Tính B = (Sin3 a -cos a) /(2. Sin2 a .cos a + sina ) Biết tana = 1/2
Chào em, thầy/cô rất vui được hỗ trợ em giải bài toán lượng giác lớp 11 này. Dạng bài tính giá trị biểu thức lượng giác khi biết giá trị của hàm số lượng giác cơ bản (cụ thể ở đây là tang) rất hay gặp trong các bài kiểm tra. Chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết từng bước một cách thật chi tiết nhé.
Phân tích đề bài và định hướng cách giải:
Biểu thức của chúng ta chứa các hàm số sin và cos ở bậc 3 và bậc 2, trong khi đề bài lại cho giá trị của tan a. Em hãy nhớ lại kiến thức cơ bản: tan a chính bằng sin a chia cho cos a. Do đó, ý tưởng cốt lõi của dạng toán này là biến đổi tử thức và mẫu thức sao cho xuất hiện các biểu thức của tan a (tức là sin chia cho cos).
Bước 1: Biến đổi mẫu thức
Mẫu thức của biểu thức là: 2 nhân với sin bình phương của a nhân với cos a cộng với sin a.
Ta thấy cả hai số hạng ở mẫu đều có chung thừa số là sin a, nên ta đặt sin a ra ngoài làm nhân tử chung:
- Mẫu thức bằng: sin a nhân mở ngoặc 2 nhân sin bình phương của a cộng 1 đóng ngoặc.
Bước 2: Biến đổi tử thức
Tử thức của biểu thức là: sin mũ 3 của a trừ đi cos a.
Để xuất hiện tan a (tức là sin a chia cho cos a), chúng ta sẽ chia cả tử thức và mẫu thức cho cos mũ 3 của a, hoặc chúng ta có thể thực hiện chia từng thành phần. Tuy nhiên, một cách làm gọn gàng và dễ hiểu hơn cho học sinh lớp 11 là chia cả tử và mẫu cho cos mũ 3 của a.
Cụ thể, ta biến đổi tử thức như sau:
- Tử thức bằng cos mũ 3 của a nhân mở ngoặc sin mũ 3 của a chia cho cos mũ 3 của a trừ đi cos a chia cho cos mũ 3 của a đóng ngoặc.
- Rút gọn lại, ta được: cos mũ 3 của a nhân mở ngoặc tan mũ 3 của a trừ đi 1 chia cho cos bình phương của a đóng ngoặc.
Lại có công thức lượng giác cơ bản: 1 chia cho cos bình phương của a bằng 1 cộng với tan bình phương của a. Thay thế vào, tử thức trở thành:
- cos mũ 3 của a nhân mở ngoặc tan mũ 3 của a trừ mở ngoặc 1 cộng tan bình phương của a đóng ngoặc đóng ngoặc.
Cách làm tối ưu và ngắn gọn hơn cho học sinh lớp 11:
Thay vì làm phức tạp hóa bằng cách chia cả tử và mẫu cho cos mũ 3 của a, chúng ta có thể chia cả tử và mẫu cho cos a (với điều kiện cos a khác 0). Chúng ta cùng thực hiện cách này nhé:
- Chia tử thức cho cos a: ta được (sin mũ 3 của a trừ cos a) chia cho cos a, bằng sin mũ 3 của a chia cho cos a trừ đi 1. Biểu thức này hơi khó, vậy ta đổi hướng chia cả tử và mẫu cho cos mũ 3 của a như đã định hướng ở trên, hoặc đưa về cùng ẩn tan a.
Thầy/cô hướng dẫn em con đường ngắn nhất và dễ hiểu nhất như sau:
Ta chia cả tử thức và mẫu thức cho cos mũ 3 của a:
- Tử thức sau khi chia: (sin mũ 3 của a / cos mũ 3 của a) – (cos a / cos mũ 3 của a) = tan mũ 3 của a – (1 / cos bình phương của a). Vì (1 / cos bình phương của a) = 1 + tan bình phương của a, nên tử thức là: tan mũ 3 của a – tan bình phương của a – 1.
- Mẫu thức sau khi chia: (2 * sin bình phương của a * cos a / cos mũ 3 của a) + (sin a / cos mũ 3 của a) = 2 * (sin bình phương của a / cos bình phương của a) * (1 / cos bình phương của a) + (sin a / cos a) * (1 / cos bình phương của a) = 2 * tan bình phương của a * (1 + tan bình phương của a) + tan a * (1 + tan bình phương của a).
