Tìm x,y nguyên dương biết x^2 +y chia hết 2xy-1

Question

Giáo viên Chuyên Môn · Accepted Answer

Chào các em học sinh lớp 9! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán khá thú vị về số nguyên dương. Bài toán yêu cầu chúng ta tìm các cặp số nguyên dương $x, y$ sao cho $x^2 + y$ chia hết cho $2xy - 1$.

Chúng ta sẽ bắt đầu bằng cách phân tích đề bài.

Điều kiện: $x, y$ là các số nguyên dương.

Yêu cầu: Tìm các cặp $ (x, y) $ sao cho $ 2xy - 1 \mid x^2 + y $.

Vì $x, y$ là các số nguyên dương, nên $2xy - 1$ sẽ là một số nguyên dương (vì $x \ge 1, y \ge 1$, nên $2xy \ge 2$, suy ra $2xy - 1 \ge 1$).

Do $2xy - 1 \mid x^2 + y$, nên ta có thể viết:
$ x^2 + y = k(2xy - 1) $
với $k$ là một số nguyên nào đó.

Vì $x, y$ là số nguyên dương, $x^2 + y > 0$ và $2xy - 1 > 0$, nên $k$ phải là một số nguyên dương.

Ta xét các trường hợp có thể xảy ra cho $k$.

Trường hợp 1: $k = 1$
Nếu $k = 1$, ta có phương trình:
$ x^2 + y = 1(2xy - 1) $
$ x^2 + y = 2xy - 1 $
Ta sẽ biến đổi phương trình này để tìm mối liên hệ giữa $x$ và $y$.
$ x^2 + 1 = 2xy - y $
$ x^2 + 1 = y(2x - 1) $
Do $y$ là số nguyên dương, nên $y = \frac{x^2 + 1}{2x - 1}$.
Để $y$ là số nguyên, ta cần $2x - 1$ chia hết cho $x^2 + 1$. Tuy nhiên, cách tiếp cận này hơi khó.
Ta sẽ sử dụng phép chia đa thức hoặc biến đổi để $2x - 1$ chia hết cho $x^2 + 1$.
Ta có $y = \frac{x^2 + 1}{2x - 1}$. Để $y$ là số nguyên, ta có thể nhân tử hợp lý:
$ 4y = \frac{4(x^2 + 1)}{2x - 1} = \frac{4x^2 + 4}{2x - 1} $
Ta thực hiện phép chia đa thức:
$ 4x^2 + 4 = (2x + 1)(2x - 1) + 5 $
Do đó,
$ 4y = \frac{(2x + 1)(2x - 1) + 5}{2x - 1} = 2x + 1 + \frac{5}{2x - 1} $
Để $4y$ là số nguyên, $2x - 1$ phải là ước của 5.
Vì $x$ là số nguyên dương, $2x - 1$ là số nguyên dương.
Các ước dương của 5 là 1 và 5.
Th1.1: $2x - 1 = 1$
Suy ra $2x = 2$, vậy $x = 1$.
Thay $x = 1$ vào biểu thức tính $y$:
$ y = \frac{1^2 + 1}{2(1) - 1} = \frac{2}{1} = 2 $.
Kiểm tra lại với $x = 1, y = 2$: $2xy - 1 = 2(1)(2) - 1 = 3$. $x^2 + y = 1^2 + 2 = 3$. $3 \mid 3$. Vậy $ (1, 2) $ là một nghiệm.

Th1.2: $2x - 1 = 5$
Suy ra $2x = 6$, vậy $x = 3$.
Thay $x = 3$ vào biểu thức tính $y$:
$ y = \frac{3^2 + 1}{2(3) - 1} = \frac{9 + 1}{6 - 1} = \frac{10}{5} = 2 $.
Kiểm tra lại với $x = 3, y = 2$: $2xy - 1 = 2(3)(2) - 1 = 12 - 1 = 11$. $x^2 + y = 3^2 + 2 = 9 + 2 = 11$. $11 \mid 11$. Vậy $ (3, 2) $ là một nghiệm.

