ lệ thức, tức là:

\(\frac{x}{2} = \frac{y}{3}\)

Nếu không có dấu bằng, chúng ta sẽ không thể tìm được giá trị cụ thể của \(x\) và \(y\). Vì vậy, cô sẽ giải bài toán này với giả định rằng đề bài muốn chúng ta giải hệ phương trình sau:

1. \(xy = 54\)
2. \(\frac{x}{2} = \frac{y}{3}\)

Chúng ta cùng bắt đầu giải chi tiết nhé!

Bài giải:

Chúng ta có hệ hai phương trình:

(1) \(xy = 54\)

(2) \(\frac{x}{2} = \frac{y}{3}\)

Bước 1: Biểu diễn một ẩn theo ẩn còn lại từ phương trình (2).

Từ phương trình (2) \(\frac{x}{2} = \frac{y}{3}\), chúng ta có thể nhân chéo để loại bỏ mẫu số:

\(3 \cdot x = 2 \cdot y\)

\(3x = 2y\)

Bây giờ, chúng ta sẽ rút \(y\) theo \(x\) (hoặc \(x\) theo \(y\), cách nào cũng được nhé):

\(y = \frac{3x}{2}\)
(Cô gọi đây là phương trình (3))

Bước 2: Thay biểu thức của \(y\) vào phương trình (1).

Chúng ta đã có \(y = \frac{3x}{2}\) từ phương trình (3). Bây giờ, thay biểu thức này của \(y\) vào phương trình (1) \(xy = 54\):

\(x \cdot \left(\frac{3x}{2}\right) = 54\)

\(\frac{3x^2}{2} = 54\)

Bước 3: Giải phương trình để tìm \(x\).

Để giải phương trình \(\frac{3x^2}{2} = 54\), chúng ta làm như sau:

Nhân cả hai vế với 2:

\(3x^2 = 54 \cdot 2\)

\(3x^2 = 108\)

Chia cả hai vế cho 3:

\(x^2 = \frac{108}{3}\)

\(x^2 = 36\)

Để tìm \(x\), chúng ta lấy căn bậc hai của 36. Các em nhớ rằng một số khi bình phương ra 36 có thể là số dương hoặc số âm nhé:

\(x = \sqrt{36}\) hoặc \(x = -\sqrt{36}\)

\(x = 6\) hoặc \(x = -6\)

Bước 4: Tìm giá trị tương ứng của \(y\) với mỗi giá trị của \(x\).

Chúng ta sẽ sử dụng lại phương trình \(y = \frac{3x}{2}\) (phương trình (3)) để tìm \(y\).

Trường hợp 1: Nếu \(x = 6\)

Thay \(x = 6\) vào phương trình (3):

\(y = \frac{3 \cdot 6}{2}\)

\(y = \frac{18}{2}\)

\(y = 9\)

Vậy, một cặp nghiệm là \((x, y) = (6, 9)\).

Trường hợp 2: Nếu \(x = -6\)

Thay \(x = -6\) vào phương trình (3):

\(y = \frac{3 \cdot (-6)}{2}\)

\(y = \frac{-18}{2}\)

\(y = -9\)

Vậy, cặp nghiệm thứ hai là \((x, y) = (-6, -9)\).

Bước 5: Kết luận.

Vậy, có hai cặp giá trị \((x, y)\) thỏa mãn đề bài (với giả định \(\frac{x}{2} = \frac{y}{3}\)):

• \(x = 6\) và \(y = 9\)
• \(x = -6\) và \(y = -9\)

Kiểm tra lại (Các em nên làm để chắc chắn kết quả nhé!):

Với cặp nghiệm \((x, y) = (6, 9)\):

• \(xy = 6 \cdot 9 = 54\) (Đúng!)
• \(\frac{x}{2} = \frac{6}{2} = 3\)
• \(\frac{y}{3} = \frac{9}{3} = 3\)
• Vậy \(\frac{x}{2} = \frac{y}{3}\) (Đúng!)

Với cặp nghiệm \((x, y) = (-6, -9)\):

• \(xy = (-6) \cdot (-9) = 54\) (Đúng!)
• \(\frac{x}{2} = \frac{-6}{2} = -3\)
• \(\frac{y}{3} = \frac{-9}{3} = -3\)
• Vậy \(\frac{x}{2} = \frac{y}{3}\) (Đúng!)

Các em thấy không, việc trình bày từng bước một sẽ giúp chúng ta giải bài toán một cách rõ ràng, chính xác và không bị nhầm lẫn. Hãy luôn đọc kỹ đề bài và nếu có gì chưa rõ, đừng ngần ngại đặt câu hỏi nhé!

Chúc các em học tốt!