Bước 3: Thay giá trị của tan a vào biểu thức
Đề bài cho tan a bằng 1/2. Bây giờ chúng ta chỉ cần thay số 1/2 vào biểu thức đã thu gọn ở tử và mẫu:
- Tính giá trị tử thức:
- tan mũ 3 của a = (1/2) mũ 3 = 1/8
- tan bình phương của a = (1/2) bình phương = 1/4
- Tử thức = 1/8 – 1/4 – 1 = 1/8 – 2/8 – 8/8 = -9/8
- Tính giá trị mẫu thức:
- 1 + tan bình phương của a = 1 + 1/4 = 5/4
- 2 * tan bình phương của a = 2 * (1/4) = 2/4 = 1/2
- Số hạng đầu tiên của mẫu = (1/2) * (5/4) = 5/8
- Số hạng thứ hai của mẫu = tan a * (1 + tan bình phương của a) = (1/2) * (5/4) = 5/8
- Mẫu thức = 5/8 + 5/8 = 10/8 = 5/4
Bước 4: Kết luận kết quả cuối cùng
Cuối cùng, ta lấy giá trị của tử thức chia cho giá trị của mẫu thức:
- Biểu thức B = (-9/8) chia cho (5/4)
- B = (-9/8) nhân với (4/5)
- B = -36 / 40
- Rút gọn phân số cho 4, ta được kết quả cuối cùng: B = -9 / 10
Lời dặn dò của giáo viên: Bài toán này đòi hỏi các em phải nắm vững các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản, đặc biệt là mối liên hệ giữa sin, cos, tan và biểu thức (1 + tan bình phương của a = 1 / cos bình phương của a). Khi làm bài, nhớ viết rõ các bước biến đổi để không bị mất điểm oan nhé. Chúc các em học tốt môn Toán lớp 11!
\(B = \dfrac{\sin^3 \alpha – \cos \alpha}{2.\sin 2\alpha . \cos \alpha + \sin \alpha}\\ B = \dfrac{\sin^3 \alpha – \cos \alpha}{4.\sin \alpha . \cos^2 \alpha + \sin \alpha}\\B = \dfrac{\tan^3 \alpha – \dfrac{1}{\cos^2 \alpha}}{4.\tan \alpha + \dfrac{\tan \alpha}{\cos^2 \alpha}}\\ B = \dfrac{\tan^3 \alpha – (1 + \tan^2 \alpha)}{4.\tan \alpha + \tan \alpha.(1 + \tan^2 \alpha)}\\ B = \dfrac{\tan^3 \alpha – \tan^2 \alpha – 1}{\tan^3 \alpha + 5.\tan \alpha}\) \(\\\) Thay \(\tan \alpha = \dfrac{1}{2}\) vào biểu thức \(B\) ta được: \(\\\) \(B = \dfrac{\left(\dfrac{1}{2}\right)^3 – \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 – 1}{\left(\dfrac{1}{2}\right)^3 + 5.\left(\dfrac{1}{2}\right)}\\ B = \dfrac{\dfrac{1}{8} – \dfrac{1}{4} – 1}{\dfrac{1}{8} + \dfrac{5}{2}}\\ B = \dfrac{-\dfrac{9}{8}}{\dfrac{21}{8}}\\ B = -\dfrac{3}{7}\)
\(B = \frac{\frac{\sin^3 a – \cos a}{\cos^3 a}}{\frac{2\sin2 a \cos a + \sin a}{\cos^3 a}} \)
\(B= \frac{\frac{\sin^3 a}{\cos^3 a} – \frac{\cos a}{\cos^3 a}}{\frac{4\sin a \cos^2 a}{\cos^3 a} + \frac{\sin a}{\cos^3 a}}\)
\(B = \frac{\tan^3 a – \tan^2 a – 1}{\tan^3 a + 4\tan a + \tan a}\)
Thay giá trị \(\tan a = \frac{1}{2}\) vào \(B\) ta được:
\(B={(1/2)^3-(1/2)^2-1}/{(1/2)^3+4.(1/2)+1/2}=\frac{-3}{7}\)
Vậy \(B=\frac{-3}{7}\)
@tuan789
Trợ Lý Xưởng In Thiên Nam
Add comment