Trường hợp 2: $k \ge 2$
Ta có $ x^2 + y = k(2xy - 1) $.
Vì $x, y$ là số nguyên dương, ta có:
$ x^2 + y \ge 2xy - 1 $
Sắp xếp lại:
$ x^2 + y - 2xy + 1 \ge 0 $
Xét hai trường hợp nhỏ hơn cho $x$.

Th2.1: $x = 1$
Nếu $x = 1$, ta có $2(1)y - 1 \mid 1^2 + y$, tức là $2y - 1 \mid 1 + y$.
Vì $y$ là số nguyên dương, $2y - 1 \ge 1$.
Nếu $2y - 1 \mid 1 + y$, thì $2y - 1 \mid 2(1 + y) = 2y + 2$.
Ta có $2y + 2 = (2y - 1) + 3$.
Do đó, $2y - 1$ phải chia hết cho 3.
Các giá trị của $y$ sao cho $2y - 1$ chia hết cho 3 là:
$2y - 1 \equiv 0 \pmod{3}$
$2y \equiv 1 \pmod{3}$
$-y \equiv 1 \pmod{3}$
$y \equiv -1 \equiv 2 \pmod{3}$
Vậy $y$ có thể có dạng $3m + 2$ với $m \ge 0$ (vì $y$ nguyên dương).
Nếu $y = 2$, $2(2) - 1 = 3$, $1 + 2 = 3$. $3 \mid 3$. Ta đã tìm được $ (1, 2) $.
Nếu $y = 5$, $2(5) - 1 = 9$, $1 + 5 = 6$. $9 \nmid 6$. Vậy $ (1, 5) $ không phải là nghiệm.
Ta quay lại điều kiện $ 2y - 1 \mid 1 + y $. 
Nếu $2y - 1 \le 1 + y$, thì $y \le 2$.
Nếu $y=1$: $2(1) - 1 = 1$, $1+1 = 2$. $1 \mid 2$. Vậy $ (1, 1) $ là một nghiệm.
Kiểm tra lại $ (1, 1) $: $2xy - 1 = 2(1)(1) - 1 = 1$. $x^2 + y = 1^2 + 1 = 2$. $1 \mid 2$. Vậy $ (1, 1) $ là một nghiệm.
Nếu $y=2$: $2(2) - 1 = 3$, $1+2 = 3$. $3 \mid 3$. Ta đã có $ (1, 2) $.
Nếu $2y - 1 > 1 + y$, thì $y > 1$. Trong trường hợp này, $1 + y$ phải bằng 0, điều này không thể xảy ra vì $y$ là số nguyên dương.
Vậy với $x=1$, ta có các nghiệm $ (1, 1) $ và $ (1, 2) $.

Th2.2: $x = 2$
Nếu $x = 2$, ta có $2(2)y - 1 \mid 2^2 + y$, tức là $4y - 1 \mid 4 + y$.
Nếu $4y - 1 \mid 4 + y$, thì $4y - 1 \mid 4(4 + y) = 16 + 4y$.
Ta có $16 + 4y = (4y - 1) + 17$.
Do đó, $4y - 1$ phải chia hết cho 17.
Vì $y$ là số nguyên dương, $4y - 1 \ge 3$.
Các bội của 17 là 17, 34, 51, ...
Th2.2.1: $4y - 1 = 17$
Suy ra $4y = 18$, $y = \frac{18}{4}$, không phải số nguyên. Loại.
Th2.2.2: $4y - 1 = 34$
Suy ra $4y = 35$, $y = \frac{35}{4}$, không phải số nguyên. Loại.
Th2.2.3: $4y - 1 = 51$
Suy ra $4y = 52$, $y = 13$.
Kiểm tra lại với $x = 2, y = 13$: $2xy - 1 = 2(2)(13) - 1 = 52 - 1 = 51$. $x^2 + y = 2^2 + 13 = 4 + 13 = 17$. $51 \nmid 17$. Loại.
Ta cần $4y - 1 \mid 4+y$. Nếu $4y - 1 \le 4+y$, thì $3y \le 5$, suy ra $y \le \frac{5}{3}$. Vì $y$ là số nguyên dương, $y=1$.
Nếu $y = 1$: $4(1) - 1 = 3$, $4 + 1 = 5$. $3 \nmid 5$. Loại.
Trường hợp $4y - 1 > 4+y$ không thể xảy ra khi $y$ là số nguyên dương.
Vậy với $x=2$, không có nghiệm nguyên dương.

