Chào các em học sinh thân mến!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán tìm số nguyên dương rất thú vị. Bài toán này đòi hỏi chúng ta phải kết hợp nhiều kiến thức đã học về số học và đại số. Hãy cùng đọc đề bài và phân tích nhé!

Đề bài: Tìm các số nguyên dương \(x, y, z\) thỏa mãn phương trình:

\(x^2 = 2x + yzz4\)

Với \(yzz4\) là một số có 4 chữ số, trong đó \(y\) là chữ số hàng nghìn.

Trước hết, chúng ta cần hiểu rõ ký hiệu \(yzz4\). Đây là một số có 4 chữ số, ví dụ như 1224, 3554, 7004, …

Điều kiện cho các biến:

• \(x, y, z\) là các số nguyên dương.
• Vì \(yzz4\) là số có 4 chữ số, nên \(y\) phải là chữ số khác 0. Do đó, \(y \in \{1, 2, …, 9\}\).
• \(z\) là chữ số, nên \(z \in \{0, 1, …, 9\}\).

Bây giờ, chúng ta hãy bắt đầu giải bài toán từng bước một!

Bước 1: Biểu diễn số \(yzz4\) và sắp xếp lại phương trình.

Số \(yzz4\) có thể được viết dưới dạng tổng các giá trị hàng như sau:

\(yzz4 = y \times 1000 + z \times 100 + z \times 10 + 4 \times 1\)

\(= 1000y + 110z + 4\)

Thay biểu thức này vào phương trình ban đầu, ta được:

\(x^2 = 2x + 1000y + 110z + 4\)

Bước 2: Biến đổi phương trình về dạng bình phương.

Để phương trình dễ giải quyết hơn, chúng ta sẽ cố gắng đưa vế trái về dạng bình phương của một hiệu. Các em còn nhớ hằng đẳng thức \( (a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2 \) chứ?

Ta sẽ chuyển \(2x\) sang vế trái:

\(x^2 – 2x = 1000y + 110z + 4\)

Để \(x^2 – 2x\) trở thành một phần của bình phương, ta cần cộng thêm 1 vào cả hai vế:

\(x^2 – 2x + 1 = 1000y + 110z + 4 + 1\)

Vế trái chính là \((x-1)^2\):

\((x-1)^2 = 1000y + 110z + 5\)

Bước 3: Xác định khoảng giá trị của vế phải.

Chúng ta biết rằng \(y \in \{1, 2, …, 9\}\) và \(z \in \{0, 1, …, 9\}\).

Hãy tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức \(1000y + 110z + 5\):

• Giá trị nhỏ nhất: Khi \(y\) nhỏ nhất (\(y=1\)) và \(z\) nhỏ nhất (\(z=0\)).
  \(1000(1) + 110(0) + 5 = 1000 + 0 + 5 = 1005\)
• Giá trị lớn nhất: Khi \(y\) lớn nhất (\(y=9\)) và \(z\) lớn nhất (\(z=9\)).
  \(1000(9) + 110(9) + 5 = 9000 + 990 + 5 = 9995\)

Vậy, ta có:

\(1005 \le (x-1)^2 \le 9995\)

Bước 4: Xác định khoảng giá trị của \((x-1)\).

Lấy căn bậc hai của các giá trị trên:

\(\sqrt{1005} \approx 31.7\)

\(\sqrt{9995} \approx 99.97\)

Vì \((x-1)\) là một số nguyên (do \(x\) là số nguyên), nên ta có:

\(31.7 \le x-1 \le 99.97\)

Suy ra:

\(32 \le x-1 \le 99\)

Bước 5: Phân tích chữ số cuối cùng của \((x-1)^2\).

Quan sát vế phải của phương trình \((x-1)^2 = 1000y + 110z + 5\).

• Số \(1000y\) luôn có chữ số tận cùng là 0.
• Số \(110z\) cũng luôn có chữ số tận cùng là 0.
• Số 5 có chữ số tận cùng là 5.

Do đó, tổng \(1000y + 110z + 5\) sẽ có chữ số tận cùng là \(0 + 0 + 5 = 5\).

Vậy, \((x-1)^2\) phải là một số chính phương có chữ số tận cùng là 5. Mà một số chính phương có chữ số tận cùng là 5 thì số nguyên của nó (căn bậc hai) cũng phải có chữ số tận cùng là 5.

Nói cách khác, \((x-1)\) phải là một số nguyên có chữ số tận cùng là 5.

Bước 6: Tìm các giá trị thỏa mãn của \(x, y, z\).

Kết hợp điều kiện \(32 \le x-1 \le 99\) và \((x-1)\) có chữ số tận cùng là 5, các giá trị khả dĩ của \((x-1)\) là:

\(35, 45, 55, 65, 75, 85, 95\)

Bây giờ, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng trường hợp:

Trường hợp 1: \((x-1) = 35\)

Khi đó \(x = 36\).

\((x-1)^2 = 35^2 = 1225\).

Ta có: \(1225 = 1000y + 110z + 5\)

Trừ 5 từ hai vế: \(1220 = 1000y + 110z\)

Chia cả hai vế cho 10: \(122 = 100y + 11z\)

Vì \(y\) là chữ số hàng nghìn và \(y \in \{1, …, 9\}\):

Nếu \(y=1\): \(122 = 100(1) + 11z \Rightarrow 22 = 11z \Rightarrow z = 2\).

