Bài toán: Tìm các giá trị của x, y, z thỏa mãn hai điều kiện sau:

1. \(2x = 3y = 5z\)
2. \(|x – 2y| = 5\)

Lời giải:

Bước 1: Biểu diễn x, y, z theo một biến phụ.

Từ điều kiện thứ nhất: \(2x = 3y = 5z\).

Để dễ dàng biểu diễn, chúng ta sẽ đặt một biểu thức chung bằng một hằng số, gọi là k.

Ta có: \(2x = 3y = 5z = k\).

Từ đây, ta suy ra:

• \(2x = k \Rightarrow x = \frac{k}{2}\)
• \(3y = k \Rightarrow y = \frac{k}{3}\)
• \(5z = k \Rightarrow z = \frac{k}{5}\)

Bây giờ, chúng ta đã biểu diễn được x, y, z theo biến k.

Bước 2: Sử dụng điều kiện thứ hai để tìm k.

Điều kiện thứ hai là: \(|x – 2y| = 5\).

Chúng ta sẽ thay biểu thức của x và y theo k vào phương trình này:

\(\left| \frac{k}{2} – 2 \cdot \frac{k}{3} \right| = 5\)

Bây giờ, chúng ta cần tính toán biểu thức bên trong dấu giá trị tuyệt đối:

\(\frac{k}{2} – \frac{2k}{3} = \frac{3k}{6} – \frac{4k}{6} = \frac{3k – 4k}{6} = \frac{-k}{6}\)

Thay vào phương trình ban đầu, ta được:

\(\left| \frac{-k}{6} \right| = 5\)

Vì giá trị tuyệt đối của một số âm cũng chính là giá trị đối của nó, nên:

\(\frac{k}{6} = 5\)

Bây giờ, ta nhân cả hai vế với 6 để tìm k:

\(k = 5 \cdot 6 = 30\)

Bước 3: Tìm x, y, z với giá trị k vừa tìm được.

Chúng ta đã có các biểu thức: \(x = \frac{k}{2}\), \(y = \frac{k}{3}\), \(z = \frac{k}{5}\).

Với \(k = 30\), ta có:

• \(x = \frac{30}{2} = 15\)
• \(y = \frac{30}{3} = 10\)
• \(z = \frac{30}{5} = 6\)

Bước 4: Kiểm tra lại kết quả.

Chúng ta cần kiểm tra xem các giá trị \(x=15, y=10, z=6\) có thỏa mãn cả hai điều kiện ban đầu hay không.

Kiểm tra điều kiện 1: \(2x = 3y = 5z\)

• \(2x = 2 \cdot 15 = 30\)
• \(3y = 3 \cdot 10 = 30\)
• \(5z = 5 \cdot 6 = 30\)

Ta thấy \(30 = 30 = 30\). Điều kiện thứ nhất được thỏa mãn.

Kiểm tra điều kiện 2: \(|x – 2y| = 5\)

• \(x – 2y = 15 – 2 \cdot 10 = 15 – 20 = -5\)
• \(|x – 2y| = |-5| = 5\)

Điều kiện thứ hai cũng được thỏa mãn.

Kết luận:

Vậy, các giá trị của x, y, z thỏa mãn yêu cầu bài toán là: \(x = 15\), \(y = 10\), \(z = 6\).

Các em thấy đó, với phương pháp đặt ẩn phụ và sử dụng tính chất của giá trị tuyệt đối, bài toán đã trở nên đơn giản hơn rất nhiều. Các em hãy ôn tập lại cách giải này nhé. Hẹn gặp lại các em trong bài học tiếp theo!