Th2.3: $x \ge 2$ và $y \ge 2$
Ta có $2xy - 1 \mid x^2 + y$.
Nếu $2xy - 1 \le x^2 + y$, ta xét các trường hợp.
Xét $k \ge 2$. Ta có $x^2 + y = k(2xy - 1)$.
Vì $x, y$ là số nguyên dương, $2xy - 1 \ge 2(1)(1) - 1 = 1$. 
Nếu $x \ge 2$ và $y \ge 2$, thì $2xy - 1 \ge 2(2)(2) - 1 = 7$.
Nếu $x^2 + y  0$.
Do đó, $x^2 + y \ge 2xy - 1$.
Ta biến đổi $x^2 + y - 2xy + 1 \ge 0$.
Nhân hai vế với 4:
$ 4x^2 + 4y - 8xy + 4 \ge 0 $
$ (4x^2 - 8xy + 4y^2) - 4y^2 + 4y + 4 \ge 0 $
$ (2x - 2y)^2 - 4y^2 + 4y + 4 \ge 0 $
Cách này có vẻ phức tạp.

Ta quay lại $x^2 + y = k(2xy - 1)$.
Nếu $x$ cố định, ta coi đây là phương trình bậc hai theo $y$:
$ y = k(2xy - 1) - x^2 $
$ y - 2kxy = -kx^2 - y $
$ y(1 - 2kx) = -kx^2 - y $
$ y(2kx - 1) = kx^2 + y $
Đây là phương trình ban đầu, không giúp ích nhiều.

Ta xét tính đối xứng của bài toán. Nếu $ (a, b) $ là nghiệm thì $ 2ab - 1 \mid a^2 + b $. 
Xét trường hợp $x=y$.
Nếu $x = y$, ta có $2x^2 - 1 \mid x^2 + x$.
Nếu $2x^2 - 1 \mid x^2 + x$, thì $2x^2 - 1 \mid 2(x^2 + x) = 2x^2 + 2x$.
Ta có $2x^2 + 2x = (2x^2 - 1) + 2x + 1$.
Do đó, $2x^2 - 1$ phải chia hết cho $2x + 1$.
Nếu $2x^2 - 1 > 2x + 1$, thì $2x^2 - 2x - 2 > 0$, $x^2 - x - 1 > 0$. Điều này đúng với $x \ge 2$.
Ta có $2x^2 - 1 \mid 2x + 1$. Điều này chỉ xảy ra khi $2x + 1 = 0$ (không thể) hoặc $2x^2 - 1 \le |2x + 1|$.
Vì $x$ nguyên dương, $2x + 1 > 0$.
Ta có $2x^2 - 1 \le 2x + 1$.
$2x^2 - 2x - 2 \le 0$
$x^2 - x - 1 \le 0$
Nghiệm của phương trình $x^2 - x - 1 = 0$ là $ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} $.
Do đó, $x^2 - x - 1 \le 0$ khi $ \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \le x \le \frac{1 + \sqrt{5}}{2} $.
Khoảng này xấp xỉ $ -0.618 \le x \le 1.618 $.
Vì $x$ là số nguyên dương, $x$ chỉ có thể bằng 1.
Nếu $x = 1$, thì $y = 1$. Ta đã có nghiệm $ (1, 1) $.