Đây là một giá trị hợp lệ cho \(y\) và \(z\). ( \(y=1\) và \(z=2\) đều là số nguyên dương, \(y\) hợp lệ là chữ số hàng nghìn, \(z\) hợp lệ là chữ số).

Vậy, ta tìm được một bộ ba số: \(\mathbf{x=36, y=1, z=2}\).

Kiểm tra lại: \(36^2 = 1296\). \(2(36) + 1224 = 72 + 1224 = 1296\). (Đúng!)

Trường hợp 2: \((x-1) = 45\)

Khi đó \(x = 46\).

\((x-1)^2 = 45^2 = 2025\).

Ta có: \(2025 = 1000y + 110z + 5\)

\(2020 = 1000y + 110z\)

\(202 = 100y + 11z\)

Nếu \(y=1\): \(202 = 100(1) + 11z \Rightarrow 102 = 11z\). (Không có \(z\) nguyên)

Nếu \(y=2\): \(202 = 100(2) + 11z \Rightarrow 2 = 11z\). (Không có \(z\) nguyên)

Trường hợp này không có nghiệm thỏa mãn.

Trường hợp 3: \((x-1) = 55\)

Khi đó \(x = 56\).

\((x-1)^2 = 55^2 = 3025\).

Ta có: \(3025 = 1000y + 110z + 5\)

\(3020 = 1000y + 110z\)

\(302 = 100y + 11z\)

Nếu \(y=1\): \(202 = 11z\). (Không có \(z\) nguyên)

Nếu \(y=2\): \(102 = 11z\). (Không có \(z\) nguyên)

Nếu \(y=3\): \(2 = 11z\). (Không có \(z\) nguyên)

Trường hợp này không có nghiệm thỏa mãn.

Trường hợp 4: \((x-1) = 65\)

Khi đó \(x = 66\).

\((x-1)^2 = 65^2 = 4225\).

Ta có: \(4225 = 1000y + 110z + 5\)

\(4220 = 1000y + 110z\)

\(422 = 100y + 11z\)

Nếu \(y=1\): \(322 = 11z\). (Không có \(z\) nguyên)

Nếu \(y=2\): \(222 = 11z\). (Không có \(z\) nguyên)

Nếu \(y=3\): \(122 = 11z\). (Không có \(z\) nguyên)

Nếu \(y=4\): \(422 = 100(4) + 11z \Rightarrow 22 = 11z \Rightarrow z = 2\).

Đây là một giá trị hợp lệ cho \(y\) và \(z\).

Vậy, ta tìm được một bộ ba số: \(\mathbf{x=66, y=4, z=2}\).

Kiểm tra lại: \(66^2 = 4356\). \(2(66) + 4224 = 132 + 4224 = 4356\). (Đúng!)

Trường hợp 5: \((x-1) = 75\)

Khi đó \(x = 76\).

\((x-1)^2 = 75^2 = 5625\).

Ta có: \(5625 = 1000y + 110z + 5\)

\(5620 = 1000y + 110z\)

\(562 = 100y + 11z\)

Nếu \(y=5\): \(562 = 100(5) + 11z \Rightarrow 62 = 11z\). (Không có \(z\) nguyên)

Trường hợp này không có nghiệm thỏa mãn.

Trường hợp 6: \((x-1) = 85\)

Khi đó \(x = 86\).

\((x-1)^2 = 85^2 = 7225\).

Ta có: \(7225 = 1000y + 110z + 5\)

\(7220 = 1000y + 110z\)

\(722 = 100y + 11z\)

Nếu \(y=7\): \(722 = 100(7) + 11z \Rightarrow 22 = 11z \Rightarrow z = 2\).

Đây là một giá trị hợp lệ cho \(y\) và \(z\).

Vậy, ta tìm được một bộ ba số: \(\mathbf{x=86, y=7, z=2}\).

Kiểm tra lại: \(86^2 = 7396\). \(2(86) + 7224 = 172 + 7224 = 7396\). (Đúng!)

Trường hợp 7: \((x-1) = 95\)

Khi đó \(x = 96\).

\((x-1)^2 = 95^2 = 9025\).

Ta có: \(9025 = 1000y + 110z + 5\)

\(9020 = 1000y + 110z\)

\(902 = 100y + 11z\)

Nếu \(y=9\): \(902 = 100(9) + 11z \Rightarrow 2 = 11z\). (Không có \(z\) nguyên)

Trường hợp này không có nghiệm thỏa mãn.

Vậy, chúng ta đã tìm được tất cả các bộ số nguyên dương \((x, y, z)\) thỏa mãn đề bài.

Kết luận:

Các bộ ba số nguyên dương \((x, y, z)\) thỏa mãn phương trình là:

1. \(\mathbf{x=36, y=1, z=2}\)

2. \(\mathbf{x=66, y=4, z=2}\)

3. \(\mathbf{x=86, y=7, z=2}\)

Các em thấy không, một bài toán tưởng chừng phức tạp nhưng khi chúng ta phân tích từng bước, sử dụng các kiến thức đã học một cách logic, chúng ta có thể tìm ra lời giải. Hãy luôn kiên nhẫn và cẩn thận trong từng phép tính nhé!

Hẹn gặp lại các em trong những bài học tiếp theo!