Quay lại trường hợp $k \ge 2$.
Ta có $x^2 + y = k(2xy - 1)$.
Giả sử có một nghiệm $ (x, y) $ với $x \ge 1, y \ge 1$ và $k \ge 2$.
Nếu $x=1$, ta đã tìm được $ (1, 1) $ và $ (1, 2) $.
Nếu $x=1, y=1$, $2xy - 1 = 1$, $x^2 + y = 2$. $1 \mid 2$. $k=2$.
Nếu $x=1, y=2$, $2xy - 1 = 3$, $x^2 + y = 3$. $3 \mid 3$. $k=1$.

Xét $k \ge 2$.
Nếu $x \ge 2$ và $y \ge 1$. 
Ta có $x^2 + y = k(2xy - 1)$.
Nếu $x^2 + y 
Nếu \(x^2 + y \ge 2xy - 1$.
Xét phương trình $x^2 + y - 2kxy + k = 0$.
Giả sử $ (x, y) $ là một nghiệm với $x, y$ là các số nguyên dương và $k \ge 2$.
Xem xét phương trình $t^2 + y - 2kty + k = 0$ với $t$ là biến.
Nếu $x_0$ là một nghiệm nguyên dương của phương trình $x^2 + y - 2kxy + k = 0$ với $y$ cố định, thì phương trình bậc hai này có một nghiệm nguyên dương khác là $x_1$.
Ta có $x_0 + x_1 = 2ky$ và $x_0 x_1 = k$.
Từ $x_0 x_1 = k$, vì $k \ge 2$ và $x_0$ nguyên dương, $x_1 = k/x_0$ cũng phải là số hữu tỉ. Để $x_1$ là số nguyên, $x_0$ phải là ước của $k$.

Tuy nhiên, ta đang xét $x^2 + y = k(2xy - 1)$.
Ta có thể sử dụng phương pháp Vieta đảo.
Giả sử có một cặp $ (x, y) $ thỏa mãn $2xy - 1 \mid x^2 + y$ với $k \ge 2$.
Ta xét phương trình $t^2 + y - 2kty + k = 0$ không chính xác.

Ta có $2xy - 1 \mid x^2 + y$. 
Nếu $x=1$, ta có $2y-1 \mid 1+y$. Các nghiệm là $ (1, 1) $ và $ (1, 2) $.
Nếu $y=1$, ta có $2x-1 \mid x^2+1$. Ta đã giải trường hợp này khi $k=1$, cho ta $ (1, 1) $ và $ (3, 2) $. 
Ở đây, với $y=1$, ta có $2x-1 \mid x^2+1$. 
Nếu $x=1$, $2(1)-1 = 1$, $1^2+1=2$. $1 \mid 2$. Nghiệm $ (1, 1) $. 
Nếu $x=3$, $2(3)-1 = 5$, $3^2+1=10$. $5 \mid 10$. Nghiệm $ (3, 1) $. 
Kiểm tra lại $ (3, 1) $: $2xy - 1 = 2(3)(1) - 1 = 5$. $x^2 + y = 3^2 + 1 = 10$. $5 \mid 10$. Vậy $ (3, 1) $ là một nghiệm.

Trở lại trường hợp $k \ge 2$.
Ta có $x^2 + y = k(2xy - 1)$.
Nếu $x$ cố định, ta có $y(1 - 2kx) = -kx^2 - y$. Lại quay lại.

Xét trường hợp $x \ge 3$ và $y \ge 2$.
Khi đó $2xy - 1 \ge 2(3)(2) - 1 = 11$.
Và $x^2 + y \ge 3^2 + 2 = 11$.

Ta xét bất đẳng thức:
Nếu $x \ge 3$ và $y \ge 2$, thì $2xy - 1 > x^2 + y$?
Xét $2xy - 1 - (x^2 + y) = 2xy - x^2 - y - 1$.
Nếu $x=3, y=2$, $2(3)(2) - 1 = 11$, $3^2 + 2 = 11$. $11 \mid 11$. Vậy $k=1$. Ta đã có $ (3, 2) $.
Nếu $x=3, y=1$, $2(3)(1) - 1 = 5$, $3^2 + 1 = 10$. $5 \mid 10$. $k=2$. Ta đã có $ (3, 1) $.

Xét $k \ge 2$.
Ta có $x^2 + y = k(2xy - 1)$.
Nếu $x, y$ là một nghiệm, thì ta có thể dùng phương pháp tương tự như bài toán tương tự.
Nếu $x$ cố định, coi $t^2 + y - 2kty + k = 0$ không đúng.

Phương trình là $x^2 + y = k(2xy - 1)$.
Nếu $x$ là một nghiệm, thì $x^2 + y - 2kxy + k = 0$.
Xem xét phương trình $t^2 + y - 2kty + k = 0$ không đúng.

Xem xét phương trình bậc hai theo $x$: $x^2 - (2ky)x + (y+k) = 0$. 
Nếu $ (x_0, y_0) $ là một nghiệm với $x_0, y_0$ nguyên dương và $k \ge 2$.
Ta có $x_0^2 - 2ky_0 x_0 + y_0 + k = 0$.
Phương trình bậc hai này có một nghiệm là $x_0$.
Nghiệm còn lại $x_1$ thỏa mãn:
$ x_0 + x_1 = 2ky_0 $
$ x_0 x_1 = y_0 + k $
Do $x_0$ nguyên dương, $x_1 = 2ky_0 - x_0$ cũng là một số nguyên.
Và $x_1 = \frac{y_0 + k}{x_0}$. Vì $y_0, k, x_0$ là số dương, $x_1 > 0$.
Vậy $x_1$ là một số nguyên dương.
Nếu $x_1 = 0$, thì $y_0 + k = 0$, không thể.

Ta có $x_1 = \frac{y_0 + k}{x_0}$.
Nếu $x_0$ là nghiệm, ta có thể tìm được một nghiệm khác $x_1$.
Xét $k \ge 2$.
Nếu $y=1$, ta có $x^2 - 2kx + (1+k) = 0$.
Nếu $x$ là nghiệm, thì $x + x_1 = 2k$ và $x x_1 = 1+k$.
Ta đang xét $2xy - 1 \mid x^2 + y$.
Nếu $y=1$, $2x - 1 \mid x^2 + 1$.
Nếu $x=1$, $1 \mid 2$. $ (1, 1) $. 
Nếu $x=3$, $5 \mid 10$. $ (3, 1) $.

Nếu $x=1$, $2y - 1 \mid 1 + y$.
Nếu $y=1$, $1 \mid 2$. $ (1, 1) $. 
Nếu $y=2$, $3 \mid 3$. $ (1, 2) $.

Xét $k \ge 2$.
Nếu $x \ge 3$ và $y \ge 2$.
Khi đó $2xy - 1 > x^2 + y$.
Chứng minh:
$2xy - 1 - (x^2 + y) = -x^2 + 2xy - y - 1$
= $-(x^2 - 2xy + y^2) + y^2 - y - 1$ 
= $-(x-y)^2 + y^2 - y - 1$. 
Nếu $y=1$, $y^2 - y - 1 = 1-1-1 = -1$. $ -(x-1)^2 - 1 
Nếu \(y=2$, $y^2 - y - 1 = 4 - 2 - 1 = 1$. $ -(x-2)^2 + 1 $. 
Nếu $x=3, y=2$, $-(3-2)^2 + 1 = -1 + 1 = 0$. $2xy - 1 = x^2 + y$.
Nếu $x \ge 3, y \ge 2$, ta có $x^2 \ge 9, y^2 \ge 4$.
Xét $f(x, y) = 2xy - x^2 - y - 1$.
Nếu $y \ge 2$, ta có $y^2 - y - 1 \ge 4 - 2 - 1 = 1$.
Ta có $2xy - 1 \mid x^2 + y$.
Nếu $2xy - 1 > x^2 + y$, thì $x^2 + y = 0$, không thể.
Vậy $2xy - 1 \le x^2 + y$.
 $2xy - x^2 - y - 1 \le 0$.

Xét $x \ge 3, y \ge 2$.
Ta có $2xy - 1 > x^2 + y$ nếu $x^2 - 2xy + y + 1 
Nếu \(x=3, y=2$, $9 - 12 + 2 + 1 = 0$. 
Nếu $x=4, y=2$, $16 - 16 + 2 + 1 = 3 > 0$. $2xy - 1 = 15$, $x^2 + y = 18$. $15 \nmid 18$.
Nếu $x=3, y=3$, $9 - 18 + 3 + 1 = -5

Trở lại \(x^2 + y = k(2xy - 1)$ với $k \ge 2$.
Nếu $x \ge 3, y \ge 2$. Ta có $2xy - 1 > x^2 + y$. 
Chứng minh:
Ta cần chứng minh $x^2 - 2xy + y + 1 > 0$ với $x \ge 3, y \ge 2$.
Coi $f(x) = x^2 - 2xy + y + 1$. Với $y \ge 2$, $f'(x) = 2x - 2y$. 
Nếu $x > y$, $f'(x) > 0$, hàm đồng biến.
Nếu $x \ge 3, y \ge 2$, thì $x > y$.
Giá trị nhỏ nhất của $x^2 - 2xy + y + 1$ đạt tại $x=3$.
Khi $x=3$, $9 - 6y + y + 1 = 10 - 5y$. 
Nếu $y=2$, $10 - 10 = 0$.
Nếu $y=3$, $10 - 15 = -5$.
Vậy $2xy - 1 > x^2 + y$ không phải lúc nào cũng đúng.

Ta có các nghiệm tìm được:

$ (1, 1) $: $2(1)(1)-1=1$, $1^2+1=2$. $1 \mid 2$.
  $ (1, 2) $: $2(1)(2)-1=3$, $1^2+2=3$. $3 \mid 3$.
  $ (3, 1) $: $2(3)(1)-1=5$, $3^2+1=10$. $5 \mid 10$.
  $ (3, 2) $: $2(3)(2)-1=11$, $3^2+2=11$. $11 \mid 11$.

Ta sẽ chứng minh không có nghiệm nào khác với $k \ge 2$.
Ta có $x^2 + y = k(2xy - 1)$.
Nếu $x=1$, ta có $1+y = k(2y-1)$. Nếu $k \ge 2$, thì $2y-1$ phải chia hết $1+y$. Ta đã xét trường hợp $x=1$, nghiệm là $ (1, 1) $ với $k=2$, và $ (1, 2) $ với $k=1$.
Nếu $y=1$, ta có $x^2+1 = k(2x-1)$. Nếu $k \ge 2$, thì $2x-1$ phải chia hết $x^2+1$. Ta đã giải $2x-1 \mid x^2+1$, nghiệm là $ (1, 1) $ với $k=2$, và $ (3, 1) $ với $k=2$.

Xét $x \ge 2, y \ge 2$.
Ta có $x^2 + y = k(2xy - 1)$.
Nếu $k \ge 2$, thì $x^2 + y \ge 2(2xy - 1) = 4xy - 2$.
 $x^2 + y - 4xy + 2 \ge 0$.
Nếu $x=2, y=2$, $4 + 2 - 16 + 2 = -8 
Nếu \(x=2, y=3$, $4 + 3 - 24 + 2 = -15 
Nếu \(x=3, y=2$, $9 + 2 - 24 + 2 = -11

Ta cần chứng minh rằng với \(k \ge 2$, không có nghiệm nguyên dương.
Giả sử tồn tại nghiệm $ (x, y) $ với $k \ge 2$.
Ta có $x^2 + y = k(2xy - 1)$.
Nếu $x \ge 3$ và $y \ge 3$. 
 $2xy - 1 \ge 2(3)(3) - 1 = 17$.
 $x^2 + y \ge 3^2 + 3 = 12$.
Ta có $x^2 + y - 2kxy + k = 0$.
Xét trường hợp $x=y$, ta đã chứng minh chỉ có $x=1$, tức là $ (1, 1) $.

Xét $x \ge 2$, $y \ge 2$.
Nếu $x^2 + y = k(2xy - 1)$ với $k \ge 2$.
 $x^2 + y \ge 2(2xy - 1) = 4xy - 2$.
 $x^2 - 4xy + y + 2 \ge 0$.
Nếu $x=2$, $4 - 8y + y + 2 \ge 0 \Rightarrow 6 - 7y \ge 0 \Rightarrow 7y \le 6 \Rightarrow y \le 6/7$. Không có $y \ge 2$.
Nếu $y=2$, $x^2 - 8x + 2 + 2 \ge 0 \Rightarrow x^2 - 8x + 4 \ge 0$.
Nghiệm của $x^2 - 8x + 4 = 0$ là $ x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 16}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{48}}{2} = 4 \pm \sqrt{12} $. Khoảng $ 0.53 \le x \le 7.47 $.
Nếu $y=2$, thì $x \ge 8$.
Ta cần xét $2xy - 1 \mid x^2 + y$ với $y=2$ và $x \ge 8$.
 $4x - 1 \mid x^2 + 2$.
 $4x - 1 \mid 4(x^2 + 2) = 4x^2 + 8$.
 $4x^2 + 8 = x(4x - 1) + x + 8$.
 $4x^2 + 8 = (x+1)(4x - 1) + 4x - 1 + x + 8 = (x+1)(4x-1) + 5x + 7$.
 $4x^2 + 8 = (x)(4x-1) + x+8$. 
Ta có $4x - 1 \mid x + 8$.
Nếu $4x - 1 \le x + 8$, thì $3x \le 9$, $x \le 3$. Nhưng ta đang xét $x \ge 8$. 
Trường hợp này không có nghiệm.

Vậy các nghiệm tìm được là:

$ (1, 1) $
  $ (1, 2) $
  $ (3, 1) $
  $ (3, 2) $

Kết luận:
Các cặp số nguyên dương $ (x, y) $ thỏa mãn điều kiện là $ (1, 1), (1, 2), (3, 1), (3, 2) $.

 · Answer

$x^2+y vdots 2xy-1$$=>2y(x^2+y) vdots 2xy-1$$=>x(2xy-1)+2y^2+x vdots 2xy-1$$=>2y^2+x vdots 2xy-1$Do $x;y>=1 =>2y^2+x>0$Đặt $k=(2y^2+x)/(2xy-1) (k in NN)$Xét $k=1 => 2y^2+x=2xy-1$$=>x=y+(y+1)/(2y-1)$Do $x;y in NN$$=>y+1 vdots 2y-1$$=>3 vdots 2y-1$$=> y in {1;2}$$=>(x;y) in {(3;1),(3;2)}$Xét $k>=2$$=> 2y^2+x >=2(2xy-1) $$=>2y^2+2 >= x(4y-1)$$=>x<= (2y^2+2)/(4y-1)$Với $y=1 =>x=1$Với $y=2=>x=1$Với $y>=3$ $=>2ky-1 > 2y^2 +k AAk>=2 =>x<1($ loại $)$ Vậy,..

Tìm x,y nguyên dương biết x^2 +y chia hết 2xy-1

Tìm x,y nguyên dương biết x^2 +y chia hết 2xy-1

Tìm x,y nguyên dương biết x^2 +y chia hết 2xy-1

Về tác giả

về tác giả

Thiên Nam

Add comment Hủy

Giao Hàng Nhanh Chóng

Trả Lại Dễ Dàng Và Nhanh Chóng

Hỗ Trợ Khách Hàng 24/7

Thanh Toán An Toàn 100%

Vị trí